미래엔 공통수학2 교과서 [I. 도형의 방정식] 대단원 평가 문제 상세 풀이

 

미래엔 공통수학2 교과서 [I. 도형의 방정식] 대단원 평가 문제 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다. 😊

드디어 '도형의 방정식' 대단원의 최종 보스, '대단원 평가 문제'에 도착했습니다! 지금까지 배운 모든 개념을 아우르는 종합 문제 세트인 만큼, 자신의 실력을 최종 점검하는 좋은 기회가 될 거예요. 한 문제 한 문제, 어떤 개념이 사용되었는지 생각하며 꼼꼼하게 풀어봅시다. 그럼, 시작하겠습니다!

✍️ 대단원 평가 문제 풀이 (p.57-59)

p.57 문제 01 (객관식)

두 점 $A(-1, 4)$와 $B(a, b)$에 대하여 선분 AB를 4:1로 내분하는 점은 x축 위에 있고, 1:3으로 내분하는 점은 y축 위에 있을 때, $a+b$의 값은?

[풀이 과정]

1. 4:1 내분점 조건: x축 위의 점은 y좌표가 0입니다.

$\frac{4(b) + 1(4)}{4+1} = \frac{4b+4}{5} = 0 \implies 4b+4=0 \implies b = -1$

2. 1:3 내분점 조건: y축 위의 점은 x좌표가 0입니다.

$\frac{1(a) + 3(-1)}{1+3} = \frac{a-3}{4} = 0 \implies a-3=0 \implies a = 3$

3. $a+b$의 값 구하기:

$a+b = 3 + (-1) = 2$

정답: ④ 2

p.57 문제 02

직선 $3x-y-8=0$과 평행하고 점 $(3, -3)$을 지나는 직선이 점 $(\frac{2}{3}, k)$를 지날 때, $k$의 값을 구하시오.

[풀이 과정]

1. 직선의 방정식 구하기: 직선 $3x-y-8=0$ 즉, $y=3x-8$에 평행하므로 기울기는 3입니다. 점 $(3, -3)$을 지나므로,

$y - (-3) = 3(x-3) \implies y+3 = 3x-9 \implies y = 3x-12$

2. k값 구하기: 이 직선이 점 $(\frac{2}{3}, k)$를 지나므로 대입합니다.

$k = 3\left(\frac{2}{3}\right) - 12 = 2 - 12 = -10$

정답: -10

p.57 문제 03

직선 $2x-y+6=0$이 직선 $2x+ay-3=0$과 수직이고 직선 $(2-b)x+3y+1=0$과 평행할 때, 상수 $a,b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.

[풀이 과정]

1. 수직 조건 이용 ($a_1a_2+b_1b_2=0$): $2x-y+6=0$과 $2x+ay-3=0$이 수직이므로,

$(2)(2)+(-1)(a)=0 \implies 4-a=0 \implies a=4$

2. 평행 조건 이용 ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$): $2x-y+6=0$과 $(2-b)x+3y+1=0$이 평행하므로,

$\frac{2}{2-b} = \frac{-1}{3} \implies 6 = -(2-b) \implies 6 = -2+b \implies b=8$

3. $ab$의 값 구하기:

$ab = (4)(8) = 32$

정답: 32

p.57 문제 04

두 점 $A(-2,-4)$와 $B(4,8)$에 대하여 원점과 선분 AB의 수직이등분선 사이의 거리를 구하시오.

[풀이 과정]

1. 수직이등분선의 방정식 구하기:

선분 AB의 중점: $(\frac{-2+4}{2}, \frac{-4+8}{2}) = (1, 2)$

선분 AB의 기울기: $\frac{8-(-4)}{4-(-2)} = \frac{12}{6}=2$

수직이등분선의 기울기: $-\frac{1}{2}$

따라서 수직이등분선은 점 $(1,2)$를 지나고 기울기가 $-1/2$인 직선입니다.

$y-2 = -\frac{1}{2}(x-1) \implies 2y-4 = -x+1 \implies x+2y-5=0$

2. 원점과 직선 사이의 거리 구하기:

$d = \frac{|1(0)+2(0)-5|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

정답: $\sqrt{5}$

p.57 문제 05

두 직선 $3x+y-2=0$과 $x-3y+6=0$이 이루는 각을 이등분하는 직선 중에서 기울기가 음수인 직선의 방정식을 구하시오.

[풀이 과정]

각의 이등분선 위의 점 $(x,y)$에서 두 직선까지의 거리는 같습니다.

$\frac{|3x+y-2|}{\sqrt{3^2+1^2}} = \frac{|x-3y+6|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}$

양변의 분모가 $\sqrt{10}$으로 같으므로 분자가 같습니다.

$|3x+y-2| = |x-3y+6|$

Case 1: $3x+y-2 = x-3y+6 \implies 2x+4y-8=0 \implies x+2y-4=0$. 기울기는 $-1/2$ 입니다.

Case 2: $3x+y-2 = -(x-3y+6) \implies 3x+y-2 = -x+3y-6 \implies 4x-2y+4=0 \implies 2x-y+2=0$. 기울기는 2입니다.

문제에서 기울기가 음수인 직선을 찾으라고 했으므로,

정답: $x+2y-4=0$

p.57 문제 06

두 점 $(4,5)$와 $(-2,-1)$을 지나고 중심이 y축 위에 있는 원의 방정식을 구하시오.

[풀이 과정]

1. 원의 중심 설정: 중심이 y축 위에 있으므로 중심 좌표를 $(0, k)$로 둘 수 있습니다.

2. 거리 조건 이용: 원의 중심에서 두 점 $(4,5)$와 $(-2,-1)$까지의 거리는 반지름으로 같습니다. (거리의 제곱도 같습니다.)

$(4-0)^2+(5-k)^2 = (-2-0)^2+(-1-k)^2$

$16 + (25-10k+k^2) = 4 + (1+2k+k^2)$

$41-10k = 5+2k \implies 36 = 12k \implies k=3$

따라서 중심은 $(0,3)$입니다.

3. 반지름 제곱 구하기: 중심 $(0,3)$과 점 $(4,5)$ 사이 거리의 제곱을 구합니다.

$r^2 = (4-0)^2+(5-3)^2 = 16+4=20$

4. 원의 방정식:

$x^2 + (y-3)^2 = 20$

정답: $x^2 + (y-3)^2 = 20$

p.57 문제 07 (객관식)

세 점 (0,0), (4,0), (-2,6)을 지나는 원의 중심의 좌표를 $(p,q)$라 할 때, $p+q$의 값은?

[풀이 과정]

원의 방정식을 $x^2+y^2+Ax+By+C=0$으로 놓고 세 점을 대입합니다.

점 (0,0) 대입: $0+0+0+0+C=0 \implies C=0$

점 (4,0) 대입: $16+0+4A+0+0=0 \implies 4A=-16 \implies A=-4$

점 (-2,6) 대입: $4+36-2A+6B+0=0 \implies 40-2(-4)+6B=0 \implies 48+6B=0 \implies B=-8$

원의 방정식은 $x^2+y^2-4x-8y=0$ 입니다.

중심 $(p,q)$는 $(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}) = (-\frac{-4}{2}, -\frac{-8}{2}) = (2,4)$ 입니다.

$p+q = 2+4=6$

정답: ③ 6

p.57 문제 08

방정식 $x^2+y^2+6x-4y+k+1=0$이 나타내는 도형이 원이 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[풀이 과정]

$(x^2+6x) + (y^2-4y) = -k-1$

$(x^2+6x+9) + (y^2-4y+4) = -k-1+9+4$

$(x+3)^2+(y-2)^2 = 12-k$

원이 되려면 반지름의 제곱인 $12-k$가 0보다 커야 합니다.

$12-k>0 \implies k<12$

정답: $k<12$

p.58 문제 09

직선 $2x+y-3=0$에 평행하고 원 $x^2+y^2=25$에 접하는 직선이 점 $(-5, a)$를 지날 때, 양수 $a$의 값을 구하시오.

[풀이 과정]

기울기가 -2이고 원 $x^2+y^2=25$($r=5$)에 접하는 직선의 방정식은 $y=mx \pm r\sqrt{m^2+1}$ 공식을 이용합니다.

$y = -2x \pm 5\sqrt{(-2)^2+1} = -2x \pm 5\sqrt{5}$

이 직선이 점 $(-5, a)$를 지나므로 대입합니다.

$a = -2(-5) \pm 5\sqrt{5} = 10 \pm 5\sqrt{5}$

문제에서 양수 $a$를 구하라고 했습니다. $10+5\sqrt{5}$는 양수이고, $10-5\sqrt{5} = \sqrt{100}-\sqrt{125}$이므로 음수입니다.

따라서 가능한 양수 $a$의 값은 $\mathbf{10+5\sqrt{5}}$ 입니다.

정답: $10+5\sqrt{5}$

p.58 문제 10

원 $x^2+y^2=r^2$ 위의 점 $(a,4)$에서의 접선의 방정식이 $x-\frac{4}{3}y+b=0$일 때 $a+3b+r$의 값을 구하시오. (단, $r>0$이고 $b$는 상수)

[풀이 과정]

1. 두 접선 방정식 비교:

원 위의 점 $(a,4)$에서의 접선의 방정식은 $ax+4y=r^2$, 즉 $ax+4y-r^2=0$입니다.

주어진 접선의 방정식 $x-\frac{4}{3}y+b=0$의 양변에 3을 곱하면 $3x-4y+3b=0$입니다.

두 방정식은 같은 직선을 나타내므로 계수의 비가 같습니다.

$\frac{a}{3} = \frac{4}{-4} = \frac{-r^2}{3b}$

$\frac{a}{3} = -1$ 이므로 $\mathbf{a=-3}$입니다.

2. r, b 값 구하기:

점 $(a,4)$, 즉 $(-3,4)$는 원 $x^2+y^2=r^2$ 위의 점이므로 대입하면,

$(-3)^2 + 4^2 = r^2 \implies 9+16=25=r^2$. $r>0$이므로 $\mathbf{r=5}$입니다.

계수비에서 $\frac{4}{-4} = \frac{-r^2}{3b}$ 이므로 $-1 = \frac{-25}{3b} \implies -3b = -25 \implies \mathbf{b=\frac{25}{3}}$입니다.

3. $a+3b+r$ 계산:

$a+3b+r = -3 + 3\left(\frac{25}{3}\right) + 5 = -3+25+5 = 27$

정답: 27

p.58 문제 11

직선 $2x+y-4=0$을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 $k$만큼 평행이동하면 직선 $2x+y-3=0$과 일치한다. 이때 상수 $k$의 값을 구하시오.

[풀이 과정]

$x \to x-2$, $y \to y-k$를 주어진 직선의 방정식에 대입합니다.

$2(x-2) + (y-k) - 4 = 0$

$2x-4+y-k-4 = 0$

$2x+y-k-8=0$

이 직선이 $2x+y-3=0$과 일치하므로 상수항이 같아야 합니다.

$-k-8 = -3 \implies -k=5$

$\mathbf{k = -5}$

정답: -5

p.58 문제 12

원 $(x+a)^2+(y-4)^2=4$를 x축의 방향으로 -6만큼 평행이동한 원이 y축에 접할 때, 상수 $a$의 값을 모두 구하시오.

[풀이 과정]

1. 원의 정보: 원래 원의 중심은 $(-a, 4)$이고 반지름 $r=2$입니다.

2. 평행이동 후 중심: 중심을 x축 방향으로 -6만큼 평행이동하면 새 중심은 $(-a-6, 4)$가 됩니다.

3. y축 접선 조건: 원이 y축에 접하려면, |중심의 x좌표| = 반지름 이어야 합니다.

$|-a-6| = 2 \implies |-(a+6)| = |a+6|=2$

Case 1: $a+6 = 2 \implies \mathbf{a=-4}$

Case 2: $a+6 = -2 \implies \mathbf{a=-8}$

정답: -4, -8

p.58 문제 13 (객관식)

점 $(3,a)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 다음 x축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표가 $(2,b)$일 때, $a+b$의 값은?

[풀이 과정]

이동 순서대로 점의 좌표를 추적합니다.

1. $(3,a)$를 직선 $y=x$에 대해 대칭이동 $\implies (a,3)$

2. $(a,3)$을 x축에 대해 대칭이동 $\implies (a,-3)$

이 점이 $(2,b)$와 같으므로, $a=2$이고 $b=-3$입니다.

$a+b = 2 + (-3) = -1$

정답: ② -1

p.58 문제 14

직선 $x+y-4=0$을 원점에 대하여 대칭이동한 직선이 원 $x^2+y^2+ax-4y-6=0$의 넓이를 이등분할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

[풀이 과정]

1. 대칭이동한 직선 구하기: 원점 대칭은 $x \to -x, y \to -y$를 대입합니다.

$(-x)+(-y)-4=0 \implies -x-y-4=0 \implies x+y+4=0$

2. 원의 넓이를 이등분하는 조건: 직선이 원의 넓이를 이등분하려면 반드시 원의 중심을 지나야 합니다.

3. 원의 중심 구하고 대입하기:

원 $x^2+y^2+ax-4y-6=0$의 중심은 $(-\frac{a}{2}, -\frac{-4}{2}) = (-\frac{a}{2}, 2)$ 입니다.

이 중심을 직선 $x+y+4=0$에 대입합니다.

$(-\frac{a}{2}) + 2 + 4 = 0 \implies -\frac{a}{2} = -6$

$\mathbf{a=12}$

정답: 12

p.59 문제 15

다음 그림과 같이 직선으로 뻗은 도로변에 4km 떨어진 두 지점 A와 B로부터 각각 수직으로 2km와 1km 떨어진 지점에 두 건물 C와 D가 있다. 도로변에 버스 정류장을 만들려고 할 때, 두 건물에서 버스 정류장까지의 거리의 합의 최솟값을 구하시오.

[풀이 과정]

최단 거리 문제는 대칭이동을 이용하는 대표적인 유형입니다.

1. 좌표평면 설정하기:

도로를 x축으로 설정하고, 건물 C가 있는 지점 A를 원점 (0,0)으로 설정합니다.

그러면 건물 C의 좌표는 $(0, 2)$가 됩니다.

지점 B는 A에서 4km 떨어져 있으므로 B의 좌표는 (4,0)이고, 건물 D의 좌표는 $(4, 1)$이 됩니다.

도로변의 버스 정류장을 $P(x,0)$라 하면, 우리가 구하려는 것은 $\overline{CP}+\overline{DP}$의 최솟값입니다.

2. 한 점을 도로(x축)에 대해 대칭이동하기:

점 C(0,2)를 x축에 대해 대칭이동한 점을 C'이라 하면, C'의 좌표는 $(0, -2)$입니다.

그러면 $\overline{CP} = \overline{C'P}$ 이므로, $\overline{CP}+\overline{DP} = \overline{C'P}+\overline{DP}$가 됩니다.

3. 최솟값 구하기:

$\overline{C'P}+\overline{DP}$의 값이 최소가 되려면 세 점 C', P, D가 한 직선 위에 있어야 합니다. 따라서 최솟값은 점 C'과 D를 잇는 선분의 길이와 같습니다.

$d = \sqrt{(4-0)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

따라서 거리의 합의 최솟값은 5km 입니다.

정답: 5km

p.59 문제 16 [서술형]

삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 좌표가 $(5,-2)$이고 변 BC의 중점의 좌표가 $(-4,-5)$일 때, 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표를 구하시오.

[풀이 과정]

무게중심은 세 중선의 교점이며, 각 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분합니다.

변 BC의 중점을 M이라 하면, 무게중심 G는 선분 AM을 2:1로 내분하는 점입니다.

점 A는 $(5, -2)$, 점 M은 $(-4, -5)$입니다.

무게중심 G의 x좌표: $\frac{2(-4)+1(5)}{2+1} = \frac{-8+5}{3} = \frac{-3}{3} = -1$

무게중심 G의 y좌표: $\frac{2(-5)+1(-2)}{2+1} = \frac{-10-2}{3} = \frac{-12}{3} = -4$

따라서 무게중심의 좌표는 $\mathbf{(-1, -4)}$ 입니다.

p.59 문제 17 [서술형]

원 $x^2+y^2+9x-6y-2=0$과 직선 $2x-y+2=0$의 두 교점을 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 중심의 좌표를 $(a,b)$라 할 때, $a+b$의 값을 구하시오.

[풀이 과정]

두 교점을 P, Q라 할 때, 우리가 구하려는 새로운 원의 중심은 선분 PQ의 중점입니다. 이 중점은 원래 원의 중심에서 직선 PQ(공통현)에 내린 수선의 발과 같습니다.

1. 원래 원의 중심 구하기:

$x^2+y^2+9x-6y-2=0 \implies$ 중심은 $(-\frac{9}{2}, 3)$입니다.

2. 원의 중심을 지나고 주어진 직선에 수직인 직선의 방정식 구하기:

주어진 직선 $2x-y+2=0$의 기울기는 2입니다.

수직인 직선의 기울기는 $-\frac{1}{2}$입니다.

이 직선은 원래 원의 중심 $(-\frac{9}{2}, 3)$을 지나므로,

$y-3 = -\frac{1}{2}(x - (-\frac{9}{2})) \implies y-3 = -\frac{1}{2}(x+\frac{9}{2})$

3. 두 직선의 교점(새로운 원의 중심) 구하기:

주어진 직선 $y=2x+2$와 위에서 구한 수직인 직선 $y-3 = -\frac{1}{2}(x+\frac{9}{2})$을 연립하여 풉니다.

$(2x+2)-3 = -\frac{1}{2}(x+\frac{9}{2})$

$2x-1 = -\frac{1}{2}x - \frac{9}{4}$. 양변에 4를 곱하면,

$8x-4 = -2x-9 \implies 10x = -5 \implies x = -\frac{1}{2}$

$y = 2(-\frac{1}{2}) + 2 = -1+2 = 1$

따라서 새로운 원의 중심 $(a,b)$는 $(-\frac{1}{2}, 1)$입니다.

4. $a+b$의 값 구하기:

$a+b = -\frac{1}{2} + 1 = \mathbf{\frac{1}{2}}$

p.59 문제 18 [서술형]

다음 그림과 같이 두 점 $A(4,3)$과 $B(2,-4)$에 대하여 서로 다른 두 점 C와 D가 각각 y축과 직선 $y=x$ 위에 있을 때, $\overline{AD}+\overline{DC}+\overline{CB}$의 최솟값을 구하시오.

[풀이 과정]

최단 거리 문제는 대칭이동을 이용해 경로를 일직선으로 펴주는 것이 핵심입니다.

1. 점 D는 직선 $y=x$ 위를 움직이므로, 점 A를 직선 $y=x$에 대해 대칭이동합니다.

$A(4,3) \to A'(3,4)$. 그러면 $\overline{AD} = \overline{A'D}$가 됩니다.

2. 점 C는 y축 위를 움직이므로, 점 B를 y축에 대해 대칭이동합니다.

$B(2,-4) \to B'(-2,-4)$. 그러면 $\overline{CB} = \overline{CB'}$가 됩니다.

3. 구하고자 하는 거리의 합은 다음과 같이 바뀝니다.

$\overline{AD}+\overline{DC}+\overline{CB} = \overline{A'D}+\overline{DC}+\overline{CB'}$

이 합이 최소가 될 때는 점 A', D, C, B'가 모두 한 직선 위에 있을 때입니다. 따라서 최솟값은 점 A'과 B' 사이의 직선 거리입니다.

4. 점 A'(3,4)와 B'(-2,-4) 사이의 거리를 구합니다.

$d = \sqrt{(-2-3)^2 + (-4-4)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-8)^2} = \sqrt{25+64} = \sqrt{89}$

정답: $\sqrt{89}$

🎉 마무리하며

이것으로 [I. 도형의 방정식] 대단원의 모든 학습과 문제 풀이를 마쳤습니다! 좌표평면이라는 도구를 이용해 점, 직선, 원의 성질을 탐구하고, 평행이동과 대칭이동을 통해 도형을 자유롭게 움직여 보면서 여러분은 이제 좌표평면 위의 도형들을 자유자재로 다룰 수 있는 멋진 능력을 갖추게 되었습니다. 정말 고생 많으셨습니다!

도형의 성질을 방정식으로 해석하고, 방정식의 풀이를 통해 도형의 관계를 파악하는 '해석기하'의 힘을 느꼈기를 바랍니다. 이 능력은 앞으로 고등 수학 전반에 걸쳐 계속 사용되는 중요한 기초가 되어 줄 거예요.

지금까지 정말 수고 많으셨습니다! 새로운 대단원 '집합과 명제'에서 다시 만나요! 안녕! 👋