세모쌤의 책가방♪

[고1 수학] 이차함수의 최대, 최소 완벽 정리: 제한된 범위, 이것만 알면 끝!

[고1 수학] 이차함수의 최대, 최소 완벽 정리: 제한된 범위, 이것만 알면 끝! (개념부터 응용까지)



시작하며: 왜 이차함수의 최대, 최소를 배울까?

수학쟁이 선생님입니다! 오늘은 고1 수학에서 정말 중요한 이차함수의 최대, 최소에 대해 배워볼 시간이에요. 중학교 때 이차함수의 그래프를 그리면서 꼭짓점에서 최댓값 또는 최솟값을 갖는다는 것을 배웠던 것, 기억나나요? 예를 들어 공을 위로 던졌을 때 가장 높이 올라가는 지점이나, 상품을 팔 때 가장 큰 이익을 내는 지점을 찾는 것처럼 우리 삶은 '최적의 값'을 찾는 과정과 밀접하게 관련되어 있답니다.

고등학교에서는 여기에 '제한된 범위'라는 새로운 조건이 추가됩니다. 즉, 함수 전체가 아니라 특정 구간에서 가장 큰 값(최댓값)과 가장 작은 값(최솟값)을 찾는 방법을 배우는 거죠. 이 개념은 나중에 더 복잡한 함수를 다룰 때도 기본 원리로 사용되니, 오늘 확실하게 개념을 다져봅시다!



개념과 원리 심층 탐구: 최대, 최소는 어떻게 결정될까?

이차함수의 최대, 최소를 구하는 핵심은 '그래프의 모양'과 '주어진 범위' 이 두 가지를 함께 고려하는 것입니다.

1. 기본 중의 기본: 범위가 없을 때의 최대, 최소

먼저 중학교 내용을 복습해볼까요? 모든 이차함수는 $y = a(x-p)^2 + q$ 꼴로 바꿀 수 있죠. 이 식에서 꼭짓점의 좌표는 $(p, q)$ 입니다.

  • 아래로 볼록 ($a > 0$): 그래프는 끝없이 위로 올라가므로 최댓값은 없어요. 하지만 가장 낮은 지점, 즉 꼭짓점에서 최솟값 $q$를 가집니다.
  • 위로 볼록 ($a < 0$): 그래프는 끝없이 아래로 내려가므로 최솟값은 없어요. 반대로 가장 높은 지점인 꼭짓점에서 최댓값 $q$를 가집니다.

이것이 이차함수 최대, 최소의 가장 기본적인 원리입니다. 꼭짓점의 y좌표가 바로 기준이 되는 거죠!



2. 고등 수학의 핵심: 범위가 제한될 때 ($\alpha \le x \le \beta$)

이제부터가 진짜 중요합니다! 만약 x의 값이 특정 범위($\alpha \le x \le \beta$)로 제한된다면, 우리는 그 구간의 그래프만 생각해야 합니다. 이때 최댓값과 최솟값의 '후보'가 되는 지점은 딱 세 군데입니다.

최대, 최소 후보: ① 구간의 시작점($f(\alpha)$) ② 구간의 끝점($f(\beta)$) ③ 꼭짓점의 y좌표($f(p)$)

여기서 가장 중요한 포인트! 꼭짓점의 y좌표는 꼭짓점의 x좌표 $p$가 주어진 범위 $[\alpha, \beta]$ 안에 있을 때만 후보가 될 수 있습니다.

이 세 후보의 값을 비교해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이 되는 거예요. 정말 간단하죠? 교과서 70쪽의 그림처럼 꼭짓점의 위치에 따라 경우를 나누어 생각할 수 있지만, 결국 이 세 후보만 잘 따지면 모든 문제를 해결할 수 있답니다.

  • Case 1: 꼭짓점이 범위 안에 있을 때 ($\alpha \le p \le \beta$)
    후보는 $f(\alpha)$, $f(\beta)$, $f(p)$ 세 개입니다. 이 셋 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값입니다.

  • Case 2: 꼭짓점이 범위 밖에 있을 때 ($p < \alpha$ 또는 $p > \beta$)
    우리가 생각할 그래프 구간에는 꼭짓점이 포함되지 않죠? 따라서 후보는 양 끝값인 $f(\alpha)$와 $f(\beta)$ 두 개뿐입니다. 이 둘 중 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값이 됩니다.


단계별 문제 해결 전략 (feat. 교과서 예제)

개념을 알았으니 실제 문제에 적용해봐야겠죠? 교과서 예제를 통해 문제 해결 4단계를 익혀봅시다.

[문제 해결 4-Step]
Step 1. 이차함수를 표준형 $y = a(x-p)^2 + q$로 변환하여 꼭짓점 $(p, q)$를 찾는다.
Step 2. 꼭짓점의 x좌표 $p$가 주어진 범위 안에 포함되는지 확인한다.
Step 3. 범위의 양 끝값($f(\alpha), f(\beta)$)과 (포함된다면) 꼭짓점의 y좌표($f(p)$)를 계산한다.
Step 4. 계산된 값들을 비교하여 최댓값(Max)과 최솟값(Min)을 찾는다.

예제 1: $1 \le x \le 5$일 때, 이차함수 $y = x^2 - 4x + 1$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

  • Step 1 (표준형 변환):
    $$ y = x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1 = (x-2)^2 - 3 $$
    꼭짓점은 $(2, -3)$입니다.

  • Step 2 (꼭짓점 위치 확인): 꼭짓점의 x좌표인 $x=2$는 주어진 범위 $[1, 5]$ 안에 포함됩니다. 후보 3개 모두 확인!

  • Step 3 (함숫값 계산):
    • 구간의 시작점: $f(1) = (1-2)^2 - 3 = -2$
    • 구간의 끝점: $f(5) = (5-2)^2 - 3 = 6$
    • 꼭짓점: $f(2) = -3$

  • Step 4 (최대/최소 비교): 계산된 값 -2, 6, -3 중에서 가장 큰 값은 6, 가장 작은 값은 -3입니다.
    따라서 최댓값은 6, 최솟값은 -3입니다.

예제 2: 길이가 12m인 울타리로 직사각형 모양의 꽃밭을 만들 때, 꽃밭의 최대 넓이는?

이런 활용 문제도 결국 같은 원리입니다!

  • Step 1 (식 세우기):
    꽃밭의 가로 길이를 $x$ m라고 하면, 세로 길이는 $(12-x)$ m가 됩니다. (단, 길이니까 $0 < x < 12$ 여야겠죠?)
    꽃밭의 넓이를 $y$ ㎡라고 하면,
    $$ y = x(12-x) = -x^2 + 12x = -(x^2 - 12x) = -(x-6)^2 + 36 $$
    꼭짓점은 $(6, 36)$입니다.

  • Step 2 & 3 (위치 확인 및 계산):
    꼭짓점의 x좌표인 $x=6$은 범위 $(0, 12)$ 안에 포함됩니다. 이 함수는 위로 볼록($a=-1 < 0$)이므로, 꼭짓점에서 최댓값을 갖습니다.

  • Step 4 (답 구하기):
    따라서 $x=6$일 때, 꽃밭의 최대 넓이는 36 ㎡ 입니다.


오개념 방지 및 심화 팁

🚨 학생들이 가장 많이 하는 실수!

제한된 범위가 주어졌을 때, 꼭짓점을 확인하지 않고 무조건 양 끝값에서 최대, 최소가 나올 것이라고 착각하는 경우입니다. 위 예제 1처럼, 최솟값은 꼭짓점에서 나왔죠? 항상 꼭짓점의 위치를 먼저 확인하는 습관을 들이세요!

💡 수학쟁이's 꿀팁!

문제를 풀 때, 이차함수의 그래프를 간단하게라도 그려보는 것이 정말 큰 도움이 됩니다. 아래로 볼록인지, 위로 볼록인지, 그리고 꼭짓점이 주어진 범위의 왼쪽에 있는지, 오른쪽에 있는지, 아니면 사이에 있는지를 시각적으로 확인하면 절대 헷갈리지 않아요!



마무리하며

오늘 배운 '제한된 범위에서의 이차함수의 최대, 최소'는 어떠셨나요? 핵심은 "범위의 양 끝값과 범위 안의 꼭짓점, 이 세 후보만 비교하자!"는 것이었습니다. 이 원리만 정확히 이해하면 어떤 응용 문제가 나와도 자신 있게 해결할 수 있을 거예요.

이차함수의 최대, 최소 개념은 앞으로 배우게 될 여러 가지 방정식과 부등식 문제를 푸는 데 있어 강력한 무기가 될 겁니다. 오늘 배운 내용을 복습하고, 관련 문제를 꼭 풀어보면서 자기 것으로 만드는 시간을 갖길 바랍니다. 여러분의 수학 실력, 꾸준한 노력으로 반드시 성장할 수 있습니다. 수학쟁이 선생님이 항상 응원할게요!

반응형

공유하기

facebook twitter kakaoTalk kakaostory naver band