미래엔 공통수학2 교과서 [원과 직선의 위치 관계] 모든 문제 상세 풀이

 

미래엔 공통수학2 교과서 [I. 도형의 방정식] 2. 원의 방정식 - 02. 원과 직선의 위치 관계 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 😊

원의 방정식을 배우고 나니 이제 좌표평면이 더 풍성해 보이지 않나요? 오늘은 지난 시간에 배운 원과 직선을 한 평면에 같이 놓고 어떤 관계를 맺는지 알아볼 거예요. 원과 직선이 두 점에서 만날지, 한 점에서 스치듯 만날지(접할지), 아니면 아예 만나지 않을지 어떻게 수학적으로 판단할 수 있을까요? 여기서 1단원에서 배운 판별식과 점과 직선 사이의 거리 공식이 화려하게 재등장한답니다! 배운 개념들이 어떻게 연결되는지 확인하는 재미를 느껴보세요!

📘 [02. 원과 직선의 위치 관계] 핵심 포인트

원과 직선의 위치 관계를 파악하는 방법은 크게 두 가지입니다. 둘 다 정말 중요해요!

• 판별식 이용하기
  1. 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 x(또는 y)에 대한 이차방정식을 만든다.
  2. 이차방정식의 판별식 $D$의 부호를 조사한다.
  3. $D > 0 \iff$ 서로 다른 두 점에서 만난다. (교점 2개)
  4. $D = 0 \iff$ 한 점에서 만난다 (접한다). (교점 1개)
  5. $D < 0 \iff$ 만나지 않는다. (교점 0개)
• 원의 중심과 직선 사이의 거리 이용하기
  1. 원의 중심과 반지름의 길이 $r$을 구한다.
  2. 원의 중심과 직선 사이의 거리 $d$를 구한다.
  3. $d < r \iff$ 서로 다른 두 점에서 만난다.
  4. $d = r \iff$ 한 점에서 만난다 (접한다).
  5. $d > r \iff$ 만나지 않는다.

✍️ 교과서 문제 풀이

p.36 예제 1

원 $x^2+y^2=4$와 직선 $y=x-2$의 위치 관계를 말하시오.

(교과서에서는 풀이1: 판별식, 풀이2: 중심과 직선 사이의 거리 두 가지 방법을 모두 제시하고 있습니다. 여기서는 풀이 2를 따르겠습니다.)

[풀이 과정]

원의 중심과 직선 사이의 거리 $d$와 반지름 $r$을 비교하는 방법으로 풀어보겠습니다. 이 방법이 계산이 더 간단한 경우가 많아요!

1. 원의 중심과 반지름 구하기
원 $x^2+y^2=4$의 중심은 원점 (0, 0)이고, 반지름 $r = \sqrt{4} = \mathbf{2}$ 입니다.

2. 원의 중심과 직선 사이의 거리 $d$ 구하기
직선 $y=x-2$를 일반형으로 바꾸면 $x-y-2=0$입니다.
중심 (0, 0)과 직선 $x-y-2=0$ 사이의 거리 $d$는,

$d = \frac{|1(0) - 1(0) - 2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

3. $d$와 $r$ 비교하기
$d=\sqrt{2}$ 이고 $r=2$ 입니다. $\sqrt{2} \approx 1.414$ 이므로 $d < r$ 입니다.
거리 $d$가 반지름 $r$보다 짧다는 것은 원의 중심과 직선이 그만큼 가깝다는 뜻이므로, 직선이 원을 뚫고 지나간다는 의미가 되죠.

따라서 원과 직선은 서로 다른 두 점에서 만난다.

p.36 문제 1

다음 원과 직선의 위치 관계를 말하시오.

(1) $x^2+y^2=1$, $y=-2x+3$

(2) $x^2+y^2=8$, $x+y=4$

[풀이 과정]

두 문제 모두 중심과 직선 사이의 거리 d와 반지름 r을 비교하는 방법으로 풀어보겠습니다.

(1) $x^2+y^2=1$과 $y=-2x+3$

원의 중심은 (0,0), 반지름 $r=1$입니다. 직선의 방정식은 $2x+y-3=0$입니다.

$d = \frac{|2(0)+1(0)-3|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$이고, $(\frac{3\sqrt{5}}{5})^2 = \frac{45}{25} = 1.8$ 이므로 $d^2 > 1$ 입니다. 즉, $d>r$ 입니다.
따라서 원과 직선은 만나지 않는다.

(2) $x^2+y^2=8$과 $x+y=4$

원의 중심은 (0,0), 반지름 $r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$입니다. 직선의 방정식은 $x+y-4=0$입니다.

$d = \frac{|1(0)+1(0)-4|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

$d=2\sqrt{2}$ 이고 $r=2\sqrt{2}$ 이므로, $d=r$ 입니다.
따라서 원과 직선은 한 점에서 만난다 (접한다).

p.36 예제 2

원 $x^2+y^2=9$와 직선 $y=x+k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[풀이 과정]

이번에는 판별식을 이용하는 방법으로 풀어볼게요.

1. 두 방정식을 연립하여 이차방정식 만들기
$y=x+k$를 원의 방정식에 대입합니다.

$x^2 + (x+k)^2 = 9$

$x^2 + (x^2+2kx+k^2) = 9$

정리하면, $2x^2+2kx+k^2-9=0$

2. 판별식 $D > 0$ 조건 사용하기
서로 다른 두 점에서 만나려면 위 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식 $D>0$이어야 합니다. 짝수 공식을 사용하면 더 편리해요. ($D/4 > 0$)

$D/4 = (k)^2 - 2(k^2-9)$

$k^2 - 2k^2 + 18 > 0$

$-k^2 + 18 > 0$ 이므로 $k^2 < 18$

3. $k$의 범위 구하기
$k^2 < 18$ 이므로, $-\sqrt{18} < k < \sqrt{18}$ 입니다.

$-3\sqrt{2} < k < 3\sqrt{2}$

p.36 문제 2

원 $x^2+y^2=4$와 직선 $y=2x+k$가 만나지 않도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[풀이 과정]

원의 중심 (0,0)과 직선 $2x-y+k=0$ 사이의 거리 $d$가 반지름 $r=2$보다 커야 합니다. ($d>r$)

$d = \frac{|2(0)-1(0)+k|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$

$d > r$ 이어야 하므로, $\frac{|k|}{\sqrt{5}} > 2$ 입니다.

$|k| > 2\sqrt{5}$

따라서 $k$의 범위는 $\mathbf{k < -2\sqrt{5}}$ 또는 $\mathbf{k > 2\sqrt{5}}$ 입니다.

p.37 문제 3

다음 직선의 방정식을 구하시오.

(1) 원 $x^2+y^2=2$에 접하고 기울기가 -1인 직선

(2) 원 $x^2+y^2=10$에 접하고 직선 $x-2y+1=0$에 수직인 직선

[풀이 과정]

기울기가 주어진 원의 접선의 방정식 공식 $y = mx \pm r\sqrt{m^2+1}$을 활용해 봅시다!

(1) 원 $x^2+y^2=2$에 접하고 기울기가 -1인 직선

여기서 $m=-1$, $r^2=2 \implies r=\sqrt{2}$ 입니다.

$y = (-1) \cdot x \pm \sqrt{2}\sqrt{(-1)^2+1}$

$y = -x \pm \sqrt{2}\sqrt{2}$

$\mathbf{y = -x \pm 2}$

(2) 원 $x^2+y^2=10$에 접하고 직선 $x-2y+1=0$에 수직인 직선

먼저 접선의 기울기를 구해야 해요. 직선 $x-2y+1=0$은 $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$이므로 기울기는 $\frac{1}{2}$입니다. 여기에 수직인 직선의 기울기는 -2입니다.

이제 기울기가 -2이고 원 $x^2+y^2=10$에 접하는 직선을 구하면 됩니다.
$m=-2$, $r=\sqrt{10}$을 공식에 대입합니다.

$y = -2x \pm \sqrt{10}\sqrt{(-2)^2+1}$

$y = -2x \pm \sqrt{10}\sqrt{5}$

$\mathbf{y = -2x \pm 5\sqrt{2}}$

p.38 문제 4

원 $x^2+y^2=9$ 위의 다음 점에서의 접선의 방정식을 구하시오.

(1) $(2, -\sqrt{5})$      (2) $(0, -3)$

[풀이 과정]

원 $x^2+y^2=r^2$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식 공식 $x_1x+y_1y=r^2$을 사용하면 바로 해결됩니다.

(1) 점 $(2, -\sqrt{5})$에서의 접선

$x_1=2, y_1=-\sqrt{5}, r^2=9$ 이므로,

$\mathbf{2x - \sqrt{5}y = 9}$

(2) 점 $(0, -3)$에서의 접선

$x_1=0, y_1=-3, r^2=9$ 이므로,

$0 \cdot x + (-3)y = 9$

$-3y=9$

$\mathbf{y=-3}$

p.39 문제 5

점 $(3, -1)$에서 원 $x^2+y^2=5$에 그은 접선의 방정식을 구하시오.

[풀이 과정]

원 밖의 한 점에서 그은 접선을 구하는 문제입니다. 여러 방법이 있지만, 여기서는 접점의 좌표를 $(x_1, y_1)$로 놓고 푸는 방법을 사용해볼게요.

1. 접선의 방정식 설정하기
접점을 $(x_1, y_1)$이라 하면, 이 점에서의 접선의 방정식은 $x_1x+y_1y=5$ 입니다.

2. 관계식 찾기
이 접선은 점 $(3, -1)$을 지나므로 대입하면, $3x_1 - y_1 = 5 \implies \mathbf{y_1 = 3x_1-5} \quad \cdots ①$

또한 접점 $(x_1, y_1)$은 원 위의 점이므로, $\mathbf{x_1^2 + y_1^2 = 5} \quad \cdots ②$

3. 연립방정식 풀기
①을 ②에 대입하여 접점의 좌표를 구합니다.

$x_1^2 + (3x_1-5)^2 = 5$

$x_1^2 + (9x_1^2 - 30x_1 + 25) = 5$

$10x_1^2 - 30x_1 + 20 = 0$

양변을 10으로 나누면, $x_1^2 - 3x_1 + 2 = 0$

인수분해하면, $(x_1-1)(x_1-2)=0$

따라서 $x_1=1$ 또는 $x_1=2$ 입니다.

• $x_1=1$일 때, ①에서 $y_1 = 3(1)-5 = -2$. 접점: $(1, -2)$
• $x_1=2$일 때, ①에서 $y_1 = 3(2)-5 = 1$. 접점: $(2, 1)$

4. 접선의 방정식 구하기
구한 접점들을 접선의 방정식 $x_1x+y_1y=5$에 대입합니다.

• 접점이 (1, -2)일 때: $1 \cdot x + (-2)y = 5 \implies \mathbf{x-2y=5}$
• 접점이 (2, 1)일 때: $2 \cdot x + 1 \cdot y = 5 \implies \mathbf{2x+y=5}$

따라서 구하는 접선의 방정식은 두 개입니다.

🎉 마무리하며

오늘 우리는 원과 직선이 만나는 관계를 판별식과 거리 공식을 통해 명확하게 판단하는 법을 배웠고, 다양한 조건에서 원의 접선을 구하는 방법까지 익혔습니다. 도형의 문제를 방정식으로 바꾸어 해결하는 해석기하의 매력을 듬뿍 느끼셨나요?

이것으로 '원의 방정식'에 대한 소단원 학습을 마칩니다. 다음 시간에는 이 중단원의 모든 개념을 아우르는 '중단원 마무리 문제'를 함께 풀어보며 실력을 점검하는 시간을 갖겠습니다. 오늘 배운 내용, 특히 두 가지 판별법과 세 가지 접선 공식을 꼭 복습해주세요!

오늘도 정말 수고 많으셨습니다! 다음 시간에 만나요! 안녕! 👋