미래엔 공통수학2 교과서 [I. 도형의 방정식 2. 원의 방정식] 중단원 마무리 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학2 교과서 [I. 도형의 방정식] 2. 원의 방정식 - 중단원 마무리 문제 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다. 😊

드디어 1단원의 두 번째 중단원 '원의 방정식'을 총정리하는 시간입니다! 그동안 배운 개념들을 총동원해서 종합 문제를 풀어볼 시간이에요. 중단원 마무리 문제는 내신 시험에도 자주 출제되는 유형들이니, 꼼꼼하게 풀어보는 것이 중요합니다. 혹시 막히는 문제가 있다면, 이번 풀이를 통해 확실하게 이해하고 넘어가는 계기가 되었으면 좋겠습니다. 그럼, 마지막까지 힘내서 달려봅시다!

✍️ 중단원 마무리 문제 풀이 (p.40-41)

p.40 문제 01

다음 원의 방정식을 구하시오.

(1) 중심의 좌표가 (1, 2)이고 반지름의 길이가 7인 원

(2) 두 점 $A(-1, 3)$과 $B(5, 1)$을 지름의 양 끝 점으로 하는 원

[풀이 과정]

(1) 중심 $(a,b)$와 반지름 $r$을 알 때, 원의 방정식은 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ 입니다.

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 7^2$

$\mathbf{(x-1)^2 + (y-2)^2 = 49}$

(2) 지름의 양 끝점이 주어졌으므로, 원의 중심은 두 점의 중점이고, 반지름은 중심과 한 끝점 사이의 거리입니다.

중심: $(\frac{-1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (2, 2)$

반지름의 제곱 $r^2 = (2 - (-1))^2 + (2-3)^2 = 3^2 + (-1)^2 = 10$

따라서 원의 방정식은 $\mathbf{(x-2)^2 + (y-2)^2 = 10}$ 입니다.

p.40 문제 02

원 $x^2+y^2+6x-8y+9=0$의 중심의 좌표는 $(a,b)$이고 반지름의 길이는 $r$이다. 이때 $a+b+r$의 값을 구하시오.

[풀이 과정]

주어진 일반형을 표준형으로 바꾸기 위해 완전제곱식으로 만듭니다.

$(x^2+6x) + (y^2-8y) = -9$

$(x^2+6x+9) + (y^2-8y+16) = -9+9+16$

$(x+3)^2 + (y-4)^2 = 16$

즉, $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 4^2$

따라서 중심 $(a,b)$는 $(-3, 4)$이고, 반지름 $r$은 4입니다.

$a+b+r = -3+4+4 = \mathbf{5}$

p.40 문제 03

원 $x^2+y^2=5$와 직선 $y=-3x+k$의 위치 관계가 다음과 같도록 하는 실수 $k$의 값 또는 범위를 구하시오.

(1) 서로 다른 두 점에서 만난다. (2) 접한다. (3) 만나지 않는다.

[풀이 과정]

원의 방정식에 직선의 방정식을 대입하여 얻는 이차방정식의 판별식 D를 이용합니다.

$x^2+(-3x+k)^2=5$

$x^2 + 9x^2 - 6kx + k^2 - 5 = 0$

$10x^2 - 6kx + (k^2-5) = 0$

이 이차방정식의 판별식 (짝수 공식) $D/4$를 구하면,

$D/4 = (-3k)^2 - 10(k^2-5) = 50 - k^2$

(1) 서로 다른 두 점에서 만난다: $D/4 > 0$

$50 - k^2 > 0 \implies k^2 < 50$

$\mathbf{-5\sqrt{2} < k < 5\sqrt{2}}$

(2) 접한다: $D/4 = 0$

$50 - k^2 = 0 \implies k^2 = 50$

$\mathbf{k = \pm 5\sqrt{2}}$

(3) 만나지 않는다: $D/4 < 0$

$50 - k^2 < 0 \implies k^2 > 50$

$\mathbf{k < -5\sqrt{2} \text{ 또는 } k > 5\sqrt{2}}$

p.40 문제 04

다음을 구하시오.

(1) 원 $x^2+y^2=36$에 접하고 기울기가 3인 직선의 방정식

(2) 원 $x^2+y^2=17$ 위의 점 $(-4, 1)$에서의 접선의 방정식

[풀이 과정]

(1) 기울기 $m=3$, 반지름 $r=6$일 때의 접선 공식 $y=mx \pm r\sqrt{m^2+1}$을 이용합니다.

$y = 3x \pm 6\sqrt{3^2+1}$

$\mathbf{y = 3x \pm 6\sqrt{10}}$

(2) 원 위의 점 $(x_1, y_1)=(-4, 1)$에서의 접선 공식 $x_1x+y_1y=r^2$을 이용합니다.

$(-4)x + (1)y = 17$

$\mathbf{-4x+y=17}$

p.40 문제 05

방정식 $x^2+y^2-4x+2y+k=0$이 나타내는 도형이 반지름의 길이가 2 이상인 원이 되도록 하는 자연수 $k$의 개수를 구하시오.

[풀이 과정]

일반형을 표준형으로 바꿉니다.

$(x^2-4x) + (y^2+2y) = -k$

$(x^2-4x+4) + (y^2+2y+1) = -k+4+1$

$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 5-k$

반지름을 $r$이라 하면 $r^2 = 5-k$ 입니다. 반지름의 길이가 2 이상($r \ge 2$)이므로, 반지름의 제곱은 $r^2 \ge 4$ 입니다.

$5-k \ge 4$

$1 \ge k$

이를 만족하는 자연수 $k$는 1 하나뿐이므로, 개수는 1개입니다.

p.40 문제 06 [서술형]

x축과 y축에 동시에 접하고 점 (2, 1)을 지나는 원의 방정식을 모두 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[풀이 과정]

점 (2, 1)은 제1사분면에 있으므로, 이 점을 지나면서 x, y축에 동시에 접하는 원의 중심도 제1사분면에 있어야 합니다. 중심의 좌표를 $(r, r)$ (단, $r>0$)로 놓을 수 있고, 반지름의 길이도 $r$이 됩니다.

원의 방정식은 $(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$ 입니다.

이 원이 점 (2, 1)을 지나므로 대입하면,

$(2-r)^2 + (1-r)^2 = r^2$

$(4-4r+r^2) + (1-2r+r^2) = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r-1)(r-5)=0$

따라서 $r=1$ 또는 $r=5$ 입니다.

구하는 원의 방정식은 다음 두 가지입니다.

$\mathbf{(x-1)^2+(y-1)^2=1} \quad \text{그리고} \quad \mathbf{(x-5)^2+(y-5)^2=25}$

p.40 문제 07

원 $(x-2)^2+(y-5)^2=4$ 위의 점과 직선 $3x-4y-6=0$ 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

[풀이 과정]

원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최댓값과 최솟값은 (원의 중심과 직선 사이의 거리) $\pm$ (반지름)으로 구할 수 있습니다.

1. 원의 중심과 반지름: 중심 $C(2, 5)$, 반지름 $r=2$

2. 원의 중심과 직선 사이의 거리 $d$:

$d = \frac{|3(2)-4(5)-6|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|6-20-6|}{\sqrt{25}} = \frac{|-20|}{5} = 4$

3. 최댓값과 최솟값:

$\text{최댓값} = d+r = 4+2 = \mathbf{6}$

$\text{최솟값} = d-r = 4-2 = \mathbf{2}$

p.40 문제 08

원 $x^2+y^2=10$ 위의 점 (1, 3)에서의 접선이 원 $x^2+y^2-16x-8y+k=0$에 접할 때, 실수 $k$의 값을 구하시오.

[풀이 과정]

1. 첫 번째 원의 접선의 방정식 구하기:

원 $x^2+y^2=10$ 위의 점 (1, 3)에서의 접선의 방정식은 $1\cdot x + 3\cdot y = 10$, 즉 $x+3y-10=0$ 입니다.

2. 두 번째 원의 정보 파악하기:

일반형 $x^2+y^2-16x-8y+k=0$을 표준형으로 바꿉니다.

$(x^2-16x+64) + (y^2-8y+16) = -k+64+16$

$(x-8)^2+(y-4)^2 = 80-k$

중심은 $(8, 4)$이고, 반지름 $r' = \sqrt{80-k}$ 입니다.

3. 접선 조건을 이용해 $k$ 구하기:

두 번째 원과 직선 $x+3y-10=0$이 접하므로, 원의 중심 (8, 4)에서 직선까지의 거리 $d$가 반지름 $r'$과 같아야 합니다.

$d = \frac{|1(8)+3(4)-10|}{\sqrt{1^2+3^2}} = \frac{|8+12-10|}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

$d=r'$ 이므로, $\sqrt{10} = \sqrt{80-k}$ 입니다. 양변을 제곱하면,

$10 = 80-k$

$\mathbf{k = 70}$

p.41 문제 09 [서술형]

점 $P(-2, 4)$에서 원 $x^2+y^2=2$에 그은 두 접선이 y축과 만나는 두 점을 A와 B라 할 때, 삼각형 PAB의 넓이를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[풀이 과정]

1. 접점의 좌표를 $(x_1, y_1)$로 놓고 접선의 방정식 세우기:
접점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $x_1x+y_1y=2$ 입니다. 이 접선은 점 P(-2, 4)를 지나므로 $-2x_1+4y_1=2$, 즉 $y_1 = \frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}$ 입니다. ①
또한, 접점 $(x_1, y_1)$은 원 위의 점이므로 $x_1^2+y_1^2=2$ 입니다. ②

2. 연립방정식을 풀어 접점 구하기:
①을 ②에 대입합니다. $x_1^2+(\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2})^2=2$
$x_1^2 + \frac{1}{4}(x_1^2+2x_1+1) = 2$. 양변에 4를 곱하면,
$4x_1^2 + x_1^2+2x_1+1 = 8 \implies 5x_1^2+2x_1-7=0 \implies (5x_1+7)(x_1-1)=0$
따라서 $x_1=1$ 또는 $x_1=-7/5$ 입니다. 접점은 $(1, 1)$과 $(-7/5, -1/5)$ 입니다.

3. 두 접선의 방정식 구하기:
접점 (1, 1)일 때: $x+y=2$
접점 (-7/5, -1/5)일 때: $-\frac{7}{5}x-\frac{1}{5}y=2 \implies 7x+y=-10$

4. y절편 A, B 구하고 넓이 계산하기:
$x+y=2$의 y절편은 2이므로, A(0, 2)라 할 수 있습니다.
$7x+y=-10$의 y절편은 -10이므로, B(0, -10)라 할 수 있습니다.
삼각형 PAB에서 밑변을 선분 AB로 잡으면 길이는 $|2 - (-10)| = 12$입니다.
높이는 점 P의 x좌표의 절댓값이므로 $|-2|=2$ 입니다.

$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이}) = \frac{1}{2} \times 12 \times 2 = \mathbf{12}$

p.41 문제 10

원 $x^2+y^2-6x-4y+k=0$이 x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 8일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

[풀이 과정]

x축과 만나는 점은 y좌표가 0인 점입니다. 원의 방정식에 $y=0$을 대입합니다.

$x^2-6x+k=0$

이 이차방정식의 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면, 이 두 근이 바로 x축과 만나는 두 점의 x좌표입니다. 두 점 사이의 거리가 8이므로 $|\alpha - \beta| = 8$ 입니다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해,

$\alpha + \beta = 6$

$\alpha\beta = k$

곱셈 공식의 변형을 이용하면, $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$ 입니다.

$8^2 = 6^2 - 4k$

$64 = 36 - 4k \implies 4k = -28$

$\mathbf{k = -7}$

p.41 문제 11

오른쪽 그림과 같이 원 $x^2+y^2=8$ 위의 점 A와 직선 $y=x+6$ 위의 서로 다른 두 점 B와 C를 꼭짓점으로 하는 정삼각형 ABC를 만들 때, 그 넓이의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

[풀이 과정]

정삼각형의 넓이는 높이가 결정합니다. 높이가 최대일 때 넓이도 최대, 높이가 최소일 때 넓이도 최소가 됩니다. 여기서 높이는 원 위의 점 A에서 직선 BC까지의 거리입니다.

1. 원의 중심과 직선 사이의 거리 $d$ 구하기:

원 $x^2+y^2=8$의 중심은 (0, 0), 반지름 $r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$입니다. 직선 $y=x+6$은 $x-y+6=0$입니다.

$d = \frac{|1(0)-1(0)+6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$

2. 정삼각형의 높이(h)의 최댓값과 최솟값 구하기:

최대 높이 $h_{max} = d+r = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

최소 높이 $h_{min} = d-r = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$

3. 넓이의 최댓값과 최솟값 구하기:

높이가 $h$인 정삼각형의 한 변의 길이를 $s$라 하면 $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$ 이고, 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ 입니다. 이 두 식을 연립하면 넓이 $S = \frac{h^2}{\sqrt{3}}$ 이라는 관계식을 얻을 수 있습니다.

$\text{최대 넓이} = \frac{(h_{max})^2}{\sqrt{3}} = \frac{(5\sqrt{2})^2}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{50\sqrt{3}}{3}}$

$\text{최소 넓이} = \frac{(h_{min})^2}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$

🎉 마무리하며

원의 방정식 중단원 마무리 문제를 모두 풀어보았습니다. 어떠셨나요? 기본 문제부터 약간의 응용이 필요한 문제까지, 원의 방정식에 대한 전반적인 이해도를 점검할 수 있었을 거예요. 특히 원의 중심과 반지름을 구하는 것, 그리고 원과 직선의 위치 관계를 판별식 또는 거리로 판단하는 것은 이 단원의 핵심 중의 핵심이니 꼭 복습해주세요!

좌표평면 위에서 점과 직선, 그리고 원까지 다루면서 도형을 식으로 표현하고 분석하는 힘을 기를 수 있었습니다. 다음 단원인 '도형의 이동'에서는 우리가 배운 이 도형들을 평행이동, 대칭이동하며 어떤 변화가 일어나는지 탐구하게 됩니다. 오늘까지 배운 내용이 튼튼한 발판이 되어줄 거예요.

지금까지 정말 수고 많으셨습니다! 다음 시간에 만나요! 안녕! 👋