[고1 수학] 조합 개념 완벽 정리: 순열과의 차이부터 공식 증명까지 (경우의 수)

[고1 수학] 조합 개념 완벽 정리: 순열과의 차이부터 공식 증명까지 (경우의 수)

시작하며

여러분, 안녕하세요! 수학쟁이 선생님 입니다! 지난 시간 우리는 순서가 생명인 '순열'에 대해 배웠습니다. 7명 중에 3명을 뽑아 '순서대로' 줄을 세우는 것처럼요. 하지만 세상에는 순서가 중요하지 않은 경우도 많습니다. 7명의 친구 중 단순히 청소 당번 3명을 '뽑기만' 하는 경우처럼 말이죠. 누가 먼저 뽑히든 청소 당번이라는 사실은 변하지 않으니까요!

이렇게 순서를 고려하지 않고 서로 다른 n개 중에서 r개를 선택(Choice)하는 것을 바로 '조합(Combination)'이라고 합니다. 오늘은 이 조합의 세계를 탐험하며 순열과의 미묘하지만 결정적인 차이를 알아보고, 관련 문제들을 시원하게 해결하는 전략을 배워보겠습니다.

개념과 원리 심층 탐구

1. 조합이란? (순열과의 결정적 차이)

조합을 이해하는 가장 좋은 방법은 순열과 직접 비교하는 것입니다.

교과서에 나온 예시를 살펴볼까요? 빨강, 파랑, 노랑 물감 3가지 중 2가지를 섞어 새로운 색을 만든다고 해봅시다.

• (빨강, 파랑)을 섞는 것과 (파랑, 빨강)을 섞는 것은 결과적으로 같은 색입니다. 순서가 의미 없죠.
• 가능한 조합은 {빨강, 파랑}, {빨강, 노랑}, {파랑, 노랑} 이렇게 3가지입니다.

이것이 바로 조합입니다. '서로 다른 3개에서 순서를 생각하지 않고 2개를 택하는 경우의 수'는 3인 것이죠.

만약 순열처럼 '서로 다른 3개에서 2개를 택해 나열하는 경우의 수'로 생각하면 어떻게 될까요?
(빨강, 파랑), (파랑, 빨강), (빨강, 노랑), (노랑, 빨강), (파랑, 노랑), (노랑, 파랑) 이렇게 6가지가 됩니다.

차이가 느껴지시나요? 조합은 '뽑는 행위' 그 자체에 집중하고, 순열은 '뽑아서 줄 세우는 행위'까지 포함합니다. 이것이 핵심입니다!

2. 조합의 수 공식: 왜 그렇게 될까?

그렇다면 조합의 수, 즉 '서로 다른 n개에서 r개를 택하는 조합의 수'를 나타내는 기호 $_{n}C_{r}$은 어떻게 계산할까요?

놀랍게도 우리는 이미 배운 순열을 통해 조합의 수 공식을 유도할 수 있습니다.

'순열 = 조합 × (뽑은 것을 나열하는 경우의 수)' 라는 아이디어를 떠올려 보세요.

예를 들어, 4명의 학생(A, B, C, D) 중 3명을 뽑아 '줄을 세우는' 순열의 수(${}_{4}P_{3}$)를 계산해 봅시다. 이 과정은 두 단계로 나눌 수 있습니다.
1단계 (조합): 먼저 3명을 '뽑습니다'. (${}_{4}C_{3}$)
2단계 (나열): 뽑힌 3명을 '줄 세웁니다'. (3!)

따라서 곱의 법칙에 의해 ${}_{4}P_{3} = {}_{4}C_{3} \times 3!$ 이 성립합니다.
이 식을 ${}_{n}C_{r}$에 대해 정리하면,

$$ {}_{n}C_{r} = \frac{{}_{n}P_{r}}{r!} $$

라는 아주 중요한 관계식을 얻습니다! 순열의 수를, 뽑은 r개를 나열하는 경우의 수(r!)로 나누어 주면 순서가 사라지고 조합의 수가 되는 것이죠.

이제 이 관계식을 우리가 아는 순열 공식 ${}_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$을 이용해 더 풀어볼까요?

$$ {}_{n}C_{r} = \frac{{}_{n}P_{r}}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

드디어 조합의 최종 공식이 완성되었습니다!

[핵심 정리] 조합의 수 공식 📝

서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하는 조합의 수 ${}_{n}C_{r}$은 다음과 같이 계산합니다. (단, $0 \le r \le n$)

$$ {}_{n}C_{r} = \frac{{}_{n}P_{r}}{r!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

특히, 다음과 같이 약속합니다.

• $n$개 중 아무것도 뽑지 않는 경우의 수는 1가지로 봅니다: ${}_{n}C_{0} = 1$
• $n$개 중 $n$개 모두를 뽑는 경우의 수도 1가지입니다: ${}_{n}C_{n} = 1$

꿀팁! 조합의 성질: ${}_{n}C_{r} = {}_{n}C_{n-r}$

10명 중 8명을 뽑는 것(${}_{10}C_{8}$)은 10명 중 뽑지 않을 2명을 뽑는 것(${}_{10}C_{2}$)과 같습니다. 계산이 훨씬 간단해지겠죠?

단계별 문제 해결 전략

예제 1: 기본적인 조합의 수 계산

문제: 학생 8명 중에서 임원 2명을 선출하는 경우의 수를 구하시오.

▶ 사고 과정:
'임원 2명'은 회장, 부회장처럼 자격이 다르지 않죠? 즉, (철수, 영희)를 뽑는 것과 (영희, 철수)를 뽑는 것은 같은 경우입니다. 따라서 순서는 중요하지 않으므로 '조합'을 사용해야 합니다.

▶ 풀이:
서로 다른 8명 중에서 순서를 생각하지 않고 2명을 뽑는 경우의 수이므로,

$$ {}_{8}C_{2} = \frac{{}_{8}P_{2}}{2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 $$

따라서 28가지입니다.

예제 2: 곱의 법칙과 조합의 결합

문제: 빵 8종류와 음료 5종류가 있는 가게에서 빵 3종류와 음료 2종류를 주문하는 경우의 수를 구하시오.

▶ 사고 과정:
이 문제는 두 개의 사건으로 나눌 수 있습니다.
사건 A: 빵 8종류 중 3종류를 '선택'
사건 B: 음료 5종류 중 2종류를 '선택'
두 사건 모두 순서는 중요하지 않으므로 조합을 사용하고, 빵을 고르는 각각의 경우에 대해 음료를 고르는 경우가 발생하므로 두 사건의 경우의 수를 '곱의 법칙'으로 연결해야 합니다.

▶ 풀이:
빵 8종류 중 3종류를 택하는 경우의 수: ${}_{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$
음료 5종류 중 2종류를 택하는 경우의 수: ${}_{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의해,

$$ 56 \times 10 = 560 $$

총 560가지입니다.

오개념 방지 및 심화 팁

순열 vs 조합, 결정적인 키워드로 구분하자!

문제를 읽고 순열을 써야 할지, 조합을 써야 할지 헷갈린다면 다음 키워드를 찾아보세요.

• 순열(Permutation): 순서가 중요하다! 👉 나열, 줄 세우기, 순서대로, 회장·부회장처럼 자격이 다른 경우
• 조합(Combination): 순서가 중요하지 않다! 👉 선택, 뽑기, 대표·임원처럼 자격이 같은 경우

예를 들어, 10명 중 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 것은 ${}_{10}P_{2}$입니다. 반면, 10명 중 대표 2명을 뽑는 것은 ${}_{10}C_{2}$입니다. 이 차이를 명확히 인지하는 것이 가장 중요합니다!

심화 팁: 파스칼의 삼각형과 조합

조합에는 재미있는 성질이 하나 더 있습니다. 바로 ${}_{n}C_{r} = {}_{n-1}C_{r} + {}_{n-1}C_{r-1}$ 이라는 공식이죠. (단, $1 \le r < n$)

이게 무슨 뜻일까요? '나'를 기준으로 생각하면 쉽습니다.
"n명 중 r명을 뽑는 경우의 수"는 다음 두 가지 경우의 합과 같습니다.

1. '나'를 제외하고 뽑는 경우: 나를 빼놓은 (n-1)명 중에서 r명을 그대로 뽑아야 합니다. 👉 ${}_{n-1}C_{r}$
2. '나'를 반드시 포함해서 뽑는 경우: 나는 이미 뽑혔으니, 나머지 (n-1)명 중에서 (r-1)명만 더 뽑으면 됩니다. 👉 ${}_{n-1}C_{r-1}$

이 두 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 합의 법칙에 따라 더해주는 것입니다. 이 원리는 나중에 '확률과 통계' 과목에서 '파스칼의 삼각형'으로 다시 만나게 될 중요한 개념이니, 가볍게 눈도장 찍어두세요!

마무리하며

오늘은 순서 없는 나열, '조합'에 대해 깊이 있게 알아보았습니다. 조합의 핵심은 '순서를 무시하고 선택한다'는 것, 그리고 순열과의 관계식 '${}_{n}P_{r} = {}_{n}C_{r} \times r!$' 에서 모든 공식이 유도된다는 점을 기억하는 것입니다.

이제 '경우의 수' 단원의 큰 두 기둥인 순열과 조합을 모두 배웠습니다. 앞으로는 이 두 가지를 문제 상황에 맞게 적절히 활용하는 연습이 중요합니다. 문제를 꼼꼼히 읽고 '순서가 중요한가?'를 스스로에게 질문하는 습관을 들인다면 어떤 응용 문제가 나와도 흔들리지 않을 거예요.

오늘도 정말 수고 많았습니다! 다음 시간에는 새로운 대단원으로 여러분의 수학적 사고를 한 단계 더 성장시켜 보겠습니다. 꾸준함이 실력입니다! 💪