미래엔 공통수학1 교과서 [이차방정식의 근과 계수의 관계] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학 교과서 [이차방정식의 근과 계수의 관계] 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 고1 학생 여러분, 이차방정식의 세계를 탐험하는 여정은 즐거우신가요? 지난 시간에는 판별식을 이용해 근의 종류를 '판별'하는 방법을 배웠죠. 오늘은 한 걸음 더 나아가, 이차방정식의 근을 직접 구하지 않고도 근들의 합과 곱을 알아내는 마법 같은 도구, '근과 계수의 관계'에 대해 배워보겠습니다. 제주도의 정낭처럼, 계수만 보고도 근의 비밀을 파악할 수 있게 된답니다! 미래엔 공통수학 교과서 55쪽부터 58쪽까지, 함께 정복해봅시다!

[이차방정식의 근과 계수의 관계] 핵심 포인트 짚고 가기

문제를 풀기 전에, 이 단원에서 가장 중요한 핵심 개념들을 다시 한번 정리해볼까요?

• 이차방정식의 근과 계수의 관계: 계수가 실수인 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 할 때, 두 근의 합과 곱은 계수만으로 간단히 구할 수 있어요.
  • 두 근의 합: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ (일차항 계수의 부호를 바꾸고 이차항 계수로 나눈 값)
  • 두 근의 곱: $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ (상수항을 이차항 계수로 나눈 값)
• 두 수를 근으로 하는 이차방정식 세우기: 두 수 $\alpha, \beta$를 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식은 $x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$, 즉 $x^2 - (\text{두 근의 합})x + (\text{두 근의 곱}) = 0$ 꼴로 바로 세울 수 있습니다.
• 이차식의 인수분해 (복소수 범위): 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 근 $\alpha, \beta$를 알면, 이차식을 복소수 범위까지 확장하여 $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$ 와 같이 인수분해할 수 있습니다.

교과서 문제 풀이 (p.55 ~ p.58)

p. 55, 보기

이차방정식 $3x^2-5x+6=0$의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$라 하면

💡 상세 풀이

근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합과 곱을 구해봅시다.

주어진 이차방정식은 $3x^2-5x+6=0$ 입니다. 여기서 계수는 $a=3, b=-5, c=6$ 입니다.

1. 두 근의 합 ($\alpha + \beta$)

공식 $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$에 계수를 대입합니다.

$\alpha + \beta = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3}$

2. 두 근의 곱 ($\alpha \beta$)

공식 $\alpha \beta = \frac{c}{a}$에 계수를 대입합니다.

$\alpha \beta = \frac{6}{3} = 2$

따라서 두 근의 합은 $\frac{5}{3}$, 두 근의 곱은 2 입니다.

p. 56, 문제 1

다음 이차방정식의 두 근의 합과 곱을 구하시오.

(1) $x^2 - 5x + 3 = 0$

(2) $2x^2 + 7x - 1 = 0$

(3) $3x^2 - 4x + 1 = 0$

(4) $-2x^2 - 9x + 6 = 0$

💡 상세 풀이

각 방정식에 대해 근과 계수의 관계 공식인 $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$, $\alpha\beta = \frac{c}{a}$를 적용해 봅시다.

(1) $x^2 - 5x + 3 = 0$

$a=1, b=-5, c=3$ 이므로,

$\text{합} = -\frac{-5}{1} = 5, \quad \text{곱} = \frac{3}{1} = 3$

정답: 합: 5, 곱: 3

(2) $2x^2 + 7x - 1 = 0$

$a=2, b=7, c=-1$ 이므로,

$\text{합} = -\frac{7}{2}, \quad \text{곱} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

정답: 합: $-\frac{7}{2}$, 곱: $-\frac{1}{2}$

(3) $3x^2 - 4x + 1 = 0$

$a=3, b=-4, c=1$ 이므로,

$\text{합} = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}, \quad \text{곱} = \frac{1}{3}$

정답: 합: $\frac{4}{3}$, 곱: $\frac{1}{3}$

(4) $-2x^2 - 9x + 6 = 0$

$a=-2, b=-9, c=6$ 이므로,

$\text{합} = -\frac{-9}{-2} = -\frac{9}{2}, \quad \text{곱} = \frac{6}{-2} = -3$

정답: 합: $-\frac{9}{2}$, 곱: -3

p. 56, 예제 1

이차방정식 $x^2-4x+5=0$의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$라 할 때, 다음 식의 값을 구하시오.

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

💡 상세 풀이

이런 문제는 곱셈 공식의 변형을 이용하는 대표적인 유형이에요. 먼저 두 근의 합과 곱을 구해두는 것이 첫걸음입니다.

1단계: 두 근의 합과 곱 구하기

주어진 방정식 $x^2-4x+5=0$에서 $a=1, b=-4, c=5$입니다.

근과 계수의 관계에 의해,

$\alpha + \beta = -\frac{-4}{1} = 4$

$\alpha \beta = \frac{5}{1} = 5$

2단계: (1) $\alpha^2 + \beta^2$ 값 구하기

곱셈 공식 변형 $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$을 이용하여 $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$로 바꿀 수 있죠.

이제 1단계에서 구한 값을 대입합니다.

$\alpha^2 + \beta^2 = (4)^2 - 2(5) = 16 - 10 = 6$

따라서 (1)의 정답은 6 입니다.

3단계: (2) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ 값 구하기

분수식은 통분하는 것이 기본! 두 분수를 통분하면 $\frac{\beta+\alpha}{\alpha\beta}$가 됩니다.

1단계에서 구한 값을 대입합니다.

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{4}{5}$

따라서 (2)의 정답은 $\frac{4}{5}$ 입니다.

p. 56, 문제 2

이차방정식 $2x^2+3x+8=0$의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$라 할 때, 다음 식의 값을 구하시오.

(1) $(\alpha+1)(\beta+1)$

(2) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

💡 상세 풀이

예제 1과 마찬가지로, 먼저 두 근의 합과 곱부터 구하고 시작하겠습니다.

1단계: 두 근의 합과 곱 구하기

주어진 방정식 $2x^2+3x+8=0$에서 $a=2, b=3, c=8$입니다.

근과 계수의 관계에 의해,

$\alpha + \beta = -\frac{3}{2}$

$\alpha \beta = \frac{8}{2} = 4$

2단계: (1) $(\alpha+1)(\beta+1)$ 값 구하기

주어진 식을 먼저 전개해 봅시다.

$(\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1$

1단계에서 구한 값을 대입합니다.

$= (\alpha\beta) + (\alpha+\beta) + 1 = 4 + (-\frac{3}{2}) + 1 = 5 - \frac{3}{2} = \frac{10-3}{2} = \frac{7}{2}$

따라서 (1)의 정답은 $\frac{7}{2}$ 입니다.

3단계: (2) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ 값 구하기

분수식이니 통분부터 해야겠죠? 통분하면 $\frac{\beta^2+\alpha^2}{\alpha\beta}$가 됩니다.

분자인 $\alpha^2+\beta^2$는 곱셈 공식 변형을 이용해 $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$로 바꿀 수 있습니다.

1단계에서 구한 값들을 대입하여 계산해 봅시다.

$\alpha^2 + \beta^2 = (-\frac{3}{2})^2 - 2(4) = \frac{9}{4} - 8 = \frac{9-32}{4} = -\frac{23}{4}$

이제 전체 식의 값을 계산합니다.

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta} = \frac{-23/4}{4} = -\frac{23}{16}$

따라서 (2)의 정답은 $-\frac{23}{16}$ 입니다.

p. 56, 문제 3

다음 두 수를 근으로 하고 $x^2$의 계수가 1인 이차방정식을 구하시오.

(1) $2+\sqrt{5}$, $2-\sqrt{5}$

(2) $3+\sqrt{2}i$, $3-\sqrt{2}i$

💡 상세 풀이

두 수를 근으로 하는 이차방정식은 $x^2 - (\text{두 근의 합})x + (\text{두 근의 곱}) = 0$ 공식을 이용하면 쉽게 만들 수 있습니다.

(1) 두 근이 $2+\sqrt{5}$, $2-\sqrt{5}$인 경우

두 근의 합: $(2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) = 4$

두 근의 곱: $(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4-5 = -1$ (합차공식 이용!)

이제 공식에 대입하면,

$x^2 - (4)x + (-1) = 0$

따라서 정답은 $x^2 - 4x - 1 = 0$ 입니다.

(2) 두 근이 $3+\sqrt{2}i$, $3-\sqrt{2}i$인 경우

켤레복소수를 근으로 가지므로 합과 곱이 간단한 실수가 될 거예요.

두 근의 합: $(3+\sqrt{2}i) + (3-\sqrt{2}i) = 6$

두 근의 곱: $(3+\sqrt{2}i)(3-\sqrt{2}i) = 3^2 - (\sqrt{2}i)^2 = 9 - (2i^2) = 9 - 2(-1) = 9+2 = 11$

이제 공식에 대입하면,

$x^2 - (6)x + (11) = 0$

따라서 정답은 $x^2 - 6x + 11 = 0$ 입니다.

p. 56, 문제 4

이차방정식 $2x^2+4x+3=0$의 두 근을 $\alpha$와 $\beta$라 할 때, 다음 두 수를 근으로 하고 $x^2$의 계수가 1인 이차방정식을 구하시오.

(1) $\alpha+\beta$, $\alpha\beta$

(2) $\alpha+1$, $\beta+1$

💡 상세 풀이

먼저 원래 방정식의 근과 계수의 관계부터 파악하고, 새로운 방정식의 근의 합과 곱을 구하는 순서로 풀어봅시다.

0단계: 원래 방정식의 근의 합과 곱 구하기

방정식 $2x^2+4x+3=0$에서 근과 계수의 관계를 이용하면,

$\alpha+\beta = -\frac{4}{2} = -2$

$\alpha\beta = \frac{3}{2}$

1단계: (1) 두 근이 $\alpha+\beta$, $\alpha\beta$인 경우

새로운 두 근은 0단계에서 구한 값인 $-2$와 $\frac{3}{2}$입니다.

새로운 두 근의 합: $(-2) + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

새로운 두 근의 곱: $(-2) \times \frac{3}{2} = -3$

따라서 구하는 이차방정식은 $x^2 - (-\frac{1}{2})x + (-3) = 0$

$x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$

정답은 $x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$ 입니다. (양변에 2를 곱해서 $2x^2+x-6=0$으로 써도 됩니다.)

2단계: (2) 두 근이 $\alpha+1$, $\beta+1$인 경우

새로운 두 근의 합: $(\alpha+1) + (\beta+1) = (\alpha+\beta) + 2 = -2 + 2 = 0$

새로운 두 근의 곱: $(\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta + (\alpha+\beta) + 1 = \frac{3}{2} + (-2) + 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

따라서 구하는 이차방정식은 $x^2 - (0)x + \frac{1}{2} = 0$

$x^2 + \frac{1}{2} = 0$

정답은 $x^2 + \frac{1}{2} = 0$ 입니다. (양변에 2를 곱해서 $2x^2+1=0$으로 써도 됩니다.)

p. 57, 예제 2

이차식 $x^2-6x+10$을 복소수의 범위에서 인수분해하시오.

💡 상세 풀이

이차식을 복소수 범위에서 인수분해하려면 먼저 이차방정식의 근을 구해야 해요. 그 근을 이용해서 $a(x-\alpha)(x-\beta)$ 꼴로 만들 수 있습니다.

1단계: 이차방정식의 근 구하기

방정식 $x^2-6x+10=0$의 근을 근의 공식을 이용하여 구합니다. 여기서는 짝수 공식을 사용하면 편리해요!

$x = \frac{-b' \pm \sqrt{(b')^2-ac}}{a}$ 에서 $a=1, b'=-3, c=10$ 이므로

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 1 \cdot 10}}{1} = 3 \pm \sqrt{9-10} = 3 \pm \sqrt{-1} = 3 \pm i$

따라서 두 근은 $3+i$와 $3-i$ 입니다.

2단계: 인수분해하기

두 근 $\alpha=3+i$, $\beta=3-i$를 이용하여 $(x-\alpha)(x-\beta)$ 꼴로 나타냅니다. ($a=1$이므로)

$x^2-6x+10 = \{x - (3+i)\}\{x - (3-i)\}$

괄호를 풀어 정리하면,

$= (x-3-i)(x-3+i)$

정답은 $(x-3-i)(x-3+i)$ 입니다.

p. 57, 문제 5

다음 이차식을 복소수의 범위에서 인수분해하시오.

(1) $x^2+7$

(2) $3x^2-2x+3$

💡 상세 풀이

예제 2와 동일한 방법으로, 먼저 각 이차식=0으로 놓아 이차방정식의 근을 구한 후 인수분해합니다.

(1) $x^2+7$

$x^2+7=0$을 풀면 $x^2=-7$, 따라서 $x=\pm\sqrt{-7}=\pm\sqrt{7}i$ 입니다.

두 근은 $\sqrt{7}i$와 $-\sqrt{7}i$ 이므로, 인수분해하면

$x^2+7 = (x - \sqrt{7}i)(x - (-\sqrt{7}i)) = (x-\sqrt{7}i)(x+\sqrt{7}i)$

정답은 $(x-\sqrt{7}i)(x+\sqrt{7}i)$ 입니다.

(2) $3x^2-2x+3$

$3x^2-2x+3=0$을 근의 공식(짝수 공식)으로 풀어봅시다. $a=3, b'=-1, c=3$

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 3 \cdot 3}}{3} = \frac{1 \pm \sqrt{1-9}}{3} = \frac{1 \pm \sqrt{-8}}{3} = \frac{1 \pm 2\sqrt{2}i}{3}$

두 근은 $\frac{1+2\sqrt{2}i}{3}$와 $\frac{1-2\sqrt{2}i}{3}$ 입니다.

이차항의 계수가 3인 것을 잊지 말고 $a(x-\alpha)(x-\beta)$ 꼴로 인수분해하면,

$3x^2-2x+3 = 3 \left(x - \frac{1+2\sqrt{2}i}{3}\right) \left(x - \frac{1-2\sqrt{2}i}{3}\right)$

정답은 $3\left(x - \frac{1+2\sqrt{2}i}{3}\right)\left(x - \frac{1-2\sqrt{2}i}{3}\right)$ 입니다.

p. 58, 생각 넓히기

한 근이 $2+i$인 이차방정식 $x^2+ax+b=0$을 구하는 방법에 대하여 세 학생이 나눈 대화이다.

가영: 주어진 이차방정식에 $x=2+i$를 대입하면 돼.

진태: $x=2+i$에서 $(x-2)^2=i^2$으로 놓고 풀면 돼.

윤주: 한 근이 $2+i$이면 다른 한 근은 $2-i$이니까, 근과 계수의 관계를 이용하면 돼.

활동 1: 세 학생의 방법을 이용하여 이차방정식을 각각 구해 보자.

활동 2: 활동 1에서 구한 세 이차방정식이 모두 같은지 확인해 보자.

💡 상세 풀이

세 가지 다른 방법으로 같은 답에 도달하는 과정을 보여주는 재미있는 문제네요. 이 문제에서 중요한 점은 계수 $a, b$가 실수라는 조건이 암묵적으로 주어져 있다는 것입니다. (윤주의 풀이는 이 조건이 있어야만 성립해요!)

활동 1: 세 가지 방법으로 풀기

1. 가영이의 방법 (직접 대입법)

$x=2+i$를 $x^2+ax+b=0$에 대입합니다.

$\begin{align*} (2+i)^2 + a(2+i) + b &= 0 \\ (4+4i+i^2) + (2a+ai) + b &= 0 \\ (4+4i-1) + 2a+ai+b &= 0 \\ (3+2a+b) + (4+a)i &= 0 \end{align*}$

이 식이 성립하려면 실수부분과 허수부분이 모두 0이어야 합니다. (복소수가 서로 같을 조건)

허수부분: $4+a=0 \implies a=-4$

실수부분: $3+2a+b=0 \implies 3+2(-4)+b=0 \implies 3-8+b=0 \implies b=5$

따라서 이차방정식은 $x^2-4x+5=0$ 입니다.

2. 진태의 방법 (관계식 변형)

$x=2+i$에서 $i$만 남기고 이항하면 $x-2=i$가 됩니다.

양변을 제곱하여 $i$를 없애봅시다.

$\begin{align*} (x-2)^2 &= i^2 \\ x^2-4x+4 &= -1 \\ x^2-4x+5 &= 0 \end{align*}$

따라서 이차방정식은 $x^2-4x+5=0$ 입니다.

3. 윤주의 방법 (켤레근과 근과 계수의 관계)

계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 $2+i$이므로, 다른 한 근은 반드시 켤레복소수인 $2-i$입니다.

두 근의 합: $(2+i)+(2-i) = 4$

두 근의 곱: $(2+i)(2-i) = 2^2 - i^2 = 4-(-1) = 5$

근과 계수의 관계에 의해, $x^2 - (\text{합})x + (\text{곱}) = 0$ 이므로,

$x^2 - 4x + 5 = 0$

따라서 이차방정식은 $x^2-4x+5=0$ 입니다.

활동 2: 결과 비교

가영, 진태, 윤주의 방법으로 구한 이차방정식은 모두 $x^2-4x+5=0$으로 동일합니다.

어떤 방법이 가장 편했나요? 보통은 켤레근의 성질을 이용하는 윤주의 방법이 가장 빠르고 효율적이랍니다! 하지만 다른 방법들도 꼭 알아두세요!

개념 확장 및 연관성

오늘 배운 '근과 계수의 관계'는 단순히 이차방정식 문제를 푸는 데 그치지 않고, 앞으로 배울 수학 내용의 중요한 기초가 됩니다.

• 고차방정식: 삼차방정식, 사차방정식에서도 근과 계수의 관계는 성립합니다. 예를 들어, 삼차방정식 $ax^3+bx^2+cx+d=0$의 세 근을 $\alpha, \beta, \gamma$라 하면 $\alpha+\beta+\gamma = -b/a$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = c/a$, $\alpha\beta\gamma = -d/a$ 와 같은 관계가 성립하죠.
• 함수의 그래프 해석: 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표는 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 실근입니다. 두 교점의 중점의 x좌표는 $\frac{\alpha+\beta}{2} = -\frac{b}{2a}$가 되는데, 이는 바로 이차함수의 대칭축의 방정식이 됩니다. 이처럼 근과 계수의 관계는 함수의 그래프를 해석하는 강력한 도구가 됩니다.

오개념 방지 및 심화 팁

근과 계수의 관계를 배울 때 학생들이 자주 실수하는 부분과 심화 학습을 위한 팁을 알려드릴게요!

• 부호 실수 조심!: 두 근의 합 공식은 $-\frac{b}{a}$ 입니다. 앞에 붙는 마이너스(-) 부호를 빼먹는 실수를 정말 많이 해요! 항상 공식을 정확히 기억하고 적용하는 연습을 하세요.
• 켤레근의 조건: "이차방정식의 한 근이 $p+q\sqrt{m}$이면 다른 근은 $p-q\sqrt{m}$이다" 혹은 "한 근이 $p+qi$이면 다른 근은 $p-qi$이다"라는 켤레근의 성질은 계수가 모두 유리수(무리수의 경우) 또는 계수가 모두 실수(허수의 경우)라는 조건이 있을 때만 성립합니다. 이 조건이 없는 문제에서는 켤레근을 함부로 사용하면 안 되고, 직접 대입해서 풀어야 합니다.
• 식의 값 구하기 전략: $\alpha^3+\beta^3$, $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}$ 등 복잡한 식의 값을 구하라는 문제가 나오면 당황하지 마세요. 모든 식은 결국 두 근의 합($\alpha+\beta$)과 곱($\alpha\beta$)으로 표현할 수 있습니다. 곱셈 공식 변형을 자유자재로 활용하는 연습이 필수입니다!

마무리하며

오늘은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 대해 깊이 있게 탐구해 보았습니다. 근을 직접 구하지 않고도 근들의 관계를 파악하고, 이를 이용해 다양한 식의 값을 구하거나 새로운 방정식을 만들어내는 과정이 흥미롭지 않았나요?

오늘 배운 내용은 앞으로 배울 이차함수, 여러 가지 방정식과 부등식 단원에서 계속해서 사용되는 중요한 개념입니다. 오늘 푼 문제들을 다시 한번 복습하면서 근과 계수의 관계를 완전히 여러분의 것으로 만들어 보세요. 다음 시간에는 이차방정식과 이차함수가 어떻게 서로 연결되는지, 그 아름다운 관계에 대해 알아보겠습니다. 다음 포스팅에서 만나요!