[고1 수학] 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배 개념 완벽 정리 (기본 연산부터 성질까지)

[고1 수학] 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배 개념 완벽 정리 (기본 연산부터 성질까지)

시작하며

수학쟁이 여러분, 안녕하세요! 수학쟁이 선생님입니다. 😊

지난 시간에는 '행렬'이 무엇인지, 행과 열, 그리고 성분이라는 새로운 용어들에 대해 배웠어요. 행렬은 단순히 숫자들을 모아놓은 표가 아니라, 그 자체로 하나의 독립된 수학적 대상이 될 수 있답니다. 우리가 자연수를 배우고 나서 덧셈, 뺄셈을 배웠던 것처럼, 행렬의 세계에서도 연산을 정의할 수 있어요.

이번 시간에는 행렬 연산의 첫걸음, 바로 행렬의 덧셈, 뺄셈, 그리고 실수배에 대해 알아볼 거예요. 어렵게 들릴 수 있지만, 사실 오늘 배울 내용은 '같은 위치에 있는 성분끼리' 계산한다는 아주 간단하고 직관적인 규칙만 기억하면 된답니다. 이 기본 연산들은 앞으로 배울 더 복잡한 행렬의 세계를 탐험하는 데 필수적인 도구가 되니, 오늘 확실하게 마스터하고 넘어가도록 해요!

개념과 원리 심층 탐구

1. 행렬의 덧셈과 뺄셈: 같은 위치끼리 더하고 뺀다!

행렬의 덧셈과 뺄셈은 정말 간단해요. 하지만 딱 한 가지, 아주 중요한 전제 조건이 있습니다. 바로 연산하려는 두 행렬의 '꼴'이 같아야 한다는 점이에요. '꼴이 같다'는 것은 두 행렬의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같다는 의미입니다. 예를 들어, 2x3 행렬은 2x3 행렬과만 더하거나 뺄 수 있고, 2x2 행렬과는 연산할 수 없어요.

[정의] 행렬의 덧셈과 뺄셈
두 행렬 $A$, $B$의 꼴이 같을 때, 두 행렬의 같은 위치에 있는 성분(대응하는 성분)끼리 더하거나 뺀 것을 두 행렬의 합과 차라고 합니다.

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \ B = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \ 일 때, $$

$$ A+B = \begin{pmatrix} a+p & b+q \\ c+r & d+s \end{pmatrix} $$

$$ A-B = \begin{pmatrix} a-p & b-q \\ c-r & d-s \end{pmatrix} $$

교과서에 나온 예시를 살펴볼까요? 두 역도 선수의 대회 기록을 행렬로 나타내고, 두 대회의 기록 합계를 구하는 상황이에요.

교과서 예제 탐구

A 대회 기록을 행렬 $A$, B 대회 기록을 행렬 $B$라고 할 때,

$$ A = \begin{pmatrix} 160 & 200 \\ 150 & 200 \end{pmatrix}, \ B = \begin{pmatrix} 155 & 195 \\ 150 & 205 \end{pmatrix} $$

두 대회의 기록 합계는 두 행렬의 합으로 나타낼 수 있습니다.

$$ A+B = \begin{pmatrix} 160+155 & 200+195 \\ 150+150 & 200+205 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 315 & 395 \\ 300 & 405 \end{pmatrix} $$

어떤가요? 같은 자리의 성분끼리만 더해주니 정말 간단하죠? 뺄셈도 마찬가지랍니다.

⚠️ 오개념 방지 팁!
행렬의 덧셈과 뺄셈에서 가장 많이 하는 실수는 '꼴'을 확인하지 않는 것입니다. 행의 개수나 열의 개수가 다르면 절대로 더하거나 뺄 수 없다는 점, 꼭 기억해주세요!

2. 덧셈에 대한 특별한 행렬: 영행렬과 -A

숫자의 세계에서 덧셈에 대한 항등원(더해도 그대로인 수)은 '0'이었죠? 행렬에도 비슷한 개념이 있습니다.

영행렬(Zero Matrix): 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬이라고 하고, 기호로 $O$라고 씁니다.
행렬 $A$와 꼴이 같은 영행렬 $O$에 대해 다음이 성립합니다.

$$ A + O = O + A = A $$

또한, 어떤 수에 더해서 0을 만드는 수를 '역원'이라고 하죠. (예: 3의 역원은 -3) 행렬에서도 마찬가지입니다.

행렬 -A: 행렬 $A$의 모든 성분의 부호를 바꾼 행렬을 기호로 $-A$라고 씁니다.
행렬 $A$에 대하여 다음이 성립합니다.

$$ A + (-A) = (-A) + A = O $$

이 개념들은 나중에 행렬 방정식을 풀 때 자연스럽게 사용되니, 가볍게 이해하고 넘어가면 됩니다.

3. 행렬의 실수배: 모든 성분에 공평하게 곱해준다!

행렬에 실수를 곱하는 '실수배'는 덧셈, 뺄셈보다 더 간단합니다. 모든 성분에 그 실수를 빠짐없이 곱해주기만 하면 되거든요.

[정의] 행렬의 실수배
실수 $k$와 행렬 $A$의 곱 $kA$는 행렬 $A$의 모든 성분에 $k$를 곱한 행렬입니다.

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \ 일 때, \ kA = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix} $$

실수배 계산 예시

행렬 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ 일 때, $3A$를 구해봅시다.

$$ 3A = 3 \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 3 & 3 \times (-1) \\ 3 \times (-2) & 3 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -3 \\ -6 & 0 \end{pmatrix} $$

정말 쉽죠? 행렬 안의 모든 숫자에게 공평하게 3을 곱해준다고 생각하면 돼요.

단계별 문제 해결 전략

이제 배운 개념들을 종합해서 문제를 풀어봅시다. 행렬의 연산은 마치 문자가 포함된 다항식의 연산처럼 다룰 수 있어요.

종합 예제

두 행렬 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}$에 대하여 $3(X-A) = 2(X-B)$를 만족시키는 행렬 $X$를 구하시오.

[사고 과정]

1. 주어진 등식을 마치 $x$에 대한 일차방정식을 풀 듯이 행렬 $X$에 대해 정리합니다.
2. $3X - 3A = 2X - 2B$
3. $3X - 2X = 3A - 2B$
4. $X = 3A - 2B$
5. 이제 우변의 행렬 연산, 즉 실수배와 뺄셈을 순서대로 계산합니다.

[풀이 과정]

먼저 $3A$와 $2B$를 계산합니다.

$$ 3A = 3 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 3 & -12 \end{pmatrix} $$

$$ 2B = 2 \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -2 & 12 \end{pmatrix} $$

이제 $X = 3A - 2B$를 계산합니다.

$$ X = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 3 & -12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -2 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-0 & 0-4 \\ 3-(-2) & -12-12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 5 & -24 \end{pmatrix} $$

따라서 구하는 행렬 $X$는 $\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 5 & -24 \end{pmatrix}$ 입니다.

개념 확장 및 연관성: 행렬 연산의 성질

우리가 배운 행렬의 덧셈과 실수배에는 수의 연산처럼 몇 가지 성질이 있어요. 이 성질들 덕분에 위 예제처럼 행렬을 문자로 보고 방정식을 풀 수 있는 거랍니다.

행렬의 덧셈과 실수배에 대한 성질
세 행렬 $A, B, C$의 꼴이 같고, 두 실수 $k, l$에 대하여

• 덧셈의 교환법칙: $A+B = B+A$
• 덧셈의 결합법칙: $(A+B)+C = A+(B+C)$
• 실수배의 결합법칙: $(kl)A = k(lA)$
• 실수배의 분배법칙: $k(A+B) = kA+kB$ 그리고 $(k+l)A = kA+lA$

이 성질들은 각 성분이 실수의 연산 법칙을 그대로 따르기 때문에 당연하게 성립하는 것들이에요. 예를 들어 $A+B=B+A$인 이유는 각 $(i, j)$ 성분에 대해 $a_{ij}+b_{ij} = b_{ij}+a_{ij}$가 성립하기 때문이죠.

마무리하며

오늘은 행렬의 가장 기본적인 연산인 덧셈, 뺄셈, 실수배에 대해 배웠습니다. 핵심은 두 가지였죠?

첫째, 덧셈과 뺄셈은 반드시 두 행렬의 꼴(크기)이 같아야 하고, 같은 위치의 성분끼리 계산한다.
둘째, 실수배는 행렬의 모든 성분에 빠짐없이 곱해준다.

이 두 가지만 확실히 기억하면 오늘 내용은 완벽하게 정복한 셈입니다. 이 기본 연산들이 익숙해져야만 다음 시간에 배울, 조금은 규칙이 독특한 '행렬의 곱셈'도 쉽게 이해할 수 있어요. 오늘 배운 내용, 문제집을 통해 꼭 다시 한번 복습하면서 손에 익혀두길 바랍니다.

수고 많으셨습니다! 다음 시간에 더 재미있는 수학 이야기로 만나요! 😊