미래엔 공통수학2 교과서 [선분의 내분] 모든 문제 풀이

미래엔 공통수학 교과서 [I. 도형의 방정식] 1. 평면좌표와 직선의 방정식 - 01. 선분의 내분 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 😊

고등학교 수학의 첫 관문, '도형의 방정식'을 시작하는 여러분을 진심으로 환영합니다. 도형과 방정식이 만나는 이 단원은 앞으로 배울 수많은 수학 개념의 기초가 되는 아주 중요한 부분이에요. 특히 오늘 다룰 '선분의 내분'은 좌표평면 위에서 점들의 관계를 이해하는 첫걸음이랍니다.

처음에는 공식이 많아 보이고 헷갈릴 수 있지만, 저와 함께 차근차근 원리를 파헤쳐보면 어느새 자신감이 쑥쑥 자라있을 거예요. 그럼, 힘차게 시작해볼까요? 💪

📘 [01. 선분의 내분] 핵심 포인트

이 단원에서는 다음 내용들을 확실하게 알고 넘어가야 해요!

• 수직선 위의 두 점 사이의 거리: 두 점 $A(x_1), B(x_2)$ 사이의 거리는 $|x_2 - x_1|$
• 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리: 두 점 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
• 수직선 위의 선분의 내분점: 선분 AB를 $m:n$으로 내분하는 점 P의 좌표는 $\frac{mx_2+nx_1}{m+n}$ (특히, 중점은 $\frac{x_1+x_2}{2}$)
• 좌표평면 위의 선분의 내분점: 선분 AB를 $m:n$으로 내분하는 점 P의 좌표는 $(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n})$
• 삼각형의 무게중심: 세 꼭짓점이 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$일 때, 무게중심 G의 좌표는 $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$

✍️ 교과서 문제 풀이

p.12 생각 열기

오른쪽 그림은 직선 도로인 '창원대로'의 일부를 한 눈금의 크기를 1km로 하여 수직선 위에 나타낸 것이다. 이때 세 점 A, B, C를 각각 창원 종합 버스 터미널, 올림픽 공원, 성산구청 근처의 한 지점이라 하자.

1. 두 점 A와 B 사이의 거리와 두 점 B와 C 사이의 거리를 구해 보자.
2. $\overline{AB}:\overline{BC}$를 구해 보자.

[풀이 과정]

수직선을 보니 점 A, B, C의 좌표는 각각 $A(0), B(2), C(7)$ 이라고 할 수 있겠네요.

1. 두 점 사이의 거리 구하기
   수직선 위 두 점 사이의 거리는 큰 좌표에서 작은 좌표를 빼면 되죠. 또는 좌표의 차에 절댓값을 씌워도 돼요.
   - 두 점 A와 B 사이의 거리: $\overline{AB} = |2 - 0| = 2$ (km)
   - 두 점 B와 C 사이의 거리: $\overline{BC} = |7 - 2| = 5$ (km)
   따라서 A와 B 사이의 거리는 2 km, B와 C 사이의 거리는 5 km입니다.
2. 선분의 길이의 비 구하기
   1번에서 구한 두 거리를 이용하여 비를 구하면 됩니다.
   $\overline{AB} : \overline{BC} = 2 : 5$
   따라서 정답은 2 : 5 입니다.

💡 수학쟁이 팁: '거리'는 항상 양수라는 점! 잊지 마세요. 그래서 좌표의 차에 절댓값을 씌우는 것이 가장 안전한 방법이랍니다.

p.12 문제 1

다음 두 점 사이의 거리를 구하시오.

(1) $A(-3), B(3)$      (2) $A(6), B(-2)$

[풀이 과정]

수직선 위의 두 점 $A(x_1), B(x_2)$ 사이의 거리는 공식 $|x_2 - x_1|$을 이용하면 간단하게 해결할 수 있어요.

(1) A(-3), B(3)

$\overline{AB} = |3 - (-3)| = |3 + 3| = |6| = 6$

따라서 두 점 사이의 거리는 6입니다.

(2) A(6), B(-2)

$\overline{AB} = |-2 - 6| = |-8| = 8$

따라서 두 점 사이의 거리는 8입니다.

p.13 함께하기

다음은 수직선 위의 두 점 $A(x_1)$과 $B(x_2)$에 대하여 선분 AB를 $m:n(m>0, n>0)$으로 내분하는 점 P의 좌표 x를 구하는 과정이다. □ 안에 알맞은 것을 써넣어 보자.

[풀이 과정]

내분점 공식을 유도하는 중요한 과정이에요. 원리를 이해하면 공식을 잊어버려도 다시 만들어낼 수 있답니다!

(i) $x_1 < x_2$일 때: $x_1 < x < x_2$이므로

$\overline{AP} = x - x_1$, $\overline{PB} = \boxed{x_2 - x}$
$\overline{AP} : \overline{PB} = m:n$ 이므로
$(x - x_1) : (\boxed{x_2 - x}) = m:n$
비례식을 풀면, 내항의 곱과 외항의 곱은 같으므로
$n(x - x_1) = m(x_2 - x)$
$nx - nx_1 = mx_2 - mx$
$x$에 대해 정리하기 위해 $x$항을 좌변으로, 나머지를 우변으로 옮기면,
$nx + mx = mx_2 + nx_1$
$(m+n)x = mx_2 + nx_1$

따라서 점 P의 좌표 $x$는

$x = \frac{\boxed{mx_2 + nx_1}}{m+n}$

p.13 문제 2

두 점 A(-6)과 B(8)에 대하여 다음 점의 좌표를 구하시오.

(1) 선분 AB를 2:5로 내분하는 점

(2) 선분 AB의 중점

[풀이 과정]

내분점 공식을 적용해볼까요? 두 점 $A(x_1), B(x_2)$를 $m:n$으로 내분하는 점의 좌표는 $\frac{mx_2+nx_1}{m+n}$ 입니다.

(1) 선분 AB를 2:5로 내분하는 점

여기서 $x_1 = -6, x_2 = 8, m=2, n=5$ 입니다.

$P = \frac{2 \times 8 + 5 \times (-6)}{2+5} = \frac{16 - 30}{7} = \frac{-14}{7} = -2$

따라서 내분점의 좌표는 -2입니다.

(2) 선분 AB의 중점

중점은 선분을 1:1로 내분하는 점이죠. 공식을 사용해도 되고, 간단하게 두 좌표의 평균을 구해도 됩니다.

$M = \frac{(-6) + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

따라서 중점의 좌표는 1입니다.

p.14 문제 3

다음 두 점 사이의 거리를 구하시오.

(1) $A(1, 5), B(-3, 3)$      (2) $O(0, 0), A(3, -4)$

[풀이 과정]

이제 수직선을 넘어 좌표평면으로 왔네요! 두 점 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 피타고라스 정리를 이용한 공식 $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$을 사용합니다.

(1) A(1, 5), B(-3, 3)

$\overline{AB} = \sqrt{(-3-1)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

따라서 두 점 사이의 거리는 $\mathbf{2\sqrt{5}}$입니다.

(2) O(0, 0), A(3, -4)

한 점이 원점일 때는 공식이 더 간단해지죠.

$\overline{OA} = \sqrt{(3-0)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

따라서 두 점 사이의 거리는 5입니다.

p.14 문제 4

세 점 $A(-2, 9), B(6, 7), C(5, 3)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC는 어떤 삼각형인지 말하시오.

[풀이 과정]

삼각형의 종류를 물어볼 때는 보통 각 변의 길이를 구해봐야 해요. 길이에 따라 정삼각형, 이등변삼각형을 판단할 수 있고, 피타고라스 정리가 성립하는지 확인해서 직각삼각형인지도 알 수 있죠.

먼저 세 변의 길이의 '제곱'을 구해볼게요. 루트를 계속 쓰면 번거로우니까요! 😉

• $\overline{AB}^2 = (6 - (-2))^2 + (7-9)^2 = 8^2 + (-2)^2 = 64 + 4 = 68$
• $\overline{BC}^2 = (5-6)^2 + (3-7)^2 = (-1)^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$
• $\overline{CA}^2 = (-2-5)^2 + (9-3)^2 = (-7)^2 + 6^2 = 49 + 36 = 85$

세 변의 길이가 모두 다르니 정삼각형이나 이등변삼각형은 아니네요. 혹시 직각삼각형일까요? 피타고라스 정리를 확인해 봅시다. 가장 긴 변이 빗변이 되어야 하니 $\overline{CA}$가 빗변 후보예요.

$\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 = 68 + 17 = 85$

$\overline{CA}^2 = 85$

오! $\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 = \overline{CA}^2$ 가 성립하네요. 피타고라스 정리의 역에 의해 이 삼각형은 $\angle B = 90^\circ$인 직각삼각형입니다.

p.15 문제 5

두 점 $A(6, -7)$과 $B(-4, 3)$에 대하여 다음 점의 좌표를 구하시오.

(1) 선분 AB를 3:2로 내분하는 점

(2) 선분 AB의 중점

[풀이 과정]

좌표평면 위에서의 내분점 공식 $(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n})$을 이용해 봅시다. x좌표, y좌표 각각 따로 계산하면 돼요.

(1) 선분 AB를 3:2로 내분하는 점

여기서 $A(x_1, y_1) = (6, -7)$, $B(x_2, y_2) = (-4, 3)$ 이고, $m=3, n=2$ 입니다.

• x좌표: $\frac{3 \times (-4) + 2 \times 6}{3+2} = \frac{-12+12}{5} = 0$
• y좌표: $\frac{3 \times 3 + 2 \times (-7)}{3+2} = \frac{9-14}{5} = \frac{-5}{5} = -1$

따라서 내분점의 좌표는 (0, -1) 입니다.

(2) 선분 AB의 중점

중점은 1:1 내분점이니, 각 좌표의 평균을 구하면 됩니다.

• x좌표: $\frac{6 + (-4)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
• y좌표: $\frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

따라서 중점의 좌표는 (1, -2) 입니다.

p.16 예제 1

세 점 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표를 구하시오.

[풀이 과정]

무게중심의 성질을 이용하면 공식을 유도할 수 있어요. 무게중심은 '세 중선의 교점'이고, '각 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분'하는 점이라는 사실을 기억해주세요!

1. 먼저 변 BC의 중점 M의 좌표를 구합니다.
   중점은 각 좌표의 평균이므로 $M(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$ 입니다.
2. 무게중심 G는 선분 AM을 2:1로 내분하는 점입니다.
   점 A는 $(x_1, y_1)$, 점 M은 $(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$ 이고, $m=2, n=1$ 이죠.
   - G의 x좌표: $\frac{2 \cdot (\frac{x_2+x_3}{2}) + 1 \cdot x_1}{2+1} = \frac{x_2+x_3+x_1}{3}$
   - G의 y좌표: $\frac{2 \cdot (\frac{y_2+y_3}{2}) + 1 \cdot y_1}{2+1} = \frac{y_2+y_3+y_1}{3}$

따라서 무게중심 G의 좌표는 다음과 같습니다.

$G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$

💡 수학쟁이 팁: 정말 간단하죠? 그냥 세 꼭짓점의 x좌표, y좌표를 각각 더해서 3으로 나누면 된답니다! 평균 구하는 것과 같아요.

p.16 문제 6

세 점 $A(6, 3), B(0, -3), C(-3, 9)$에 대하여 다음에 답하시오.

(1) 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표를 구하시오.

(2) 세 변 AB, BC, CA를 각각 2:1로 내분하는 점을 차례대로 D, E, F라 할 때, 삼각형 DEF의 무게중심의 좌표를 구하고 (1)의 결과와 비교하시오.

[풀이 과정]

(1) 삼각형 ABC의 무게중심 구하기

무게중심 공식 $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$에 세 점의 좌표를 대입합니다.

• x좌표: $\frac{6+0+(-3)}{3} = \frac{3}{3} = 1$
• y좌표: $\frac{3+(-3)+9}{3} = \frac{9}{3} = 3$

따라서 $\triangle ABC$의 무게중심 좌표는 G(1, 3) 입니다.

(2) 삼각형 DEF의 무게중심 구하기 및 비교

먼저 내분점 D, E, F의 좌표를 구해야 해요.

• 점 D (선분 AB를 2:1로 내분)
  $D_x = \frac{2(0)+1(6)}{2+1} = 2$
  $D_y = \frac{2(-3)+1(3)}{2+1} = -1$
  $\implies D(2, -1)$
• 점 E (선분 BC를 2:1로 내분)
  $E_x = \frac{2(-3)+1(0)}{2+1} = -2$
  $E_y = \frac{2(9)+1(-3)}{2+1} = 5$
  $\implies E(-2, 5)$
• 점 F (선분 CA를 2:1로 내분)
  $F_x = \frac{2(6)+1(-3)}{2+1} = 3$
  $F_y = \frac{2(3)+1(9)}{2+1} = 5$
  $\implies F(3, 5)$

이제 $\triangle DEF$의 무게중심 $G'$의 좌표를 구합니다.

• $G'_x = \frac{2+(-2)+3}{3} = \frac{3}{3} = 1$
• $G'_y = \frac{-1+5+5}{3} = \frac{9}{3} = 3$

따라서 $\triangle DEF$의 무게중심 좌표는 G'(1, 3) 입니다.

비교 결과: $\triangle ABC$의 무게중심과 $\triangle DEF$의 무게중심의 좌표가 (1, 3)으로 서로 같습니다.

💡 개념 심화: 삼각형의 세 변을 같은 비($m:n$)로 내분하여 만든 새로운 삼각형의 무게중심은 원래 삼각형의 무게중심과 항상 일치한답니다! 정말 신기하죠? 이 성질을 알아두면 나중에 복잡한 문제를 쉽게 풀 수 있어요.

p.17 생각 넓히기

오른쪽 그림과 같이 연못 안에 있는 공을 울타리 밖의 A 지점에서 건지려고 한다. 연못의 가장자리의 두 지점 B와 C에 대하여 선분 BC를 1:2로 내분하는 점 P에 공이 있고, $\overline{AB}=\sqrt{17}m, \overline{BC}=6m, \overline{AC}=\sqrt{41}m$이다.

활동1: 점 B의 좌표를 (-3, 0), 점 C의 좌표를 (3, 0)으로 하는 좌표축을 그릴 때, 점 P의 좌표를 구해 보자.

활동2: 활동1의 좌표평면에서 점 A의 좌표를 구하고, 두 점 A와 P 사이의 거리를 구해 보자.

[풀이 과정]

문제가 길지만 좌표평면을 이용하면 쉽게 해결할 수 있어요! 문제에서 주어진 대로 좌표를 설정해 봅시다.

활동1: 점 P의 좌표 구하기

점 B(-3, 0), C(3, 0)이고, 점 P는 선분 BC를 1:2로 내분하는 점입니다. 내분점 공식을 사용합시다.

• P의 x좌표: $\frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot (-3)}{1+2} = \frac{3-6}{3} = -1$
• P의 y좌표: $\frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{1+2} = 0$

따라서 점 P의 좌표는 (-1, 0) 입니다.

활동2: 점 A의 좌표와 AP의 거리 구하기

점 A의 좌표를 $(x, y)$라고 둡시다. 문제에서 $\overline{AB}=\sqrt{17}$, $\overline{AC}=\sqrt{41}$ 이라고 했으니, 거리 공식을 이용해 두 개의 식을 세울 수 있어요.

• $\overline{AB}^2 = (x-(-3))^2 + (y-0)^2 = (x+3)^2 + y^2 = 17 \quad \cdots ①$
• $\overline{AC}^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 = (x-3)^2 + y^2 = 41 \quad \cdots ②$

두 식을 연립해서 풀면 됩니다. 먼저 식을 전개해 볼까요?

• ①: $x^2 + 6x + 9 + y^2 = 17 \implies x^2+y^2 = 8-6x$
• ②: $x^2 - 6x + 9 + y^2 = 41 \implies x^2+y^2 = 32+6x$

$x^2+y^2$이 공통이니 두 식을 같다고 놓으면,

$8 - 6x = 32 + 6x \implies 12x = -24 \implies \mathbf{x = -2}$

$x=-2$를 $x^2+y^2 = 8-6x$에 대입하면,

$(-2)^2 + y^2 = 8 - 6(-2) \implies 4 + y^2 = 8 + 12 \implies y^2 = 16$

$y = \pm 4$가 나오는데, 그림에서 점 A는 울타리(x축) 아래에 있으므로 y좌표는 음수입니다. 따라서 $\mathbf{y = -4}$.
점 A의 좌표는 (-2, -4) 입니다.

이제 A(-2, -4)와 P(-1, 0) 사이의 거리를 구하면,

$\overline{AP} = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}$

따라서 두 점 A와 P 사이의 거리는 $\mathbf{\sqrt{17}}$m 입니다. 재미있게도 $\overline{AB}$의 길이와 같네요!

💡 개념 확장 및 연관성

오늘 배운 '좌표'와 '내분점' 개념은 정말 여러 곳에서 활용돼요!

• 물리학 (무게중심): 삼각형의 무게중심을 구하는 공식은 사실 여러 개의 점으로 이루어진 물체의 질량 중심을 구하는 원리와 같아요. 각 점의 위치(좌표)와 질량을 이용해 무게중심을 찾는답니다.
• 컴퓨터 그래픽스: 우리가 보는 3D 게임이나 영화 속 캐릭터, 배경 등은 모두 수많은 점(좌표)들의 집합으로 이루어져 있어요. 캐릭터의 움직임이나 부드러운 곡선을 표현할 때(베지에 곡선 등) 내분점의 원리가 핵심적으로 사용된답니다.
• GPS 및 내비게이션: GPS는 위성 신호를 이용해 나의 위치를 좌표로 계산하죠. A 지점에서 B 지점으로 가는 경로를 탐색할 때, 두 지점 사이의 최단 거리를 계산하거나 경유지를 설정하는 데 오늘 배운 거리와 내분점 계산이 기본적으로 사용됩니다.

⚠️ 오개념 방지 및 심화 팁

자주 실수하는 부분과 알아두면 좋은 꿀팁!

• 내분점 공식, 헷갈리지 말자!
  선분 AB를 $m:n$으로 내분할 때, 공식은 $\frac{mx_2+nx_1}{m+n}$ 입니다. 비율 $m$은 점 B의 좌표($x_2$)와 곱하고, 비율 $n$은 점 A의 좌표($x_1$)와 곱해서 더해요. 서로 크로스(cross)해서 곱한다고 생각하면 헷갈리지 않아요!
• 외분점은 다음 시간에!
  선분을 안에서 나누는 '내분'이 있다면, 바깥에서 나누는 '외분'도 있어요. 외분점 공식은 내분점 공식에서 가운데 부호만 빼기(-)로 바꾼 $\frac{mx_2-nx_1}{m-n}$ 랍니다. 곧 배우게 될 테니 기대해주세요!
• 무게중심은 평균이다!
  삼각형 무게중심 공식 $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$을 보고 어떤 생각이 드나요? 맞아요, 바로 세 꼭짓점 좌표의 '평균'을 구하는 것과 같아요. 이렇게 이해하면 공식을 더 쉽게 기억할 수 있겠죠?

🎉 마무리하며

오늘 우리는 수직선과 좌표평면 위에서 두 점 사이의 거리를 구하고, 선분을 나누는 점인 내분점과 삼각형의 무게중심까지 구하는 방법을 배웠습니다. 좌표를 이용하니 복잡해 보이는 도형의 성질도 명쾌한 계산으로 해결할 수 있었죠?

오늘 배운 내용은 앞으로 배울 '직선의 방정식', '원의 방정식' 등 모든 도형의 방정식을 다루는 데 가장 기본이 되는 연산 도구입니다. 공식을 무작정 외우기보다는 왜 그렇게 되는지 원리를 생각하며 문제를 풀어보면 수학 실력이 쑥쑥 늘 거예요.

오늘도 정말 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 '직선의 방정식'으로 다시 만나요! 안녕! 👋