미래엔 공통수학2 교과서 [대칭이동] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학2 교과서 [I. 도형의 방정식] 3. 도형의 이동 - 02. 대칭이동 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 😊

평행이동으로 도형을 옮기는 법을 마스터한 여러분, 환영합니다! 이번 시간에는 도형을 움직이는 두 번째 방법, 바로 대칭이동에 대해 배울 거예요. 마치 거울에 비친 모습처럼 점이나 도형을 어떤 점 또는 선에 대해 '뒤집는' 과정이죠. 대칭이동은 우리 주변의 예술, 건축, 자연 현상 속에서 쉽게 찾아볼 수 있는 아주 중요한 원리랍니다. 평행이동과 규칙이 어떻게 다른지 비교하면서 공부하면 더욱 재미있을 거예요. 그럼, 대칭의 세계로 함께 떠나볼까요?

📘 [02. 대칭이동] 핵심 포인트

대칭이동은 평행이동과 달리 점과 도형에 적용되는 규칙이 같아요. 훨씬 간단하죠? 😉

• x축 대칭: y좌표의 부호를 바꾼다!
  • 점 $(x, y) \to (x, \mathbf{-y})$
  • 도형 $f(x, y)=0 \to f(x, \mathbf{-y})=0$
• y축 대칭: x좌표의 부호를 바꾼다!
  • 점 $(x, y) \to (\mathbf{-x}, y)$
  • 도형 $f(x, y)=0 \to f(\mathbf{-x}, y)=0$
• 원점 대칭: x, y좌표의 부호를 모두 바꾼다!
  • 점 $(x, y) \to (\mathbf{-x, -y})$
  • 도형 $f(x, y)=0 \to f(\mathbf{-x, -y})=0$
• 직선 y=x 대칭: x좌표와 y좌표를 서로 맞바꾼다!
  • 점 $(x, y) \to (\mathbf{y, x})$
  • 도형 $f(x, y)=0 \to f(\mathbf{y, x})=0$

✍️ 교과서 문제 풀이

p.49 문제 1

점 $(3, -5)$를 다음에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하시오.

(1) x축     (2) y축     (3) 원점     (4) 직선 $y=x$

[풀이 과정]

핵심 포인트에 정리된 규칙을 그대로 적용해 봅시다.

(1) x축 대칭: y좌표의 부호를 바꿉니다. $\implies (3, 5)$

(2) y축 대칭: x좌표의 부호를 바꿉니다. $\implies (-3, -5)$

(3) 원점 대칭: x, y좌표의 부호를 모두 바꿉니다. $\implies (-3, 5)$

(4) 직선 y=x 대칭: x, y좌표를 서로 바꿉니다. $\implies (-5, 3)$

p.50 문제 2

다음 방정식이 나타내는 도형을 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구하시오.

(1) $2x-3y-1=0$

(2) $x^2+y^2-4x+10y-7=0$

[풀이 과정]

(1) 직선 $2x-3y-1=0$

• x축 대칭 ($y \to -y$): $2x-3(-y)-1=0 \implies \mathbf{2x+3y-1=0}$
• y축 대칭 ($x \to -x$): $2(-x)-3y-1=0 \implies -2x-3y-1=0 \implies \mathbf{2x+3y+1=0}$
• 원점 대칭 ($x \to -x, y \to -y$): $2(-x)-3(-y)-1=0 \implies -2x+3y-1=0 \implies \mathbf{2x-3y+1=0}$

(2) 원 $x^2+y^2-4x+10y-7=0$

• x축 대칭 ($y \to -y$): $x^2+(-y)^2-4x+10(-y)-7=0 \implies \mathbf{x^2+y^2-4x-10y-7=0}$
• y축 대칭 ($x \to -x$): $(-x)^2+y^2-4(-x)+10y-7=0 \implies \mathbf{x^2+y^2+4x+10y-7=0}$
• 원점 대칭 ($x \to -x, y \to -y$): $(-x)^2+(-y)^2-4(-x)+10(-y)-7=0 \implies \mathbf{x^2+y^2+4x-10y-7=0}$

p.51 예제 2

원 $x^2+(y-3)^2=9$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하시오.

[풀이 과정]

직선 $y=x$에 대한 대칭이동은 $x$와 $y$의 자리를 서로 바꾸면 됩니다.

주어진 방정식 $x^2+(y-3)^2=9$에서 $x$는 $y$로, $y$는 $x$로 바꿉니다.

$y^2 + (x-3)^2 = 9$

정리하면 $\mathbf{(x-3)^2+y^2=9}$ 입니다.

p.51 문제 3

원 $(x-3)^2+(y+2)^2=5$를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 다음 y축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하시오.

[풀이 과정]

이동 순서에 따라 차례대로 적용하면 됩니다.

1단계: 평행이동

x축으로 -2만큼, y축으로 1만큼 평행이동하므로, $x$ 대신 $(x+2)$를, $y$ 대신 $(y-1)$을 대입합니다.

$\{(x+2)-3\}^2 + \{(y-1)+2\}^2 = 5$

정리하면 $(x-1)^2+(y+1)^2=5$ 입니다.

2단계: y축에 대칭이동

1단계에서 얻은 원을 y축에 대칭이동합니다. $x$ 대신 $(-x)$를 대입합니다.

$(-x-1)^2 + (y+1)^2 = 5$

$(-(x+1))^2 + (y+1)^2 = 5$

$\mathbf{(x+1)^2+(y+1)^2=5}$

p.51 문제 4

다음 방정식이 나타내는 도형을 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구하시오.

(1) $2x+y+3=0$      (2) $x^2+y^2-6x+9y=0$

[풀이 과정]

직선 $y=x$ 대칭은 $x \leftrightarrow y$ 입니다!

(1) $2x+y+3=0$ 에서 $x$와 $y$를 바꾸면 $2y+x+3=0$

정리하면 $\mathbf{x+2y+3=0}$ 입니다.

(2) $x^2+y^2-6x+9y=0$ 에서 $x$와 $y$를 바꾸면 $y^2+x^2-6y+9x=0$

정리하면 $\mathbf{x^2+y^2+9x-6y=0}$ 입니다.

p.52 문제 5

오른쪽 그림은 가로의 길이가 80, 세로의 길이가 40인 직사각형 모양의 당구대를 두 변이 좌표축에 놓이도록 그린 것이다. 점 P(10, 30)의 위치에 놓인 노란 공을 쳐서 y축과 x축에 차례대로 부딪히게 하여 점 Q(70, 10)의 위치에 놓인 빨간 공을 맞히려고 할 때, 두 점 A와 B의 좌표를 구하시오.

[풀이 과정]

최단 거리 문제는 대칭이동을 이용하는 대표적인 유형입니다. '벽을 펼쳐서 직선 경로를 만든다'고 생각하면 쉬워요.

1. 점들을 대칭이동 시키기
- 공이 첫 번째로 부딪히는 y축에 대해 출발점 P(10, 30)를 대칭이동합니다. $\implies P'(-10, 30)$
- 공이 두 번째로 부딪히는 x축에 대해 도착점 Q(70, 10)을 대칭이동합니다. $\implies Q'(70, -10)$

2. 두 대칭점을 잇는 직선의 방정식 구하기
최단 경로는 P'에서 Q'를 잇는 직선 경로입니다. 이 직선이 y축과 만나는 점이 A, x축과 만나는 점이 B가 됩니다.
직선 P'Q'의 기울기: $\frac{-10 - 30}{70 - (-10)} = \frac{-40}{80} = -\frac{1}{2}$
기울기가 -1/2이고 점 $P'(-10, 30)$을 지나므로,

$y - 30 = -\frac{1}{2}(x - (-10))$

$2(y-30) = -(x+10) \implies 2y-60 = -x-10 \implies x+2y-50=0$

3. 교점 A, B 구하기
- 점 A는 y축과의 교점이므로 x=0을 대입: $0+2y-50=0 \implies y=25$. 따라서 $\mathbf{A(0, 25)}$
- 점 B는 x축과의 교점이므로 y=0을 대입: $x+2(0)-50=0 \implies x=50$. 따라서 $\mathbf{B(50, 0)}$

🎉 마무리하며

오늘 우리는 평행이동에 이어 도형을 '뒤집는' 대칭이동에 대해 배웠습니다. x축, y축, 원점, 그리고 직선 y=x에 대한 대칭이동 규칙을 익혔죠. 특히 평행이동과 달리 점과 도형의 대칭이동 규칙이 같아서 조금 더 직관적으로 느껴졌을 거예요. 당구공의 최단 경로 문제처럼 대칭이동의 원리를 이용하면 복잡한 문제도 아주 간단하게 해결할 수 있다는 사실! 정말 놀랍지 않나요?

이것으로 [I. 도형의 방정식] 대단원의 모든 내용을 마쳤습니다! 점과 직선에서 시작하여 원을 배우고, 이들을 평행이동과 대칭이동까지 시켜보면서 여러분은 이제 좌표평면 위의 도형들을 자유자재로 다룰 수 있는 멋진 능력을 갖추게 되었습니다. 정말 고생 많으셨습니다!

다음 시간에는 새로운 대단원, '집합과 명제'로 논리적 사고의 세계를 탐험해 보겠습니다. 또 다른 재미가 기다리고 있을 거예요! 그럼 다음 시간에 만나요! 안녕! 👋