[다항식] 다항식의 곱셈과 나눗셈 완벽 정리 (고1 수학)

[고1 수학] 다항식의 곱셈과 나눗셈 완벽 정리: 곱셈 공식부터 A=BQ+R까지

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 👨‍🏫

오늘은 고1 수학의 첫 관문이자 앞으로 배울 모든 수학의 기초 체력이 되는 '다항식의 연산' 그중에서도 다항식의 곱셈과 나눗셈에 대해 깊이 파고들어 보겠습니다. 중학교 때 배운 내용에서 한 단계 더 나아가는 과정이니, 오늘 내용을 완벽하게 이해하고 나면 앞으로의 수학 공부에 큰 자신감을 얻게 될 거예요! 다항식 연산은 복잡한 식을 간단하게 만들고 방정식과 함수의 해를 구하는 데 필수적인 도구랍니다.

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🎯 오늘의 학습 목표

• 다항식의 곱셈 원리를 이해하고, 곱셈 공식을 자유자재로 활용할 수 있다.
• 다항식의 나눗셈 원리를 이해하고, 몫과 나머지를 정확히 구할 수 있다.
• 다항식의 나눗셈에서 가장 중요한 관계식, $A=BQ+R$의 의미를 파악한다.

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1. 다항식의 곱셈: 전개의 기술 🚀

다항식의 곱셈은 앞으로 배울 방정식, 함수 등 모든 단원에서 식을 다루는 가장 기본적인 도구입니다. 어렵게 생각할 필요 없이, 중학교 때 배운 분배법칙을 차근차근 적용하는 것이 핵심입니다.

(1) 곱셈의 기본 원리: 분배법칙을 기억해!

다항식의 곱셈은 각 항을 하나씩, 빠짐없이 곱해주는 분배법칙을 이용해 괄호를 푸는 것, 즉 전개하는 과정입니다. 전개한 후에는 문자와 차수가 같은 동류항끼리 모아서 간단히 정리해주어야 해요.

예를 들어 $(x+2)(2x^2-x+3)$을 전개해 볼까요?

1단계: $(x+2)$의 각 항을 뒤의 다항식 전체에 분배

$$x(2x^2-x+3) + 2(2x^2-x+3)$$

2단계: 각 항을 마저 전개

$$(2x^3 - x^2 + 3x) + (4x^2 - 2x + 6)$$

3단계: 동류항끼리 모아서 정리 (내림차순으로)

$$2x^3 + (-x^2+4x^2) + (3x-2x) + 6$$

$$= 2x^3 + 3x^2 + x + 6$$

어때요? 복잡해 보이지만 결국은 꼼꼼함의 싸움이랍니다. 이 기본 원리만 기억하면 어떤 다항식의 곱셈도 두렵지 않아요!

(2) 고1 필수 암기! 곱셈 공식 완전 정복

매번 분배법칙으로 전개하기엔 시간이 너무 오래 걸리겠죠? 그래서 우리는 '곱셈 공식'이라는 강력한 무기를 사용합니다. 중학교 때 배운 공식들은 기본! 고등학교에서는 여기에 몇 가지가 더 추가됩니다.

[복습] 중학교 곱셈 공식

• $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
• $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$
• $(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$
• $(ax+b)(cx+d) = acx^2+(ad+bc)x+bd$

[필수] 고등학교 곱셈 공식

1. 항이 3개인 완전제곱식: $(a+b+c)^2$

$$\style{color: #D32F2F;}{(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}$$

이 공식은 $a+b=X$로 치환해서 유도할 수 있어요.

$$\begin{align*} \{(a+b)+c\}^2 &= (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2 \\ &= (a^2+2ab+b^2) + 2ac+2bc + c^2 \\ &= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \end{align*}$$

2. 세제곱 공식: $(a+b)^3$ 와 $(a-b)^3$

$$\style{color: #1976D2;}{(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$$

$$\style{color: #1976D2;}{(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$$

$(a+b)^3$은 $(a+b)(a+b)^2$를 전개해서 유도할 수 있습니다.

3. 세제곱의 합과 차: $a^3+b^3$ 와 $a^3-b^3$

$$\style{color: #7B1FA2;}{(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3}$$

$$\style{color: #7B1FA2;}{(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3}$$

이 공식들은 정말 중요해요! 구구단처럼 바로 튀어나올 수 있도록 완벽하게 암기해야 합니다. 부호 하나 차이로 결과가 달라지니, 특히 $(a-b)^3$이나 $a^3-b^3$ 공식을 외울 때는 부호에 각별히 주의하세요!

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2. 다항식의 나눗셈: 몫과 나머지의 세계 🧐

다항식의 나눗셈은 숫자의 나눗셈과 원리가 같습니다. 나누는 식보다 나머지의 차수가 '낮아질 때'까지 나누는 과정을 반복하는 것이죠.

(1) 다항식의 나눗셈 방법

다항식의 나눗셈은 각 다항식을 내림차순으로 정리한 다음, 최고차항부터 맞추어 계산합니다.

예를 들어, $3x^2-5x+6$을 $x-1$로 나누어 볼까요?

              3x - 2             <-- 몫
            ┌────────
      x - 1 │ 3x² - 5x + 6
            │ 3x² - 3x
            └────────
                  -2x + 6
                │ -2x + 2
                └────────
                        4     <-- 나머지
        

이 계산을 통해 우리는 몫이 $3x-2$이고, 나머지가 $4$임을 알 수 있습니다.

(2) 가장 중요한 식! $A = BQ + R$

다항식의 나눗셈에서 가장 중요한 관계식이 바로 이것입니다. 다항식 $A$를 다항식 $B(B \neq 0)$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$이라고 하면 항상 다음 등식이 성립합니다.

$A = BQ + R$

여기서 정말 정말 중요한 조건이 있어요. 바로 (나머지 $R$의 차수) < (나누는 식 $B$의 차수)라는 것입니다. 만약 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 크거나 같다면, 그건 나눗셈이 아직 끝나지 않았다는 뜻이겠죠?

특히 나머지가 $0$일 때, 즉 $R=0$일 때는 $A=BQ$가 되므로, '$A$는 $B$로 나누어떨어진다'고 말합니다. 이는 나중에 배울 '인수정리'의 핵심 개념이 됩니다.

🤔 오개념 바로잡기 & 심화 팁!

• 팁 1: 다항식을 나눌 때, 중간에 비어있는 차수의 항이 있다면 그 자리를 0으로 채워서 계산해야 실수를 줄일 수 있습니다. 예를 들어 $x^3-1$을 나눌 땐 $x^3+0x^2+0x-1$로 생각하는 거죠!
• 오개념 1: 2차식으로 나누면 나머지는 항상 1차식일까요? 아닙니다! 2차식으로 나눈 나머지는 1차식이거나, 1차항의 계수가 0인 '상수'일 수도 있어요. 핵심은 '나누는 식보다 차수가 낮다'는 것입니다.
• 연결고리: 오늘 배운 $A=BQ+R$이라는 식은 다음 단원인 '나머지정리'와 '인수분해'에서 정말 중요하게 쓰입니다. 특히 $R$을 쉽게 구하는 방법인 '나머지정리'는 이 식에서부터 출발하니, 꼭 기억해두세요!

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마무리하며

오늘은 다항식의 곱셈과 나눗셈에 대해 배워봤습니다. 내용을 요약해볼까요?

1. 다항식의 곱셈: 기본은 분배법칙! 하지만 효율성을 위해 곱셈 공식을 반드시 암기하고 활용하자.
2. 다항식의 나눗셈: 숫자의 나눗셈처럼 최고차항을 맞추어 계산하고, $A=BQ+R$ (단, R의 차수 < B의 차수) 형태를 기억하자.

다항식의 연산은 조금 귀찮게 느껴질 수 있지만, 이 과정을 능숙하게 해내야만 더 복잡하고 재미있는 수학의 세계로 나아갈 수 있습니다. 오늘 배운 내용, 꼭 여러 번 손으로 직접 풀어보면서 자기 것으로 만드시길 바랍니다. 궁금한 점이 있다면 언제든지 댓글로 질문해주세요! 🔥