[고1 수학] 연립일차부등식 완벽 정리: 개념부터 절댓값 부등식까지

[고1 수학] 연립일차부등식 완벽 정리: 개념부터 절댓값 부등식까지

수학쟁이 여러분, 안녕하세요! 수학쟁이 선생님입니다. 😊

우리가 일상생활에서 '최저 속도 30km/h, 최고 속도 80km/h'와 같은 표지판을 본 적 있죠? 이는 '시속 30km 이상이면서 동시에 시속 80km 이하로 주행하라'는 의미를 담고 있어요. 이처럼 두 개 이상의 조건을 동시에 만족하는 범위를 찾는 것이 바로 '연립부등식'의 핵심 개념입니다.

중학교 때 배운 일차부등식과 연립방정식의 개념을 합쳐, 오늘은 연립일차부등식을 어떻게 풀고 해석하는지 깊이 있게 탐구해 보겠습니다. 특히 학생들이 가장 까다로워하는 절댓값 기호를 포함한 부등식까지 완벽하게 정복할 수 있도록, 원리부터 차근차근 설명해 드릴게요. 이 단원은 앞으로 배울 연립이차부등식의 기초가 되니, 오늘 확실히 다지고 갑시다!

1. 연립일차부등식이란 무엇일까?

연립부등식이란, 이름 그대로 두 개 이상의 부등식을 한 쌍으로 묶어 나타낸 것을 말해요. 그리고 그 부등식들이 모두 일차부등식이면 연립일차부등식이라고 부르죠.

연립방정식의 해가 '모든 방정식을 동시에 만족하는 미지수의 값'이었던 것처럼, 연립부등식의 해는 '묶여 있는 모든 부등식을 동시에 만족시키는 미지수의 값의 범위'를 의미합니다. 즉, 각 부등식의 해를 구한 다음, 그들의 공통부분을 찾는 것이 핵심이에요.

기본 풀이법: 각개격파 후 공통범위 찾기!

연립부등식을 푸는 가장 기본적인 방법은 다음과 같아요.

1. 각각의 일차부등식을 푼다.
2. 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낸다.
3. 수직선 위에서 공통된 범위를 찾아 해로 정한다.

말로만 들으면 감이 잘 안 오죠? 교과서 예제를 통해 살펴봅시다.

예제 1) 연립부등식 \(\begin{cases} 7x-3 \le 6x \\ -x-1 > 3x-5 \end{cases}\) 를 풀어보자.

1단계: 각각의 부등식 풀기
① \(7x-3 \le 6x \implies x \le 3\)
② \(-x-1 > 3x-5 \implies -4x > -4 \implies x < 1\)

2단계: 수직선에 나타내고 공통범위 찾기
두 해를 수직선에 나타내면 다음과 같아요.

1

3

\(x \le 3\)

\(x < 1\)

두 범위가 겹치는 공통부분은 \(x<1\) 이죠.

따라서 이 연립부등식의 해는 \(x<1\) 입니다.

잠깐! 특별한 해도 있어요 (해가 하나거나 없는 경우)

연립부등식을 풀다 보면 해가 하나의 값이거나, 아예 없는 경우도 나와요. 당황하지 마세요!

• 해가 하나의 값일 때: \(\begin{cases} x \le 2 \\ x \ge 2 \end{cases}\) 와 같이 부등호의 방향이 반대이고 등호가 모두 포함된 경우, 공통부분은 딱 한 점, \(x=2\) 가 됩니다.
• 해가 없을 때: \(\begin{cases} x < -1 \\ x \ge 3 \end{cases}\) 처럼 두 부등식의 해에 공통부분이 전혀 없는 경우, 연립부등식의 해는 '없다'가 정답입니다.

2. A < B < C 꼴의 부등식 풀이

세 개의 식이 연결된 A < B < C 꼴의 부등식은 연립부등식으로 바꿔서 풀어야 해요. 어떻게 바꿔야 할까요? 바로 이렇게요!

\[ A < B < C \iff \begin{cases} A < B \\ B < C \end{cases} \]

왼쪽 두 개(A < B)와 오른쪽 두 개(B < C)로 나누어 연립부등식을 만드는 것이 핵심입니다.

🚨 오개념 방지 🚨

많은 학생이 저지르는 실수가 바로 A < B < C 를 { A < B 그리고 A < C } 로 잘못 바꾸는 것이에요. 이렇게 풀면 전혀 다른 답이 나올 수 있으니 꼭 주의해야 합니다. 가운데 있는 B를 기준으로 왼쪽, 오른쪽으로 나누는 것을 잊지 마세요!

3. 절댓값 기호를 포함한 일차부등식 (⭐️매우 중요⭐️)

자, 이제 오늘의 하이라이트, 절댓값 기호를 포함한 부등식입니다. 푸는 방법은 크게 두 가지가 있어요. 원리를 이해하면 어떤 문제가 나와도 자신 있게 풀 수 있습니다.

(1) 공식을 이용한 풀이

절댓값의 정의는 '수직선 위에서 원점으로부터의 거리'라는 것을 기억하죠? 이 정의를 이용하면 간단한 형태의 절댓값 부등식은 공식처럼 풀 수 있습니다. (단, \(a>0\))

• \(|x| < a \iff -a < x < a\) (원점에서의 거리가 \(a\) 보다 작다)
• \(|x| > a \iff x < -a \text{ 또는 } x > a\) (원점에서의 거리가 \(a\) 보다 크다)

예제 2) 부등식 \(|2x+1| \ge 7\) 을 풀어보자.

\(|X| \ge a\) 꼴이므로, \(X \le -a\) 또는 \(X \ge a\) 를 이용합니다.
여기서 \(X=2x+1\), \(a=7\) 이므로,

\(2x+1 \le -7\) 또는 \(2x+1 \ge 7\)

첫 번째 부등식을 풀면 \(2x \le -8 \implies x \le -4\)
두 번째 부등식을 풀면 \(2x \ge 6 \implies x \ge 3\)

따라서 이 부등식의 해는 \(x \le -4\) 또는 \(x \ge 3\) 입니다.

(2) 범위를 나누는 정석 풀이

공식으로 풀기 어려운 복잡한 형태, 예를 들어 \(|x| + |x-3| \le 7\) 과 같은 문제는 어떻게 할까요? 바로 범위를 나누는 방법을 사용해야 합니다. 이것이 절댓값 부등식의 가장 근본적인 풀이법이에요.

1. 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 \(x\) 값을 찾는다.
2. 그 값들을 기준으로 수직선을 구간으로 나눈다.
3. 각 구간별로 절댓값 기호를 없애고 부등식을 푼다.
4. 이때 나온 해가 해당 구간의 범위에 포함되는지 반드시 확인한다.
5. 마지막으로 각 구간에서 구한 해들을 모두 합친다. (합집합)

예제 3) 부등식 \(|x| + |x-3| \le 7\) 을 풀어보자.

1단계: 기준점 찾기
\(|x|\) 가 0이 되는 값은 \(x=0\), \(|x-3|\) 이 0이 되는 값은 \(x=3\) 입니다.

2단계: 범위 나누기
기준점 0과 3으로 수직선을 나누면 세 개의 구간이 생깁니다.
(i) \(x < 0\), (ii) \(0 \le x < 3\), (iii) \(x \ge 3\)

3단계: 각 범위에서 풀기
(i) \(x < 0\) 일 때: \(x\) 와 \(x-3\) 모두 음수이므로,
\((-x) + (-(x-3)) \le 7\)
\(-2x + 3 \le 7 \implies -2x \le 4 \implies x \ge -2\)
\(x < 0\) 이라는 조건과 \(x \ge -2\) 의 공통범위는 \(\therefore -2 \le x < 0\)

(ii) \(0 \le x < 3\) 일 때: \(x\) 는 양수, \(x-3\) 은 음수이므로,
\((x) + (-(x-3)) \le 7\)
\(3 \le 7\) 이라는 항상 참인 식이 나옵니다.
이것은 이 구간의 모든 \(x\) 가 해가 된다는 뜻입니다. \(\therefore 0 \le x < 3\)

(iii) \(x \ge 3\) 일 때: \(x\) 와 \(x-3\) 모두 양수이므로,
\((x) + (x-3) \le 7\)
\(2x - 3 \le 7 \implies 2x \le 10 \implies x \le 5\)
\(x \ge 3\) 이라는 조건과 \(x \le 5\) 의 공통범위는 \(\therefore 3 \le x \le 5\)

4단계: 해 합치기
(i), (ii), (iii)에서 구한 해를 모두 합치면,

\[ -2 \le x \le 5 \]

이 최종적인 해가 됩니다.

개념 확장 및 연관성

연립부등식은 단순히 고1 수학 문제 풀이에만 그치지 않아요. 대학교 수학에서는 여러 개의 부등식으로 둘러싸인 영역에서 최댓값이나 최솟값을 찾는 선형 계획법이라는 중요한 분야의 기초가 됩니다. 또한, 함수의 증가와 감소, 그래프의 오목과 볼록을 따지는 미적분학에서도 특정 조건을 만족하는 \(x\) 의 범위를 찾는 데 연립부등식의 원리가 사용된답니다.

마무리하며

오늘은 연립일차부등식의 기본적인 풀이법부터 A < B < C 꼴, 그리고 절댓값 기호를 포함한 부등식까지 모두 정리해 보았습니다. 핵심은 '각 부등식의 해를 구해 수직선 위에서 공통부분을 찾는다'는 것이었죠. 특히 절댓값 부등식은 범위를 나누어 푸는 원리만 제대로 이해하면 어떤 응용 문제도 두렵지 않을 거예요.

오늘 배운 내용은 다음 시간에 다룰 이차부등식과 연립이차부등식을 해결하는 데 필수적인 도구가 됩니다. 오늘 내용이 조금이라도 헷갈렸다면 꼭 다시 한번 복습하고, 스스로 문제를 풀어보며 개념을 완전히 자기 것으로 만들어 주세요. 꾸준한 노력이 여러분의 수학 실력을 단단하게 만들어 줄 겁니다. 오늘도 수고 많았어요! 💪