[고1 수학] 이차방정식 근과 계수의 관계 완벽 정리: 개념부터 심화까지

[고1 수학] 이차방정식 근과 계수의 관계 완벽 정리: 개념부터 심화까지

시작하며: 왜 근과 계수의 관계를 배워야 할까?

여러분, 중학교 때 이차방정식을 풀기 위해 '근의 공식'을 정말 열심히 외웠던 기억나죠? 근의 공식을 이용하면 어떤 이차방정식이든 척척 풀어낼 수 있었어요. 하지만 고등학교 수학에서는 단순히 근을 구하는 것을 넘어, '근의 성질'과 '계수와의 관계'를 탐구하며 문제에 더 유연하게 접근하는 능력을 요구해요.

'이차방정식의 근과 계수의 관계'는 바로 이 지점에서 우리의 강력한 무기가 되어줍니다. 두 근의 합이나 곱, 또는 근들로 이루어진 다양한 식의 값을 근을 직접 구하지 않고도 계수만으로 빠르고 정확하게 알아낼 수 있게 해주거든요. 앞으로 배울 여러 가지 방정식, 함수, 그리고 더 나아가 복잡한 수학 이론의 기초가 되니, 오늘 확실하게 마스터하고 갑시다!

1. 개념과 원리 심층 탐구: 근과 계수의 비밀스러운 관계

(1) 이차방정식 근과 계수의 관계 공식

이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ (단, $a, b, c$는 실수, $a \neq 0$)의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라고 할 때, 다음과 같은 관계가 성립해요.

• 두 근의 합:
  $$ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} $$
• 두 근의 곱:
  $$ \alpha\beta = \frac{c}{a} $$

정말 간단하죠? 이차항의 계수($a$), 일차항의 계수($b$), 상수항($c$)만 알면 두 근의 합과 곱을 바로 알 수 있다는 뜻이에요.

(2) 공식은 어떻게 유도될까? (증명)

"선생님, 공식은 알겠는데 왜 이렇게 되는 건가요?" 좋은 질문이에요! 공식의 원리를 이해하면 절대 잊어버리지 않고, 더 어려운 문제에도 응용할 수 있답니다. 우리에겐 만능 열쇠 '근의 공식'이 있으니, 함께 증명해 봐요.

이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근 $\alpha$, $\beta$는 근의 공식에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있죠.

$$ \alpha = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad \beta = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

1. 두 근의 합 ($\alpha + \beta$) 증명
두 근을 직접 더해볼까요?

$$ \begin{align*} \alpha + \beta &= \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) + \left( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \\ &= \frac{(-b + \sqrt{b^2 - 4ac}) + (-b - \sqrt{b^2 - 4ac})}{2a} \\ &= \frac{-2b}{2a} \\ &= -\frac{b}{a} \end{align*} $$

어때요? 정말로 $-\frac{b}{a}$가 나왔죠?

2. 두 근의 곱 ($\alpha\beta$) 증명
이번엔 두 근을 곱해봅시다. 분자는 합차 공식 $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$을 이용하면 간단해져요.

$$ \begin{align*} \alpha\beta &= \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \times \left( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \\ &= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{(2a)^2} \\ &= \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} \\ &= \frac{4ac}{4a^2} \\ &= \frac{c}{a} \end{align*} $$

두 근의 곱도 $\frac{c}{a}$임을 확인했네요! 이렇게 직접 증명하고 나니 공식이 더 친숙하게 느껴지지 않나요?

2. 단계별 문제 해결 전략: 실전 감각 키우기

이제 배운 개념을 문제에 적용해 봅시다. 어떤 유형들이 우리를 기다리고 있을까요?

(1) 기본 유형: 두 근의 합과 곱 구하기

가장 기본적인 문제 유형이에요. 이차방정식 $2x^2 - 5x + 4 = 0$의 두 근의 합과 곱을 구해볼까요?

• $a=2, b=-5, c=4$ 이므로
• 두 근의 합: $\alpha + \beta = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$
• 두 근의 곱: $\alpha\beta = \frac{4}{2} = 2$

Tip: 계수 $b$의 부호에 주의하세요! 합은 $-\frac{b}{a}$ 입니다.

(2) 응용 유형 1: 곱셈 공식을 이용한 식의 값 구하기

시험에 정말 자주 출제되는 유형이에요. 근과 계수의 관계는 곱셈 공식의 변형과 찰떡궁합이랍니다.

예제) 이차방정식 $x^2 - 4x + 5 = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $\alpha^2 + \beta^2$의 값을 구하시오.

[사고 과정]

1. 먼저 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합과 곱을 구해요.
   $\alpha + \beta = -(\frac{-4}{1}) = 4$
   $\alpha\beta = \frac{5}{1} = 5$


2. 구하려는 식 $\alpha^2 + \beta^2$을 합과 곱으로 표현하기 위해 곱셈 공식을 변형해요.
   $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$


3. 1에서 구한 값을 대입하여 식의 값을 계산해요.
   $\alpha^2 + \beta^2 = (4)^2 - 2(5) = 16 - 10 = 6$

어때요? 근을 직접 구하지 않고도 식의 값을 간단히 구할 수 있죠? $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ 같은 분수식도 통분하면 $\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$가 되므로 합과 곱으로 해결할 수 있답니다.

(3) 응용 유형 2: 두 수를 근으로 하는 이차방정식 만들기

이번엔 반대로 두 근이 주어졌을 때 이차방정식을 만들어 볼게요. 두 수 $\alpha$, $\beta$를 근으로 하고 $x^2$의 계수가 1인 이차방정식은 어떻게 세울 수 있을까요?

바로 $(x-\alpha)(x-\beta)=0$의 형태로 만들 수 있죠. 이 식을 전개하면,

$$ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 $$

결국 두 근의 합과 두 근의 곱만 알면 이차방정식을 바로 만들 수 있다는 사실!

예제) 두 수 $3+\sqrt{2}i$, $3-\sqrt{2}i$를 근으로 하고 $x^2$의 계수가 1인 이차방정식을 구하시오.

• 두 근의 합: $(3+\sqrt{2}i) + (3-\sqrt{2}i) = 6$
• 두 근의 곱: $(3+\sqrt{2}i)(3-\sqrt{2}i) = 3^2 - (\sqrt{2}i)^2 = 9 - (-2) = 11$
• 이차방정식: $x^2 - (6)x + (11) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 6x + 11 = 0$

3. 개념 확장 및 연관성: 더 넓은 수학의 세계로

근과 계수의 관계는 이차방정식에서 끝나지 않아요. 나중에 배울 삼차방정식, 사차방정식에서도 근과 계수 사이에는 일정한 규칙이 존재한답니다.

또한, 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라고 하면, 이차식 $ax^2+bx+c$는 복소수의 범위에서 항상 $a(x-\alpha)(x-\beta)$로 인수분해할 수 있어요. 즉, 근과 계수의 관계는 '이차식의 인수분해'와도 깊은 관련이 있는 아주 중요한 개념이죠.

4. 오개념 방지 및 심화 팁

• 부호 실수 조심! 두 근의 합은 $-\frac{b}{a}$라는 점, 절대 잊지 마세요. 가장 많이 하는 실수 중 하나랍니다.
• 계수 확인은 필수! $ax^2+bx+c=0$ 꼴로 완벽히 정리한 후 $a, b, c$ 값을 확인해야 실수를 줄일 수 있어요.
• (심화) 두 근의 차 공식: 두 근의 차 $|\alpha - \beta|$는 $\frac{\sqrt{D}}{|a|}$ (단, $D=b^2-4ac$)로 구할 수 있어요. 이 공식까지 알아두면 문제 풀이 시간을 단축하는 강력한 무기가 될 수 있습니다!

마무리하며: 개념은 정확하게, 활용은 유연하게

오늘은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 대해 알아봤어요. 핵심 내용을 다시 정리해볼까요?

이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때,
두 근의 합 $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
두 근의 곱 $\alpha\beta = \frac{c}{a}$

단순히 공식을 암기하는 것을 넘어, 왜 그렇게 되는지 유도 과정을 이해하고 다양한 문제에 적용하는 연습을 하는 것이 중요해요. 오늘 배운 내용을 바탕으로 교과서의 예제와 문제들을 다시 한번 풀어보며 개념을 완벽히 자기 것으로 만드시길 바랍니다.

다음 시간에는 '이차방정식과 이차함수'의 관계로 넘어가, 방정식의 근이 함수의 그래프에서 어떤 의미를 갖는지 탐구해볼게요. 수학의 세계는 이렇게 개념들이 서로 연결되어 있답니다. 꾸준한 노력으로 수학의 재미를 발견하는 여러분이 되길 응원합니다!