[고1 공통수학] 행렬의 모든 것 : 행렬의 뜻과 표현, 완벽 개념 정리

[고1 공통수학] 행렬의 모든 것 (1): 행렬의 뜻과 표현, 완벽 개념 정리

🚀 시작하며

안녕하세요! 수학 학습 길잡이, 수학쟁이 선생님입니다.

오늘부터 우리는 '행렬'이라는 새로운 개념을 탐구하게 됩니다. 행렬은 단순히 숫자를 나열한 것처럼 보일 수 있지만, 사실은 수많은 데이터를 효율적으로 정리하고 분석하는 매우 강력한 수학적 도구입니다. 우리가 일상에서 접하는 각종 통계 자료부터 컴퓨터 그래픽, 인공지능에 이르기까지 행렬의 원리가 폭넓게 사용되고 있습니다.

이번 시간에는 행렬의 가장 기초가 되는 '행렬의 뜻'과 '표현 방법'에 대해 알아보겠습니다. 새로운 용어들이 등장하지만, 그 의미를 하나씩 차근차근 짚어보면 결코 어렵지 않을 것입니다. 그럼, 행렬의 세계로 첫발을 내디뎌 보겠습니다.

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🔍 개념과 원리 심층 탐구

1. 행렬(Matrix)의 정의: 데이터를 담는 그릇

행렬이 무엇인지 알아보기 위해, 교과서에 나온 예시를 살펴보겠습니다. 세 도시의 미세먼지 농도를 표로 정리하면 다음과 같습니다.

[표] 도시별 대기오염 농도 (단위: μg/m³)

	서울	부산	광주
미세먼지	79	41	58
초미세먼지	57	22	37

이 표에서 숫자 데이터만 추출하여 괄호로 묶으면, 이것이 바로 행렬입니다.

$$ A = \begin{pmatrix} 79 & 41 & 58 \\ 57 & 22 & 37 \end{pmatrix} $$

• 행렬(Matrix): 수 또는 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호 `()`로 묶어 나타낸 것입니다.
• 성분(component): 행렬을 구성하는 각각의 수 또는 문자를 말합니다.
• 행(row): 성분들의 가로줄을 의미하며, 위에서부터 차례대로 제1행, 제2행, ... 과 같이 부릅니다.
• 열(column): 성분들의 세로줄을 의미하며, 왼쪽에서부터 차례대로 제1열, 제2열, ... 과 같이 부릅니다.

2. 행렬의 크기와 종류

행렬은 행과 열의 개수로 그 크기를 나타냅니다. 이것을 '행렬의 꼴'이라고도 합니다.

m × n 행렬: 행의 개수가 m개, 열의 개수가 n개인 행렬을 'm × n 행렬' (엠바이엔 행렬)이라고 합니다.

앞서 본 미세먼지 행렬 $A$는 행이 2개, 열이 3개이므로 2 × 3 행렬입니다. 만약 행과 열의 개수가 같다면 정사각형 모양이 되겠죠?

정사각행렬(Square Matrix): 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 말합니다. 특히, 행과 열이 각각 n개이면 n차 정사각행렬이라고 합니다.

3. 행렬의 표현 방법

행렬은 보통 알파벳 대문자 $A, B, C, ...$ 로 나타냅니다. 행렬 안의 특정 위치에 있는 성분을 지칭할 때는 특별한 주소를 사용합니다.

(i, j) 성분: 행렬 $A$에서 제 $i$행과 제 $j$열이 만나는 위치에 있는 성분을 행렬 $A$의 $(i, j)$ 성분이라 하고, 기호로는 $a_{ij}$ 와 같이 나타냅니다.

예시

행렬 $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 5 \\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ 에서,

(1, 3) 성분 $b_{13}$ 은 제1행, 제3열에 있는 성분이므로 5입니다.
(2, 1) 성분 $b_{21}$ 은 제2행, 제1열에 있는 성분이므로 3입니다.

4. 두 행렬이 서로 같을 조건 (행렬의 상등)

어떤 경우에 두 행렬이 "똑같다"고 말할 수 있을까요? 여기에는 두 가지 조건이 모두 만족되어야 합니다.

두 행렬이 서로 같을 조건
두 행렬 $A$와 $B$가 서로 같기 위해서는 ($A=B$), 다음 두 조건을 모두 만족해야 합니다.

1. 두 행렬의 크기(꼴)가 같아야 합니다. (예: 둘 다 2 × 3 행렬)
2. 두 행렬의 대응하는 성분이 각각 모두 같아야 합니다.

예시

두 행렬 $A = \begin{pmatrix} a & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 1 & -b \end{pmatrix}$ 에 대하여 $A=B$ 라면,

$$ \begin{cases} (1,1) \text{ 성분: } a = 3 \\ (2,2) \text{ 성분: } 2 = -b \implies b = -2 \end{cases} $$

따라서 $a=3, b=-2$ 입니다.

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✍️ 단계별 문제 해결 전략

예제 1

행렬 $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & -6 \end{pmatrix}$ 에 대하여 다음을 구하시오.

(1) 행렬 A의 크기
(2) 행렬 A의 (1, 2) 성분과 (2, 3) 성분

풀이
(1) 행렬 A는 행이 2개, 열이 3개이므로 2 × 3 행렬입니다.
(2) (1, 2) 성분은 제1행, 제2열의 성분이므로 4입니다. (2, 3) 성분은 제2행, 제3열의 성분이므로 -6입니다.

예제 2

2 × 3 행렬 A의 (i, j) 성분 $a_{ij}$가 $a_{ij} = i - j + 1$ 일 때, 행렬 A를 구하시오.

풀이
각 성분을 공식에 따라 계산합니다.
$a_{11} = 1 - 1 + 1 = 1$
$a_{12} = 1 - 2 + 1 = 0$
$a_{13} = 1 - 3 + 1 = -1$
$a_{21} = 2 - 1 + 1 = 2$
$a_{22} = 2 - 2 + 1 = 1$
$a_{23} = 2 - 3 + 1 = 0$

따라서 행렬 A는 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ 입니다.

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🌍 개념 확장 및 연관성: 행렬, 어디에 쓰일까?

행렬은 단순히 숫자를 모아놓은 것이 아닙니다. 다양한 관계를 표현하는 강력한 언어입니다. 예를 들어, 생태계의 먹이사슬 관계도 행렬로 나타낼 수 있습니다.

먹이사슬과 행렬

'뱀(1), 토끼(2), 들쥐(3), 풀(4)'가 있는 생태계에서 'j가 i를 먹이로 삼을 때' (i, j) 성분을 1로, 그렇지 않을 때 0으로 정하면 다음과 같은 행렬을 만들 수 있습니다.

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

이 행렬을 보면, 1행(뱀)은 2열(토끼)과 3열(들쥐)이 1이므로 뱀은 토끼와 들쥐를 먹고, 2행(토끼)은 4열(풀)이 1이므로 토끼는 풀을 먹는다는 관계를 한눈에 파악할 수 있습니다.

이처럼 행렬은 관계, 연결망, 변환 등 복잡한 시스템을 표현하고 분석하는 데 필수적입니다. 여러분이 사용하는 컴퓨터 그래픽 프로그램이 이미지를 확대, 축소, 회전하는 것도 모두 행렬 연산을 통해 이루어집니다.

💡 이것만은 꼭! 실수하기 쉬운 포인트

(i, j) 성분에서 순서를 헷갈리지 마세요!
$a_{ij}$ 에서 앞의 숫자인 $i$는 행(가로), 뒤의 숫자인 $j$는 열(세로)을 의미합니다. '행렬'이라는 단어의 순서대로 '행 먼저, 열 나중'이라고 기억하면 헷갈리지 않을 겁니다.

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✨ 마무리하며

오늘은 행렬의 세계에 첫발을 내디뎠습니다. 새로운 용어들이 많았지만, 핵심은 간단합니다.

• 행렬은 데이터를 직사각형 모양으로 정리한 것입니다.
• 행렬의 가로줄은 행, 세로줄은 열, 각 칸의 내용은 성분이라고 합니다.
• 행렬의 크기는 (행의 개수) × (열의 개수)로 나타냅니다.
• 두 행렬이 같으려면($A=B$), 크기가 같고 대응하는 성분이 모두 같아야 합니다.

행렬은 복잡한 정보를 간결하게 표현하고, 이를 바탕으로 더 높은 수준의 분석을 가능하게 하는 중요한 도구입니다. 오늘 배운 기본 개념을 잘 다져놓는 것이 앞으로의 학습에 큰 도움이 될 것입니다.

다음 시간에는 이 행렬들을 서로 더하고 빼는 '행렬의 연산'에 대해 알아보겠습니다. 모두 화이팅!