[고1 수학] 복소수와 그 연산 개념 완벽 정리: 허수 i부터 사칙연산까지

[고1 수학] 복소수와 그 연산 개념 완벽 정리: 허수 i부터 사칙연산까지

시작하며: 우리가 알던 수의 세계, 그 경계를 넘어서

중학교 때 우리는 이차방정식 $x^2 = 2$의 해를 구하기 위해 실수의 범위를 $\sqrt{2}$까지 확장했습니다. 하지만 $x^2 = -1$ 이라는 방정식 앞에서는 '해는 없다'라고 결론 내릴 수밖에 없었죠. 정말 해가 없는 걸까요? 아니면 우리가 아는 수의 세계가 아직 좁았던 걸까요?

수학자들은 이 질문에 '우리가 아는 수의 체계를 확장하자!'라는 대담한 아이디어로 답했습니다. 마치 자연수에서 정수, 유리수, 실수로 수의 세계를 넓혀왔듯이 말이죠. 이렇게 '제곱해서 -1이 되는 새로운 수'를 상상하며 탄생한 것이 바로 '허수(imaginary number)'이고, 이 허수를 포함하는 더 넓은 수의 체계가 바로 '복소수(complex number)'입니다. 복소수는 단순히 방정식을 풀기 위한 도구를 넘어, 현대 과학 기술의 기초가 되는 매우 중요한 개념이랍니다. 자, 그럼 새로운 수의 세계로 함께 떠나볼까요?

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개념과 원리 심층 탐구

1. 허수단위 i의 탄생: 상상 속의 수, 현실이 되다

이차방정식 $x^2 = -1$을 풀기 위해, 수학자들은 '제곱해서 -1이 되는 수'를 약속하고, 이를 기호 $i$로 나타냈습니다.

$$ i^2 = -1 $$

이때 $i$를 허수단위(imaginary unit)라고 부릅니다. 제곱근의 정의에 따라 $i = \sqrt{-1}$로 생각할 수 있죠. 이 작은 약속 하나가 수의 세계를 무한히 확장하는 열쇠가 됩니다.

2. 복소수란 무엇일까? (실수와 허수)

이제 허수단위 $i$를 이용해 새로운 수를 표현할 수 있게 되었습니다. 실수 $a, b$에 대하여

$$ a+bi $$

와 같은 꼴로 나타내어지는 수를 복소수라고 합니다. 이때 $a$를 실수부분, $b$를 허수부분이라고 부릅니다.

• 복소수: $a+bi$ (단, $a, b$는 실수)
• 실수: 허수부분 $b=0$인 복소수 (예: $3 = 3+0i$)
• 허수: 허수부분 $b \neq 0$인 복소수 (예: $2+3i, -5i$)

즉, 우리가 지금까지 다루었던 모든 실수는 복소수라는 더 큰 집합의 일부였던 셈이죠.

(1) 복소수가 서로 같을 조건 (상등)

두 복소수 $a+bi$와 $c+di$가 서로 같다는 것은, 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 같다는 뜻입니다.

$$ a+bi = c+di \iff a=c, b=d $$

특히, $a+bi = 0$ 이라면 $a=0, b=0$ 임을 의미합니다. 이는 복소수 관련 문제에서 항등식처럼 활용되는 중요한 성질이니 꼭 기억해두세요!

(2) 켤레복소수: 거울에 비친 나의 짝꿍

복소수 $a+bi$에 대하여 허수부분의 부호만 바꾼 $a-bi$를 켤레복소수라고 하고, 기호로는 위에 선을 그어 $\overline{a+bi}$ 와 같이 나타냅니다.

• $\overline{2+3i} = 2-3i$
• $\overline{-5i} = 5i$
• $\overline{7} = 7$ (실수의 켤레복소수는 자기 자신!)

켤레복소수는 앞으로 복소수의 나눗셈이나 여러 계산 문제에서 마법 같은 역할을 하게 될 테니, 꼭 친해져야 할 친구랍니다.

3. 복소수의 사칙연산: 'i'를 문자처럼 다루어 보세요!

복소수의 계산, 어렵지 않아요! 허수단위 $i$를 하나의 문자처럼 생각하고, 마지막에 $i^2 = -1$만 적용해주면 됩니다.

• 덧셈과 뺄셈: 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리!
  $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$
  $(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i$
  
  
• 곱셈: 다항식처럼 전개하고, $i^2 = -1$을 대입하여 정리!
  $(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$
  
  
• 나눗셈: 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱하여 분모를 '실수'로 만들어주기! (분모의 유리화와 비슷하죠?)
  $\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$

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단계별 문제 해결 전략

예제 1: 복소수의 사칙연산

문제: $\frac{2+i}{1-i}$를 $a+bi$ 꼴로 나타내시오.

사고 과정:

1. 나눗셈이네! 분모를 실수로 만들어야겠다.
2. 분모인 $1-i$의 켤레복소수는 $1+i$이지.
3. 분자와 분모에 똑같이 $1+i$를 곱해주자.

풀이:

$$ \begin{align*} \frac{2+i}{1-i} &= \frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} \\ &= \frac{2+2i+i+i^2}{1^2 - i^2} \\ &= \frac{2+3i-1}{1 - (-1)} \\ &= \frac{1+3i}{2} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i \end{align*} $$

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심화 탐구: 복소수의 숨겨진 규칙

1. i의 거듭제곱: 4개의 숫자가 반복되는 마법

허수단위 $i$는 거듭제곱하면 놀라운 규칙을 보입니다.

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = i^2 \cdot i = -i$
• $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$
• $i^5 = i^4 \cdot i = i$ (다시 처음으로!)

$i, -1, -i, 1$ 이 네 개의 값이 계속 반복되는 것을 알 수 있죠. 따라서 $i$의 높은 거듭제곱 값은 지수를 4로 나눈 나머지로 간단히 구할 수 있습니다. 예를 들어, $i^{100} = (i^4)^{25} = 1^{25} = 1$ 입니다.

2. 음수의 제곱근: 새로운 약속

이제 복소수를 배웠으므로, 음수의 제곱근도 정의할 수 있습니다. 양수 $a$에 대하여,

$$ \sqrt{-a} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{a}i $$

라고 약속합니다. 예를 들어 $\sqrt{-9} = \sqrt{9}i = 3i$ 이고, $-9$의 제곱근은 $\pm 3i$가 됩니다.

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오개념 방지 및 심화 팁: 이것만은 조심하자!

많은 학생이 중학교 때 배운 제곱근의 성질 $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$를 무심코 사용하다가 함정에 빠집니다. 이 성질은 $a, b$가 모두 음수일 때는 성립하지 않아요!

• 틀린 계산: $\sqrt{-2}\sqrt{-3} = \sqrt{(-2)(-3)} = \sqrt{6}$ (X)
• 올바른 계산: $\sqrt{-2}\sqrt{-3} = (\sqrt{2}i)(\sqrt{3}i) = \sqrt{6}i^2 = -\sqrt{6}$ (O)

결론: $a<0, b<0$ 일 때, $\sqrt{a}\sqrt{b} = -\sqrt{ab}$ 입니다.

이 실수를 피하는 가장 좋은 방법은, 루트 안에 음수가 보이면 계산 전에 무조건 $i$를 밖으로 꺼내는 습관을 들이는 것입니다. 이것 하나만 기억해도 많은 오답을 줄일 수 있습니다.

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개념 확장 및 연관성

복소수는 단순히 상상 속의 수가 아닙니다. 교류 전기 회로의 저항을 나타내는 '임피던스'를 계산할 때, 파동이나 진동을 분석하는 물리학, 비행기 주변의 공기 흐름을 계산하는 항공우주 공학 등 수많은 첨단 과학 기술 분야에서 복소수는 없어서는 안 될 중요한 도구로 사용되고 있답니다.

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마무리하며

오늘은 제곱해서 -1이 되는 수 $i$를 도입하여 실수의 세계를 복소수까지 확장해보았습니다. 새로운 수의 정의부터 낯선 기호, 사칙연산까지 처음에는 어색할 수 있지만, 'i는 문자처럼, 단 $i^2=-1$이다'라는 대원칙만 기억하면 금방 익숙해질 거예요.

복소수라는 든든한 무기를 장착했으니, 다음 시간에는 이 무기를 이용해 실수 범위에서 해가 없었던 이차방정식의 근을 구하는 방법을 탐구해보겠습니다. 오늘의 내용이 다음 학습의 중요한 발판이 되니, 꼭 복습하고 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요!

수학, 포기하지 않으면 반드시 정복할 수 있습니다. 수학쟁이 선생님이 항상 응원할게요!