고1 수학 이차부등식과 연립이차부등식 완벽 정리 (개념+심화)

[고1 수학] 이차부등식과 연립이차부등식 개념 완벽 정리

시작하며: 함수 그래프로 부등식을 꿰뚫어 보기

수학쟁이 여러분, 안녕하세요! 수학쟁이 선생님입니다. 😊

지난 시간에는 이차방정식의 근이 이차함수의 그래프와 x축이 만나는 점의 x좌표와 같다는 사실을 배웠죠. 오늘은 그 개념을 확장해서 '이차부등식'이라는 새로운 세계를 탐험해 볼 거예요. 농구공을 던졌을 때 공이 특정 높이보다 위에 떠 있는 시간이 얼마나 되는지, 혹은 새로 출시한 상품의 가격을 얼마로 정해야 손해를 보지 않는지 등을 계산할 때 바로 이 이차부등식이 사용된답니다.

"부등식인데 왜 함수 그래프가 나오지?"라고 생각할 수 있지만, 사실 이차부등식의 해를 구하는 가장 강력한 무기가 바로 이차함수의 그래프랍니다. 그래프를 통해 부등식의 해가 의미하는 영역을 시각적으로 이해하면, 복잡해 보이는 문제도 아주 간단하게 해결할 수 있어요. 오늘 저와 함께 이차부등식의 원리를 꿰뚫어 보고, 나아가 여러 부등식을 동시에 만족시키는 해를 찾는 '연립이차부등식'까지 완벽하게 정복해 봅시다!

1. 개념과 원리 심층 탐구: 이차부등식과 이차함수의 관계

1) 이차부등식이란?

부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때, 좌변이 x에 대한 이차식으로 표현되는 부등식을 이차부등식이라고 해요. 예를 들면 다음과 같은 형태죠.

$$ ax^2 + bx + c > 0, \quad ax^2 + bx + c \ge 0, \quad ax^2 + bx + c < 0, \quad ax^2 + bx + c \le 0 \quad (a \ne 0) $$

2) 그래프를 이용한 이차부등식의 풀이

이차부등식 $ax^2 + bx + c > 0$의 해는 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프에서 y가 0보다 큰 부분, 즉 그래프가 x축보다 위쪽에 있는 부분의 x값의 범위와 같아요. 반대로 $ax^2 + bx + c < 0$의 해는 그래프가 x축보다 아래쪽에 있는 부분의 x값의 범위가 되겠죠.

결국 이차부등식을 푼다는 것은, '이차함수 그래프가 x축과 어떻게 만나는가?'를 파악하는 것과 같아요. 그리고 그래프와 x축의 위치 관계는 무엇으로 판단했었죠? 바로 판별식 $D=b^2-4ac$ 입니다! 이제 판별식 D의 부호에 따라 해가 어떻게 달라지는지 체계적으로 살펴봅시다. (계산의 편의를 위해 최고차항의 계수 $a$는 양수라고 가정할게요. $a$가 음수이면 양변에 -1을 곱하고 부등호 방향을 바꿔주면 되니까요!)

판별식(D)에 따른 이차부등식의 해 (a > 0 일 때)

• (1) 판별식 D > 0 일 때 (서로 다른 두 실근 $\alpha, \beta$를 가질 때, 단 $\alpha < \beta$)
  그래프가 x축과 두 점에서 만납니다. 이때 스스로에게 던져야 할 핵심 질문은 "두 근의 사이인가, 바깥쪽인가?" 입니다.
  • $ax^2 + bx + c > 0$ (x축보다 위쪽) $\implies$ 두 근의 바깥쪽! 즉, $x < \alpha$ 또는 $x > \beta$
  • $ax^2 + bx + c < 0$ (x축보다 아래쪽) $\implies$ 두 근의 사이! 즉, $\alpha < x < \beta$


• (2) 판별식 D = 0 일 때 (중근 $\alpha$를 가질 때)
  그래프가 x축에 한 점에서 접합니다. 꼭짓점이 바로 그 접점이죠.
  • $ax^2 + bx + c > 0$의 해: 접점($x=\alpha$)을 제외한 모든 실수 ($x \ne \alpha$)
  • $ax^2 + bx + c \ge 0$의 해: 모든 실수 (항상 x축보다 위에 있거나 접하므로)
  • $ax^2 + bx + c < 0$의 해: 해는 없다. (x축 아래로 내려가는 부분이 없음)
  • $ax^2 + bx + c \le 0$의 해: 오직 $x = \alpha$ (x축과 만나는 점 하나뿐)


• (3) 판별식 D < 0 일 때 (서로 다른 두 허근을 가질 때)
  그래프가 x축과 만나지 않고 공중에 붕 떠 있습니다.
  • $ax^2 + bx + c > 0$의 해: 모든 실수 (그래프 전체가 x축 위에 있음)
  • $ax^2 + bx + c < 0$의 해: 해는 없다. (x축 아래로 내려가는 부분이 없음)

2. 단계별 문제 해결 전략

1) 이차부등식 풀이 예제

예제 1: 이차부등식 $x^2 + 2x - 3 > 0$을 풀어라.

[풀이 1: 그래프 이용]

이차방정식 $x^2 + 2x - 3 = 0$의 해는 $(x+3)(x-1) = 0$에서 $x=-3$ 또는 $x=1$입니다. 최고차항의 계수가 양수이므로 아래로 볼록한 포물선이 x축과 두 점(-3, 1)에서 만나는 모양을 상상할 수 있습니다. 부등식이 `> 0` 이므로, 그래프가 x축보다 위에 있는 부분, 즉 두 근의 '바깥쪽' 범위가 해가 됩니다.
따라서 해는 $x < -3$ 또는 $x > 1$ 입니다.

[풀이 2: 부호 조사]

인수분해한 식 $(x+3)(x-1) > 0$은 두 인수 $(x+3)$과 $(x-1)$의 곱이 양수라는 의미입니다. 곱해서 양수가 되는 경우는 '양수 × 양수' 또는 '음수 × 음수' 두 가지죠. 각 인수들이 0이 되는 지점인 $x=-3$과 $x=1$을 기준으로 구간을 나누어 부호를 표로 정리하면 명확하게 해를 구할 수 있습니다.

x의 값의 범위	x < -3	x = -3	-3 < x < 1	x = 1	x > 1
$x+3$의 부호	-	0	+	+	+
$x-1$의 부호	-	-	-	0	+
$(x+3)(x-1)$의 부호	+	0	-	0	+

표에서 $(x+3)(x-1)$의 부호가 양수(+)가 되는 범위는 $x < -3$ 또는 $x > 1$ 입니다. 따라서 해는 $x < -3$ 또는 $x > 1$ 입니다.

2) 연립이차부등식 풀이

연립이차부등식은 두 개 이상의 이차부등식을 한 쌍으로 묶어 놓은 것이에요. 푸는 방법은 간단합니다.
각 부등식을 따로따로 푼 다음, 구해진 해들의 공통 범위를 찾으면 됩니다. 이때 수직선을 이용하면 공통 범위를 한눈에 파악할 수 있어 실수를 줄일 수 있어요!

예제 2: 연립부등식 $\begin{cases} x^2 - x - 6 \ge 0 & \cdots \small\text{①} \\ 2x^2 - 7x - 4 < 0 & \cdots \small\text{②} \end{cases}$ 을 풀어라.

[풀이]

①의 해: $(x-3)(x+2) \ge 0 \implies x \le -2$ 또는 $x \ge 3$

②의 해: $(2x+1)(x-4) < 0 \implies -1/2 < x < 4$

두 해의 공통부분을 수직선으로 나타내면 다음과 같습니다.

수직선에서 두 범위가 겹치는 부분은 3 이상, 4 미만입니다.

따라서 연립부등식의 최종 해는 $3 \le x < 4$ 입니다.

3) 심화 개념: 모든 실수에 대해 성립하는 이차부등식 (절대부등식)

가끔 '이차부등식 $ax^2+bx+c > 0$이 모든 실수 x에 대해 성립하기 위한 조건'을 묻는 문제가 나와요. 당황하지 마세요! 이것도 그래프로 생각하면 아주 쉽습니다.

• '모든 실수'에 대해 $ax^2+bx+c > 0$이 성립하려면?
  $\implies$ 이차함수 $y=ax^2+bx+c$ 그래프 전체가 x축보다 위에 있어야 합니다.
  $\implies$ 그래프는 아래로 볼록($a>0$)해야 하고, x축과 만나지 않아야($D<0$) 합니다.
• '모든 실수'에 대해 $ax^2+bx+c \ge 0$이 성립하려면?
  $\implies$ 그래프 전체가 x축보다 위에 있거나 x축에 접해야 합니다.
  $\implies$ 그래프는 아래로 볼록($a>0$)해야 하고, x축과 만나지 않거나 한 점에서 접해야($D \le 0$) 합니다.

4. 오개념 방지 및 심화 팁

• 그래프를 그리자!: 이차부등식의 해가 '사이'인지 '바깥쪽'인지 헷갈릴 때는, x축과 만나는 점을 찍고 아래로 볼록인지 위로 볼록인지만 간단하게 스케치해보세요. 헷갈릴 일이 없어집니다.
• 최고차항은 양수로!: $a<0$일 때는 부등식 양변에 -1을 곱해서 최고차항의 계수를 양수로 만들어주세요. 부등호 방향이 반대로 바뀌는 것만 주의하면, 한 가지 규칙으로만 풀 수 있어 실수를 줄일 수 있습니다.
• 연립부등식은 수직선이 필수!: 각 부등식의 해를 구한 뒤에는 반드시 수직선을 그려서 공통 범위를 눈으로 확인하세요. 머리로만 계산하다가는 등호 포함 여부 등에서 실수가 나오기 쉽습니다.

마무리하며

어떤가요, 여러분? 이차부등식이 결국 이차함수 그래프를 해석하는 문제라는 것이 느껴지나요? 판별식을 통해 그래프의 개형을 떠올리고, x축과의 위치 관계를 따져주면 어떤 이차부등식이든 풀어낼 수 있습니다. 연립부등식은 여기서 한 단계 더 나아가 '공통 범위'를 찾는 과정일 뿐이고요.

오늘 배운 내용은 앞으로 배울 여러 단원, 특히 더 복잡한 부등식을 다룰 때 기본기가 되는 아주 중요한 내용입니다. 꼭 여러 문제를 풀어보면서 자신의 것으로 만드시길 바랍니다. 다음 시간에는 또 다른 흥미로운 수학 이야기로 찾아올게요. 수고 많으셨습니다! 😊