미래엔 공통수학2 교과서 [집합] 중단원 마무리 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학2 교과서 [II. 집합과 명제] 1. 집합 - 중단원 마무리 문제 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 😊

'집합' 중단원 학습을 모두 마친 것을 축하합니다! 이제 배운 개념들을 총동원하여 종합 문제를 풀어볼 시간이에요. '중단원 마무리 문제'는 내신 시험에도 자주 출제되는 중요한 유형들이 모여 있으니, 한 문제 한 문제 꼼꼼하게 풀어보며 자신의 실력을 점검해 보세요. 그럼, 시작하겠습니다!

✍️ 중단원 마무리 문제 풀이 (p.78-79)

p.78 문제 01

다음에서 집합인 것에 O표, 집합이 아닌 것에 X표를 하시오.

(1) 인구수가 많은 나라의 모임

(2) 1보다 작은 자연수의 모임

(3) 1에 가까운 실수의 모임

[풀이 과정]

집합이 되려면 기준이 명확해야 합니다.

(1) '인구수가 많은'의 기준이 불분명하므로 집합이 아닙니다. (X)

(2) '1보다 작은 자연수'는 존재하지 않으므로, 원소가 하나도 없는 '공집합'입니다. 기준이 명확하므로 집합입니다. (O)

(3) '1에 가까운'의 기준이 불분명하므로 집합이 아닙니다. (X)

p.78 문제 02

다음 집합을 원소나열법으로 나타내시오.

(1) $\{x \mid x\text{는 21의 양의 약수}\}$

(2) $\{x \mid x^2-7x+6=0\}$

[풀이 과정]

(1) 21의 양의 약수는 1, 3, 7, 21 입니다. 따라서 $\mathbf{\{1, 3, 7, 21\}}$ 입니다.

(2) 이차방정식 $x^2-7x+6=0$을 풀면 $(x-1)(x-6)=0$ 이므로, 해는 $x=1, x=6$ 입니다. 따라서 $\mathbf{\{1, 6\}}$ 입니다.

p.78 문제 03

다음 두 집합 A와 B 사이의 포함 관계를 기호 $\subset$를 사용하여 나타내시오.

(1) $A=\{1,3,7,15\}$, $B=\{x \mid x=2^n-1, n\text{은 4 이하의 자연수}\}$

(2) $A=\{x \mid x\text{는 16의 약수}\}, B=\{2,4\}$

[풀이 과정]

(1) 먼저 집합 B의 원소를 구해봅시다. $n=1,2,3,4$를 대입하면,

$B = \{2^1-1, 2^2-1, 2^3-1, 2^4-1\} = \{1, 3, 7, 15\}$

집합 A와 집합 B의 원소가 완전히 같으므로, $A \subset B$ 이고 $B \subset A$ 입니다. (즉, $A=B$)

(2) 집합 A의 원소를 구하면 $A=\{1,2,4,8,16\}$ 입니다. 집합 B의 모든 원소(2, 4)가 집합 A에 포함되므로 $\mathbf{B \subset A}$ 입니다.

p.78 문제 04

두 집합 A와 B에 대하여 $n(A)=18, n(B)=23, n(A \cup B)=30$일 때, $n(A \cap B)$를 구하시오.

[풀이 과정]

합집합의 원소 개수 공식을 이용합니다.

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$30 = 18 + 23 - n(A \cap B) \implies 30 = 41 - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 41 - 30 = 11$

정답: 11

p.78 문제 05

전체집합 $U=\{1,2,3,\dots,10\}$의 두 부분집합 $A=\{1,5,9,10\}$, $B=\{x \mid x\text{는 10의 약수}\}$에 대하여 다음을 구하시오.

[풀이 과정]

먼저 집합 B를 원소나열법으로 나타내면 $B=\{1,2,5,10\}$ 입니다.

(1) $\mathbf{A \cap B} = \{1, 5, 10\}$

(2) $\mathbf{A \cup B} = \{1, 2, 5, 9, 10\}$

(3) $\mathbf{A^C} = U-A = \{2, 3, 4, 6, 7, 8\}$

(4) $\mathbf{A-B} = \{1,5,9,10\} - \{1,2,5,10\} = \{9\}$

p.78 문제 06

전체집합 $U=\{1,2,3,4,5\}$의 부분집합 중에서 집합 $A=\{1,2,4\}$와 서로소인 집합을 모두 구하시오.

[풀이 과정]

집합 A와 서로소이려면, 교집합이 공집합이어야 합니다. 즉, 원소 1, 2, 4를 포함하지 않는 부분집합을 찾으면 됩니다.

전체집합 U에서 A의 원소를 제외하면 남는 원소는 $\{3,5\}$ 입니다.

따라서 우리는 집합 $\{3,5\}$의 부분집합을 구하면 됩니다.

$\implies \mathbf{\emptyset, \{3\}, \{5\}, \{3,5\}}$

p.78 문제 07 [서술형]

두 집합 $A=\{x \mid x\text{는 8의 약수}\}, B=\{x \mid x\text{는 20 이하의 4의 배수}\}$에 대하여 $A \cap X = \emptyset$과 $B \cup X = B$를 만족시키는 집합 X의 개수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[풀이 과정]

1. 두 조건을 해석하기:

$A \cap X = \emptyset \implies$ 집합 X는 집합 A의 원소를 하나도 갖지 않는다.

$B \cup X = B \implies$ 집합 X는 집합 B의 부분집합이다. ($X \subset B$)

종합하면, 집합 X는 집합 B의 부분집합 중에서 집합 A의 원소를 포함하지 않는 집합입니다.

2. 집합 A, B 원소 구하기:

$A=\{1,2,4,8\}$

$B=\{4,8,12,16,20\}$

3. 집합 X의 조건 구체화하기:

집합 X는 B의 부분집합이면서, A의 원소인 1, 2, 4, 8을 가지면 안됩니다. B의 원소 중 A와 겹치는 것은 4, 8이므로 이 두 원소를 제외해야 합니다.

결국 집합 X는 집합 $B-A$의 부분집합과 같습니다.

$B-A = \{4,8,12,16,20\} - \{1,2,4,8\} = \{12,16,20\}$

4. 집합 X의 개수 구하기:

집합 $\{12,16,20\}$의 부분집합의 개수를 구하면 됩니다. 원소가 3개이므로,

$2^3 = 8$

정답: 8개

p.78 문제 08

두 집합 $A=\{x^2+2x, 4, 6\}, B=\{x, 6\}$에 대하여 $A \cap B = B$를 만족시키는 모든 정수 $x$의 값을 구하시오.

[풀이 과정]

$A \cap B = B$ 라는 것은 $B \subset A$와 같은 의미입니다. 즉, 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 포함되어야 합니다.

B의 원소 6은 이미 A에 있으므로, 나머지 원소인 $x$가 A의 원소이기만 하면 됩니다.

Case 1: $x$가 A의 원소 4와 같은 경우

$x = 4$

Case 2: $x$가 A의 원소 $x^2+2x$와 같은 경우

$x = x^2+2x \implies x^2+x=0 \implies x(x+1)=0$

따라서 $x=0$ 또는 $x=-1$ 입니다.

모든 경우를 종합하면, 가능한 정수 $x$의 값은 -1, 0, 4 입니다.

p.79 문제 09

100 이하의 자연수 중에서 자연수 $k$의 배수의 집합을 $A_k$로 나타낼 때, 세 집합 $A_3, A_5, A_{10}$에 대하여 $n(A_{10} \cap (A_3 \cup A_5))$을 구하시오.

[풀이 과정]

분배법칙을 이용하여 식을 변형합니다.

$A_{10} \cap (A_3 \cup A_5) = (A_{10} \cap A_3) \cup (A_{10} \cap A_5)$

$A_a \cap A_b$는 $a$와 $b$의 공배수의 집합, 즉 최소공배수의 배수의 집합입니다.

$A_{10} \cap A_3 = A_{LCM(10,3)} = A_{30}$ (30의 배수의 집합)

$A_{10} \cap A_5 = A_{LCM(10,5)} = A_{10}$ (10의 배수의 집합)

따라서 구하려는 집합은 $A_{30} \cup A_{10}$ 입니다.

30의 배수는 모두 10의 배수에 포함되므로 ($A_{30} \subset A_{10}$), 두 집합의 합집합은 $A_{10}$ 입니다.

결론적으로, 100 이하의 자연수 중 10의 배수의 개수를 구하면 됩니다.

$100 \div 10 = 10$

정답: 10

p.79 문제 10 [서술형]

전체집합 $U=\{x \mid x\text{는 30 이하의 자연수}\}$의 두 부분집합 $A=\{x \mid x\text{는 6의 배수}\}, B=\{x \mid x\text{는 24의 약수}\}$에 대하여 $n(A^C \cap B^C)$를 구하시오.

[풀이 과정]

드모르간의 법칙을 이용하면 $n(A^C \cap B^C) = n((A \cup B)^C)$ 입니다.

그리고 여집합의 성질에 의해 $n((A \cup B)^C) = n(U) - n(A \cup B)$ 입니다.

따라서 $n(A \cup B)$를 구하면 문제를 해결할 수 있습니다.

1. 각 집합의 원소 개수 구하기:

$U=\{1, ..., 30\} \implies n(U)=30$

$A=\{6, 12, 18, 24, 30\} \implies n(A)=5$

$B=\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \implies n(B)=8$

$A \cap B = \{6, 12, 24\} \implies n(A \cap B)=3$

2. $n(A \cup B)$ 구하기:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 5+8-3=10$

3. $n(A^C \cap B^C)$ 구하기:

$n(U) - n(A \cup B) = 30 - 10 = 20$

정답: 20

p.79 문제 11 [서술형]

어느 자전거 동아리 회원 40명을 대상으로 두 코스 A와 B를 다녀온 경험이 있는 회원 수를 조사하였더니 A 코스는 28명이고 B 코스는 21명이었다. 두 코스 A와 B를 모두 다녀온 회원 수의 최댓값과 최솟값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[풀이 과정]

주어진 조건: $n(U)=40, n(A)=28, n(B)=21$

우리가 구하려는 값은 $n(A \cap B)$의 최댓값과 최솟값입니다.

1. 최댓값 구하기:

교집합이 최대가 되는 경우는, 작은 집합이 큰 집합에 완전히 포함될 때입니다.

$n(A \cap B)$는 $n(A)$와 $n(B)$ 중 작은 값보다 클 수 없습니다.

$\text{최댓값} = \min(n(A), n(B)) = \min(28, 21) = 21$

2. 최솟값 구하기:

교집합이 최소가 되는 경우는, 합집합이 최대가 될 때입니다. 합집합은 전체집합보다 클 수 없으므로 $n(A \cup B) \le n(U)$ 입니다.

$n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B) \le 40$

$28 + 21 - n(A \cap B) \le 40$

$49 - n(A \cap B) \le 40$

$9 \le n(A \cap B)$

따라서 교집합의 최솟값은 9입니다.

정답: 최댓값: 21, 최솟값: 9

p.79 문제 12

100 미만의 자연수 중에서 7의 배수가 아니거나 5로 나누었을 때의 나머지가 3이 아닌 자연수의 개수를 구하시오.

[풀이 과정]

전체집합 $U = \{1, 2, \dots, 99\}$, $n(U)=99$ 입니다.

A = '7의 배수'인 집합, B = '5로 나누었을 때 나머지가 3'인 집합

우리가 구하려는 것은 '7의 배수가 아닌(A의 여집합)' 또는 '나머지가 3이 아닌(B의 여집합)' 자연수의 개수이므로, $n(A^C \cup B^C)$ 입니다.

드모르간의 법칙에 의해, $n(A^C \cup B^C) = n((A \cap B)^C) = n(U) - n(A \cap B)$

즉, '7의 배수이면서 동시에 5로 나누면 나머지가 3인 수'의 개수를 찾아 전체에서 빼면 됩니다.

1. $A \cap B$ 찾기:

5로 나누면 나머지가 3인 수는 $3, 8, 13, 18, 23, \mathbf{28}, 33, ...$

7의 배수는 $7, 14, 21, \mathbf{28}, 35, ...$

가장 작은 공통 원소는 28입니다. 두 조건을 모두 만족하는 수는 7과 5의 최소공배수인 35씩 커집니다.

따라서 $A \cap B = \{28, 28+35, 28+70, \dots\} = \{28, 63, 98\}$ 입니다.

$n(A \cap B) = 3$

2. 최종 개수 구하기:

$n(U) - n(A \cap B) = 99 - 3 = 96$

정답: 96