고1 수학 이차방정식의 판별식 개념 완벽 정리: 실근? 허근? D로 꿰뚫어 보기

고1 수학 이차방정식의 판별식 개념 완벽 정리: 실근? 허근? D로 꿰뚫어 보기

시작하며: 근의 공식을 다시 만나다

여러분, 중학교 때 이차방정식의 근을 구하기 위해 정말 열심히 외웠던 '근의 공식', 기억나나요? 바로 이 공식 안에 오늘 배울 내용의 모든 비밀이 숨어있답니다.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

이차방정식의 근을 구하다 보면, 어쩔 때는 근이 2개가 나오기도 하고, 1개(중근)만 나오기도 하고, 또 어떨 때는 '근이 없다'고 배웠어요. 하지만 고등학교에서는 '없다'고 배웠던 그 영역을 '허근'이라는 새로운 수의 세계로 확장하게 됩니다.

그렇다면, 이 복잡한 근의 공식을 매번 계산하지 않고도 "이차방정식의 근이 실수일까, 허수일까? 혹은 한 개일까, 두 개일까?"를 미리 알 수 있는 방법이 있을까요? 네, 있습니다! 그 열쇠가 바로 판별식(Discriminant)입니다.

개념과 원리 심층 탐구: 판별식 D의 정체

1. 실근과 허근: 루트 안의 세상

근의 공식에서 가장 까다로운 부분은 바로 루트, 즉 근호($\sqrt{\phantom{b^2-4ac}}$) 안의 식인 $b^2 - 4ac$입니다. 이 값의 부호에 따라 근의 종류가 결정되죠.

• $b^2 - 4ac \ge 0$ 라면? $\sqrt{b^2 - 4ac}$는 실수가 되므로, 이차방정식의 근 $x$도 실수가 됩니다. 이를 실근(實根, real root)이라고 해요.
• $b^2 - 4ac < 0$ 라면? 루트 안이 음수가 되네요! 중학교 때는 '이런 수는 없다'고 했지만, 이제 우리는 복소수를 배웠죠? 이 값은 허수가 되고, 따라서 이차방정식의 근 $x$도 허수가 됩니다. 이를 허근(虛根, imaginary root)이라고 합니다.

2. 판별식 D의 탄생

바로 이 $b^2 - 4ac$가 이차방정식의 근의 종류를 '판별'하는 중요한 역할을 한다고 해서, 우리는 이 식을 특별히 판별식이라고 부르고, 영어 Discriminant의 첫 글자를 따서 대문자 $D$로 나타냅니다.

$$D = b^2 - 4ac$$

3. 판별식 D를 이용한 근의 판별: 3가지 시나리오

이제 판별식 $D$의 부호에 따라 근이 어떻게 달라지는지 체계적으로 정리해 봅시다.

판별식 ($D = b^2 - 4ac$)	근의 종류	설명
$D > 0$	서로 다른 두 실근	$\sqrt{D}$가 양의 실수이므로, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$는 서로 다른 두 개의 실근을 갖습니다.
$D = 0$	중근 (서로 같은 두 실근)	$\sqrt{D}=0$이므로, $x = -\frac{b}{2a}$라는 하나의 실근만 갖게 됩니다. 이를 중근이라고 하죠.
$D < 0$	서로 다른 두 허근	$\sqrt{D}$가 허수가 되므로, $x = \frac{-b \pm \sqrt{|D|}i}{2a}$는 서로 다른 두 개의 허근을 갖습니다. 이때 두 허근은 항상 켤레복소수 관계에 있답니다!

판별식 심화 활용 및 문제 해결 팁

판별식은 단순히 근의 종류를 판별하는 것을 넘어, 다양한 문제 상황에서 강력한 도구로 활용됩니다. 몇 가지 심화 팁을 알아볼까요?

💡 활용 1: 이차식이 완전제곱식이 될 조건

"이차식 $ax^2+bx+c$가 완전제곱식이 된다"는 말은, 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$이 중근을 갖는다는 말과 완전히 똑같은 의미입니다. 따라서 이차식이 완전제곱식이 될 조건은 바로!

$$ D = b^2-4ac = 0 $$

이것만 기억하면 완전제곱식 관련 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다.

💡 활용 2: 켤레근의 비밀

계수가 실수인 이차방정식에서 판별식 $D<0$일 때, 근은 $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{|D|}i}{2a}$ 꼴이 됩니다. 즉, 두 근은 $\frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{|D|}}{2a}i$ 와 $\frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt{|D|}}{2a}i$ 로, 언제나 켤레복소수 쌍으로 존재합니다. 이 성질을 이용하면, 한 허근을 알 때 다른 한 근을 바로 알 수 있어 문제 풀이가 훨씬 수월해집니다.

심화 예제 문제

이차방정식 $x^2 - 2(k-2)x + k^2 - 24 = 0$이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 $k$의 개수를 구하시오.

문제 해결 전략

1. STEP 1: 짝수 공식 판별식 $D/4$ 활용하기
   $x$의 계수가 $-2(k-2)$로 짝수이므로 $D/4$를 사용하면 계산이 편리합니다.
   $a=1, b'=(k-2), c=(k^2-24)$
   '서로 다른 두 실근'을 가질 조건은 $D > 0$, 즉 $D/4 > 0$ 입니다.
2. STEP 2: 부등식 풀기
   
   $$ D/4 = (b')^2 - ac = (-(k-2))^2 - 1 \cdot (k^2-24) > 0 $$
   부등식을 전개하여 풀어봅시다.
   
   $$ (k^2 - 4k + 4) - k^2 + 24 > 0 $$ $$ -4k + 28 > 0 $$ $$ 28 > 4k $$ $$ 7 > k $$
3. STEP 3: 조건에 맞는 자연수 $k$ 찾기
   $k < 7$을 만족하는 자연수 $k$는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 입니다.

정답: 6개

이것만은 꼭! 오개념 방지 노트

🚨 자주 하는 실수: '실근'의 조건

문제에서 '실근을 갖는다'고 하면 $D>0$만 생각하는 친구들이 많아요. 하지만 중근도 엄연한 실근입니다! 따라서 '실근을 갖는다'는 조건은 $D>0$과 $D=0$을 합친, 즉 $D \ge 0$으로 풀어야 한다는 점, 절대 잊지 마세요!

마무리하며

오늘은 이차방정식의 근을 판별하는 강력한 도구, 판별식 $D$에 대해 알아봤습니다.

1. $D > 0$ ➜ 서로 다른 두 실근
2. $D = 0$ ➜ 중근 (완전제곱식)
3. $D < 0$ ➜ 서로 다른 두 허근 (켤레복소수)

이 세 가지만 확실히 기억하면 판별식 문제는 정복한 것이나 다름없습니다. 판별식은 앞으로 배울 '원과 직선의 위치 관계' 등 여러 단원에서 이차방정식을 만들어 그 관계를 파악하는 데 계속해서 사용되는 핵심 개념이니, 오늘 배운 내용을 여러 번 복습하면서 자신의 것으로 완벽하게 만들어 주세요.

수학은 개념 하나하나를 벽돌처럼 쌓아 올리는 것과 같아요. 오늘 판별식이라는 튼튼한 벽돌 하나를 잘 쌓았으니, 다음 시간에는 더 높은 곳을 향해 나아갈 수 있을 거예요. 궁금한 점이 있다면 언제든지 댓글로 질문해 주세요! 수학쟁이 선생님이었습니다. 😊