미래엔 공통수학2 교과서 [I. 도형의 방정식 3. 도형의 이동] 중단원 마무리 문제 풀이

미래엔 공통수학2 교과서 [I. 도형의 방정식] 3. 도형의 이동 - 중단원 마무리 문제 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다. 😊

'도형의 이동' 단원을 마무리하는 종합 문제 풀이 시간입니다. 평행이동과 대칭이동의 규칙을 정확히 이해하고 문제에 적용하는 연습을 통해 실력을 완성해 봅시다. 각 문제가 어떤 이동을 요구하는지, 점의 이동인지 도형의 이동인지 파악하는 것이 중요합니다. 그럼, 시작하겠습니다!

✍️ 중단원 마무리 문제 풀이 (p.54-55)

p.54 문제 01

점 $(2, -1)$을 x축의 방향으로 $a$만큼, y축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 점의 좌표가 $(-5, 2)$일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하시오.

[풀이 과정]

점의 평행이동은 이동한 만큼 좌표에 그대로 더해주면 됩니다.

$2+a = -5 \implies a = -7$

$-1+b = 2 \implies b = 3$

따라서 $\mathbf{a=-7, b=3}$ 입니다.

p.54 문제 02

다음 방정식이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 -6만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구하시오.

(1) $2x+3y-1=0$

(2) $x^2+(y-1)^2=9$

[풀이 과정]

도형의 평행이동은 $x$ 대신 $(x-a)$, $y$ 대신 $(y-b)$를 대입합니다.

x축으로 -6만큼 $\implies x$ 대신 $(x-(-6)) = (x+6)$ 대입

y축으로 2만큼 $\implies y$ 대신 $(y-2)$ 대입

(1)

$2(x+6) + 3(y-2) - 1 = 0$

$2x+12+3y-6-1 = 0$

$\mathbf{2x+3y+5 = 0}$

(2)

$(x+6)^2 + \{(y-2)-1\}^2 = 9$

$\mathbf{(x+6)^2 + (y-3)^2 = 9}$

p.54 문제 03

점 $(-4, 3)$을 다음에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하시오.

(1) x축      (2) y축      (3) 원점      (4) 직선 $y=x$

[풀이 과정]

(1) x축 대칭 (y부호 변경): $\mathbf{(-4, -3)}$

(2) y축 대칭 (x부호 변경): $\mathbf{(4, 3)}$

(3) 원점 대칭 (x,y부호 변경): $\mathbf{(4, -3)}$

(4) 직선 y=x 대칭 (x,y 좌표 교환): $\mathbf{(3, -4)}$

p.54 문제 04

원 $(x+5)^2+(y-4)^2=1$을 다음에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하시오.

[풀이 과정]

원의 대칭이동은 중심점을 대칭이동시킨 후, 반지름은 그대로 두고 방정식을 세우면 편리합니다.

원래 중심은 $(-5, 4)$이고 반지름은 1입니다.

(1) x축 대칭: 중심 $(-5, 4) \to (-5, -4)$. 방정식: $\mathbf{(x+5)^2 + (y+4)^2 = 1}$

(2) y축 대칭: 중심 $(-5, 4) \to (5, 4)$. 방정식: $\mathbf{(x-5)^2 + (y-4)^2 = 1}$

(3) 원점 대칭: 중심 $(-5, 4) \to (5, -4)$. 방정식: $\mathbf{(x-5)^2 + (y+4)^2 = 1}$

(4) 직선 y=x 대칭: 중심 $(-5, 4) \to (4, -5)$. 방정식: $\mathbf{(x-4)^2 + (y+5)^2 = 1}$

p.54 문제 05

점 $(4, -5)$를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 점이 직선 $x-ay+3=0$ 위에 있을 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

[풀이 과정]

1. 평행이동한 점의 좌표 구하기:

$(4 + (-2), -5 + 4) = (2, -1)$

2. 직선의 방정식에 대입하기:

점 $(2, -1)$이 직선 $x-ay+3=0$ 위에 있으므로 대입합니다.

$2 - a(-1) + 3 = 0$

$2 + a + 3 = 0$

$a + 5 = 0$

$\mathbf{a = -5}$

p.54 문제 06

원 $(x-1)^2+(y-6)^2=9$를 x축의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 다음 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하시오.

[풀이 과정]

원의 중심 $(1, 6)$의 이동 과정을 따라가 봅시다. 반지름은 3으로 변하지 않아요.

1. 평행이동:

중심 $(1, 6)$을 x축으로 5, y축으로 -1만큼 평행이동합니다.

$(1+5, 6-1) = (6, 5)$

평행이동한 원의 방정식은 $(x-6)^2 + (y-5)^2 = 9$ 입니다.

2. 대칭이동:

평행이동한 원의 중심 $(6, 5)$를 직선 $y=x$에 대해 대칭이동합니다.

$(5, 6)$

따라서 최종 원의 중심은 $(5, 6)$이고 반지름은 3입니다.

최종 원의 방정식은 $\mathbf{(x-5)^2 + (y-6)^2 = 9}$ 입니다.

p.54 문제 07

직선 $y=2x-3$을 x축에 대하여 대칭이동한 직선과 점 $(-2, 3)$을 지나는 직선 $l$이 서로 수직일 때, 직선 $l$의 방정식을 구하시오.

[풀이 과정]

1. 대칭이동한 직선의 방정식 구하기:

직선 $y=2x-3$을 x축에 대해 대칭이동하면 $y$ 대신 $-y$를 대입합니다.

$-y = 2x-3$

정리하면 $y=-2x+3$ 입니다. 이 직선의 기울기는 -2입니다.

2. 직선 $l$의 기울기 구하기:

직선 $l$은 기울기가 -2인 직선에 수직이므로, 기울기는 $\frac{1}{2}$ 입니다. (곱이 -1이 되어야 하므로)

3. 직선 $l$의 방정식 구하기:

기울기가 $\frac{1}{2}$이고 점 $(-2, 3)$을 지나므로,

$y-3 = \frac{1}{2}(x - (-2))$

$2(y-3) = 1(x+2)$

$2y-6 = x+2$

따라서 직선 $l$의 방정식은 $\mathbf{x-2y+8=0}$ 입니다.

p.55 문제 08 [서술형]

점 $A(2, 1)$을 원점에 대하여 대칭이동한 점을 B, 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점을 C라 할 때, 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 넓이를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[풀이 과정]

1. 점 B와 C의 좌표 구하기:

A(2, 1)

B는 A를 원점 대칭이동한 점: $(-2, -1)$

C는 A를 직선 $y=x$ 대칭이동한 점: $(1, 2)$

2. 삼각형 ABC의 넓이 구하기 (신발끈 공식 이용):

세 꼭짓점의 좌표를 알 때 신발끈 공식을 이용하면 편리합니다.

$S = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1)|$

$S = \frac{1}{2} |(2(-1) + (-2)(2) + 1(1)) - (1(-2) + (-1)(1) + 2(2))|$

$S = \frac{1}{2} |(-2 - 4 + 1) - (-2 - 1 + 4)|$

$S = \frac{1}{2} |-5 - 1| = \frac{1}{2} |-6|$

$\mathbf{S = 3}$

p.55 문제 09

직선 $x+3y-4=0$을 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 직선을 $l$이라 할 때, 원 $(x-1)^2+y^2=4$와 직선 $l$의 교점의 개수를 구하시오.

[풀이 과정]

1. 직선 $l$의 방정식 구하기:

$x+3y-4=0$을 직선 $y=x$에 대해 대칭이동하려면 $x$와 $y$를 바꿉니다.

$y+3x-4=0 \implies l: 3x+y-4=0$

2. 원과 직선의 위치 관계 파악하기:

원의 중심 $(1, 0)$과 직선 $l$ 사이의 거리 $d$를 구하여 반지름 $r=2$와 비교합니다.

$d = \frac{|3(1)+1(0)-4|}{\sqrt{3^2+1^2}} = \frac{|3-4|}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{10}}$이고 $r=2$입니다. $d^2 = \frac{1}{10}$, $r^2=4$이므로 $d < r$ 입니다.

원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름보다 짧으므로, 원과 직선은 서로 다른 두 점에서 만납니다. 따라서 교점의 개수는 2개입니다.

p.55 문제 10 [서술형]

포물선 $y=x^2-4x$를 포물선 $y=x^2-12x+27$로 옮기는 평행이동에 의하여 직선 $l: 2x+y-1=0$이 직선 $l'$으로 옮겨진다. 이때 두 직선 $l$과 $l'$ 사이의 거리를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[풀이 과정]

1. 평행이동 정보 파악하기 (꼭짓점 비교):

두 포물선을 표준형으로 바꿔 꼭짓점을 찾습니다.

$y = x^2-4x = (x-2)^2-4 \implies$ 꼭짓점: $(2, -4)$

$y = x^2-12x+27 = (x-6)^2-9 \implies$ 꼭짓점: $(6, -9)$

꼭짓점이 $(2, -4)$에서 $(6, -9)$로 이동했으므로, x축 방향으로 $6-2=4$만큼, y축 방향으로 $-9-(-4)=-5$만큼 평행이동한 것입니다.

2. 직선 $l$을 평행이동하여 $l'$ 구하기:

$x \to x-4$, $y \to y-(-5) = y+5$를 직선 $l: 2x+y-1=0$에 대입합니다.

$2(x-4) + (y+5) - 1 = 0$

$2x-8+y+5-1 = 0$

$l': 2x+y-4=0$

3. 두 평행한 직선 사이의 거리 구하기:

직선 $l: 2x+y-1=0$ 위의 한 점 (예: y절편 $(0, 1)$)과 직선 $l': 2x+y-4=0$ 사이의 거리를 구합니다.

$d = \frac{|2(0)+1(1)-4|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

따라서 두 직선 사이의 거리는 $\mathbf{\frac{3\sqrt{5}}{5}}$ 입니다.

p.55 문제 11

원 $x^2+y^2+8x-10y+28=0$을 x축에 대하여 대칭이동한 원이 직선 $y=mx$에 접하도록 하는 모든 실수 $m$의 값의 합을 구하시오.

[풀이 과정]

1. 원래 원의 중심과 반지름 구하기:

$x^2+8x+y^2-10y+28=0$

$(x^2+8x+16) + (y^2-10y+25) = -28+16+25$

$(x+4)^2+(y-5)^2=13$. 중심: $(-4, 5)$, 반지름: $\sqrt{13}$

2. x축 대칭이동한 원의 정보 구하기:

중심 $(-4, 5)$를 x축 대칭하면 $(-4, -5)$가 됩니다. 반지름은 그대로입니다.

대칭이동한 원의 방정식: $(x+4)^2+(y+5)^2=13$

3. 접선 조건 이용하기:

이 원과 직선 $y=mx$ (즉, $mx-y=0$)가 접하므로, 원의 중심 $(-4, -5)$에서 직선까지의 거리가 반지름 $\sqrt{13}$과 같습니다.

$d = \frac{|m(-4)-(-5)|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}} = \frac{|-4m+5|}{\sqrt{m^2+1}} = \sqrt{13}$

양변을 제곱하여 정리합니다.

$(-4m+5)^2 = 13(m^2+1)$

$16m^2 - 40m + 25 = 13m^2 + 13$

$3m^2 - 40m + 12 = 0$

4. 근과 계수의 관계 이용하기:

이 이차방정식의 두 근이 우리가 찾는 $m$의 값들입니다. 문제에서는 모든 $m$의 값의 합을 구하라고 했으므로, 근과 계수의 관계를 이용합니다.

$\text{모든 m의 값의 합} = -\frac{(-40)}{3} = \mathbf{\frac{40}{3}}$

🎉 마무리하며

이것으로 [I. 도형의 방정식] 대단원의 모든 학습과 문제 풀이를 마쳤습니다! 점과 직선에서 시작하여 원을 배우고, 이들을 평행이동과 대칭이동까지 시켜보면서 여러분은 이제 좌표평면 위의 도형들을 자유자재로 다룰 수 있는 멋진 능력을 갖추게 되었습니다. 정말 고생 많으셨습니다!

도형의 성질을 방정식으로 해석하고, 방정식의 풀이를 통해 도형의 관계를 파악하는 '해석기하'의 힘을 느꼈기를 바랍니다. 이 능력은 앞으로 더 복잡한 함수와 도형을 공부할 때 든든한 기초가 되어 줄 거예요.

다음 시간에는 새로운 대단원, '집합과 명제'로 논리적 사고의 세계를 탐험해 보겠습니다. 또 다른 재미가 기다리고 있을 거예요! 그럼 다음 시간에 만나요! 안녕! 👋