미래엔 공통수학2 교과서 [교집합과 합집합] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학2 교과서 [II. 집합과 명제] 1. 집합 - 03. 교집합과 합집합 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 😊

집합의 포함 관계에 대해 잘 공부하고 오셨나요? 아주 좋습니다! 오늘은 두 집합을 가지고 '연산'을 하는 방법을 배울 거예요. 두 집합의 공통 부분을 찾거나, 두 집합을 합치는 활동이죠. 바로 교집합과 합집합입니다. 이 개념들은 여러 조건을 동시에 만족하는 경우를 찾거나, 가능한 모든 경우를 고려할 때 매우 유용하게 사용된답니다. 그럼 시작해볼까요?

📘 [03. 교집합과 합집합] 핵심 포인트

이번 시간에는 집합의 연산과 그 법칙들에 대해 배웁니다. 기호의 의미를 정확히 이해하는 것이 중요해요!

• 교집합 ($A \cap B$): 집합 A에도 속하고 집합 B에도 속하는 모든 원소의 집합. (AND의 의미)
• 합집합 ($A \cup B$): 집합 A에 속하거나 집합 B에 속하는 모든 원소의 집합. (OR의 의미)
• 서로소: 두 집합의 교집합이 공집합일 때 ($A \cap B = \emptyset$), 두 집합은 서로소라고 합니다.
• 합집합의 원소 개수: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$. 겹치는 부분을 한 번 빼주는 것이 포인트!
• 집합의 연산 법칙
  • 교환법칙: $A \cap B = B \cap A$, $A \cup B = B \cup A$ (순서를 바꿔도 결과는 같다)
  • 결합법칙: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$, $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ (어디를 먼저 계산해도 결과는 같다)
  • 분배법칙: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$, $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

✍️ 교과서 문제 풀이

p.69 생각 열기

오른쪽은 볶음밥과 계란말이를 만드는 데 필요한 재료를 나타낸 것이다.

• 두 음식에 공통으로 들어가는 재료를 모두 말해 보자.

• 두 음식을 만들기 위해 준비해야 하는 재료를 모두 말해 보자.

[풀이 과정]

두 음식의 재료를 각각 집합으로 생각해봅시다.

A = {밥, 버섯, 당근, 양파, 소고기, 계란}

B = {계란, 당근, 버섯, 파, 치즈}

• 두 음식에 공통으로 들어가는 재료 (교집합): 두 집합에 모두 들어있는 원소를 찾으면 됩니다.

$\implies$ 버섯, 당근, 계란

• 두 음식을 만들기 위해 준비해야 하는 재료 (합집합): 두 집합의 모든 원소를 중복 없이 나열하면 됩니다.

$\implies$ 밥, 버섯, 당근, 양파, 소고기, 계란, 파, 치즈

p.70 문제 1

다음 두 집합 A와 B에 대하여 $A \cap B$와 $A \cup B$를 구하시오.

(1) $A=\{1,3,9,27\}, B=\{3,9,15,21,27\}$

(2) $A=\{x \mid x^2-3x-4=0\}, B=\{x \mid x\text{는 5 이하의 자연수}\}$

[풀이 과정]

(1)

$A \cap B$ (공통 원소): $\{3, 9, 27\}$

$A \cup B$ (모든 원소, 중복 없이): $\{1, 3, 9, 15, 21, 27\}$

(2) 먼저 조건제시법으로 나타난 집합의 원소를 구합니다.

$A=\{x \mid (x-4)(x+1)=0\} = \{-1, 4\}$

$B=\{1, 2, 3, 4, 5\}$

$A \cap B$ (공통 원소): $\{4\}$

$A \cup B$ (모든 원소, 중복 없이): $\{-1, 1, 2, 3, 4, 5\}$

p.70 문제 2

다음 두 집합 A와 B가 서로소인지 아닌지 확인하시오.

(1) $A=\{x \mid |x|\ge1\}, B=\{x \mid x^2=1\}$

(2) $A=\{x \mid x\text{는 정삼각형}\}, B=\{x \mid x\text{는 직각삼각형}\}$

[풀이 과정]

서로소인지 확인하려면 교집합이 공집합인지($A \cap B = \emptyset$) 보면 됩니다.

(1)

$A=\{x \mid x \ge 1 \text{ 또는 } x \le -1\}$

$B=\{-1, 1\}$

$A \cap B = \{-1, 1\}$ 입니다. 교집합이 공집합이 아니므로 서로소가 아닙니다.

(2)

정삼각형은 세 각이 모두 60°이고, 직각삼각형은 한 각이 90°입니다. 어떤 삼각형도 동시에 정삼각형이면서 직각삼각형일 수는 없습니다.

$A \cap B = \emptyset$ 이므로 서로소입니다.

p.70 문제 3

두 집합 A와 B에 대하여 $n(A)=8, n(B)=10, n(A \cup B)=16$일 때, $n(A \cap B)$를 구하시오.

[풀이 과정]

합집합의 원소 개수 공식을 이용합니다.

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

주어진 값을 대입하면,

$16 = 8 + 10 - n(A \cap B)$

$16 = 18 - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 18 - 16 = 2$

따라서 정답은 2입니다.

p.71 문제 4

세 집합 A, B, C에 대하여 $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$가 성립함을 벤다이어그램을 이용하여 확인하시오.

[풀이 과정]

교집합에 대한 결합법칙이 성립하는지 벤다이어그램으로 확인해 보겠습니다.

좌변: $(A \cap B) \cap C$

1단계: $A \cap B$

2단계: $(A \cap B) \cap C$

우변: $A \cap (B \cap C)$

1단계: $B \cap C$

2단계: $A \cap (B \cap C)$

좌변과 우변의 최종 결과가 세 집합이 모두 겹치는 부분으로 동일함을 알 수 있습니다.

p.72 문제 5

세 집합 A, B, C에 대하여 집합의 연산에 대한 분배법칙이 성립함을 벤 다이어그램을 이용하여 확인하시오.

(1) $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

(2) $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

[풀이 과정]

(1) $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ 확인

좌변: 먼저 $(B \cup C)$ 영역 전체를 생각하고, 그중에서 A와 겹치는 부분을 찾습니다.

$B \cup C$

$A \cap (B \cup C)$

우변: $(A \cap B)$ 영역과 $(A \cap C)$ 영역을 구한 뒤, 두 영역을 합칩니다.

$(A \cap B) \cup (A \cap C)$

좌변과 우변의 최종 결과가 같으므로 분배법칙이 성립합니다.

---

(2) $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ 확인

좌변: 먼저 $(B \cap C)$ 영역을 생각하고, 그 영역과 A 영역 전체를 합칩니다.

우변: $(A \cup B)$ 영역과 $(A \cup C)$ 영역을 구한 뒤, 두 영역의 공통 부분을 찾습니다.

역시 두 경우의 최종 결과가 같음을 벤다이어그램으로 확인할 수 있습니다.

p.72 문제 6

두 집합 A와 B에 대하여 다음이 성립함을 벤다이어그램을 이용하여 확인하시오.

(1) $A \cup (A \cap B) = A$

(2) $A \cap (A \cup B) = A$

[풀이 과정]

이것을 흡수법칙이라고도 합니다. 벤다이어그램으로 확인해볼까요?

(1) $A \cup (A \cap B) = A$

$A \cap B$는 A와 B의 겹치는 부분입니다. 이 부분과 집합 A 전체를 합치면, 당연히 그냥 집합 A가 됩니다.

(2) $A \cap (A \cup B) = A$

$A \cup B$는 A와 B를 모두 포함하는 더 큰 집합입니다. 이 집합과 집합 A의 공통 부분을 찾으면, 당연히 그냥 집합 A가 됩니다.

결과: A

두 경우 모두 최종적으로 색칠되는 영역이 집합 A와 같음을 확인할 수 있습니다.

🎉 마무리하며

오늘은 집합의 기본적인 연산인 교집합과 합집합에 대해 배웠습니다. 그리고 연산에 대한 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립하는 것도 확인했죠. 특히 합집합의 원소의 개수를 구하는 공식은 앞으로 확률 문제를 풀 때도 계속해서 사용되니 꼭 기억해주세요!

이제 집합의 기본 연산을 익혔으니, 다음 시간에는 '여집합'과 '차집합'이라는 새로운 연산을 통해 집합의 세계를 더욱 넓혀보겠습니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 👋