미래엔 공통수학2 교과서 [집합 사이의 포함 관계] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학2 교과서 [II. 집합과 명제] 1. 집합 - 02. 집합 사이의 포함 관계 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 😊

지난 시간에 집합이 무엇인지, 그리고 어떻게 표현하는지에 대해 배웠죠? 오늘은 한 걸음 더 나아가 집합과 집합 사이의 관계를 살펴보려고 합니다. 어떤 집합이 다른 집합에 완전히 포함되는 경우를 '부분집합'이라고 하는데, 이 개념은 앞으로 배울 집합의 연산을 이해하는 데 아주 중요하답니다. 그럼 오늘도 힘차게 시작해볼까요?

📘 [02. 집합 사이의 포함 관계] 핵심 포인트

이번 시간에는 집합들 간의 상하 관계를 나타내는 중요한 개념들을 배웁니다!

• 부분집합 ($A \subset B$): 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, A는 B의 부분집합이라고 합니다.
• 부분집합의 성질:
  • 공집합은 모든 집합의 부분집합이다. ($\emptyset \subset A$)
  • 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다. ($A \subset A$)
• 서로 같은 집합 ($A=B$): 두 집합 A, B가 서로의 부분집합일 때, 즉 $A \subset B$이고 $B \subset A$일 때 두 집합은 같다고 합니다. (두 집합의 원소가 완전히 똑같다는 뜻!)
• 진부분집합: A가 B의 부분집합이면서 자기 자신은 아닐 때 ($A \subset B$이고 $A \neq B$), A를 B의 진부분집합이라고 합니다.
• 부분집합의 개수: 원소의 개수가 $n$개인 집합의 부분집합의 개수는 $\mathbf{2^n}$개, 진부분집합의 개수는 $\mathbf{2^n-1}$개 입니다.

✍️ 교과서 문제 풀이

p.67 생각 열기

다음은 피아노 삼중주와 피아노 사중주에서 연주하는 악기의 집합을 각각 A와 B로 나타낸 것이다.

$A = \{\text{피아노, 바이올린, 첼로}\}$

$B = \{\text{피아노, 바이올린, 비올라, 첼로}\}$

• 집합 A의 원소가 모두 집합 B에 속하는지 말해 보자.

[풀이 과정]

집합 A의 원소는 '피아노', '바이올린', '첼로' 세 가지입니다.

이 세 악기가 모두 집합 B에 속하는지 확인해볼까요?

• 피아노 $\in B$ (O)
• 바이올린 $\in B$ (O)
• 첼로 $\in B$ (O)

네, 집합 A의 모든 원소는 집합 B에 속합니다. 이처럼 한 집합의 모든 원소가 다른 집합에 포함될 때, 우리는 부분집합 관계라고 부릅니다.

p.68 문제 1

다음 □ 안에 기호 $\subset$와 $\not\subset$ 중에서 알맞은 것을 써넣으시오.

(1) $\{2, 3, 5\}$ □ $\{x \mid x\text{는 10 이하의 소수}\}$

(2) $\{0, 1\}$ □ $\{x \mid x^2+x=0\}$

[풀이 과정]

(1) 먼저 조건제시법으로 나타난 집합의 원소를 구해봅시다.

$\{x \mid x\text{는 10 이하의 소수}\} = \{2, 3, 5, 7\}$

집합 $\{2, 3, 5\}$의 모든 원소(2, 3, 5)는 집합 $\{2, 3, 5, 7\}$에 포함됩니다.

따라서 정답은 $\mathbf{\subset}$ 입니다.

(2) 조건제시법으로 나타난 집합의 원소를 구해봅시다.

$x^2+x=0 \implies x(x+1)=0 \implies x=0$ 또는 $x=-1$. 즉, $\{0, -1\}$ 입니다.

집합 $\{0, 1\}$의 원소 중 1은 집합 $\{0, -1\}$에 속하지 않습니다.

따라서 정답은 $\mathbf{\not\subset}$ 입니다.

p.68 문제 2

다음 □ 안에 기호 $=$와 $\neq$ 중에서 알맞은 것을 써넣으시오.

(1) $\{2, 4, 6\}$ □ $\{x \mid x\text{는 8 이하의 짝수}\}$

(2) $\{x \mid x^2-1=0\}$ □ $\{-1, 1\}$

[풀이 과정]

(1) $\{x \mid x\text{는 8 이하의 짝수}\} = \{2, 4, 6, 8\}$ 입니다.

두 집합의 원소가 다르므로 정답은 $\mathbf{\neq}$ 입니다.

(2) $\{x \mid x^2-1=0\}$ 의 해는 $x=1, x=-1$ 이므로, 원소나열법으로 나타내면 $\{-1, 1\}$ 입니다.

두 집합의 원소가 완전히 같으므로 정답은 $\mathbf{=}$ 입니다.

p.68 문제 3

집합 $A = \{a, b, c\}$에 대하여 다음에 답하시오.

(1) 집합 A의 부분집합을 모두 구하고, 그 개수를 말하시오.

(2) 집합 A의 진부분집합을 모두 구하고, 그 개수를 말하시오.

[풀이 과정]

부분집합을 구할 때는 원소의 개수가 0개인 것부터 차례대로 구하면 헷갈리지 않아요!

(1) 집합 A의 부분집합

• 원소가 0개인 부분집합: $\emptyset$
• 원소가 1개인 부분집합: $\{a\}, \{b\}, \{c\}$
• 원소가 2개인 부분집합: $\{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}$
• 원소가 3개인 부분집합: $\{a, b, c\}$

따라서 부분집합은 총 8개입니다. (공식: $2^3=8$)

(2) 집합 A의 진부분집합

진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 것입니다. 위 목록에서 $\{a, b, c\}$만 빼면 됩니다.

$\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}$

따라서 진부분집합은 총 7개입니다. (공식: $2^3-1=7$)

p.68 생각 넓히기

평행사변형 전체의 집합을 A, 직사각형 전체의 집합을 B, 마름모 전체의 집합을 C, 정사각형 전체의 집합을 D라 하자.

활동1: 두 집합 A와 B, 두 집합 A와 C 사이의 포함 관계를 말해 보자.

활동2: 집합 D가 집합 C의 진부분집합인지 말해 보자.

[풀이 과정]

중학교 때 배운 사각형의 성질을 떠올려봅시다!

활동1:

• 모든 직사각형은 '두 쌍의 대변이 각각 평행하다'는 평행사변형의 정의를 만족합니다. 따라서 집합 B의 모든 원소는 집합 A에 속합니다. $\implies \mathbf{B \subset A}$
• 모든 마름모는 '두 쌍의 대변이 각각 평행하다'는 평행사변형의 정의를 만족합니다. 따라서 집합 C의 모든 원소는 집합 A에 속합니다. $\implies \mathbf{C \subset A}$

활동2:

• 모든 정사각형은 '네 변의 길이가 같다'는 마름모의 성질을 만족하므로, 정사각형은 마름모의 부분집합입니다. ($D \subset C$)
• 하지만, 네 각이 직각이 아닌 마름모도 존재하므로, 집합 C의 원소 중에는 집합 D에 속하지 않는 것이 있습니다. 즉, $C \neq D$ 입니다.

따라서 $D \subset C$ 이고 $D \neq C$ 이므로, 집합 D는 집합 C의 진부분집합이 맞습니다.

🎉 마무리하며

오늘은 집합과 집합 사이의 관계를 나타내는 '부분집합'과 '진부분집합'에 대해 알아보고, 두 집합이 같다는 것의 의미도 공부했습니다. 특히 원소의 개수에 따라 부분집합의 개수가 $2^n$개로 늘어나는 규칙은 꼭 기억해주세요!

집합 사이의 관계를 파악하는 능력은 논리적인 사고의 기초가 됩니다. 다음 시간에는 두 집합을 합치거나 공통 부분을 찾는 '집합의 연산'에 대해 배울 거예요. 오늘 배운 포함 관계를 잘 기억하고 있다면 다음 시간도 어렵지 않을 겁니다! 수고 많으셨어요! 👋