미래엔 공통수학2 교과서 [직선의 위치 관계] 모든 문제 상세 풀이

 

미래엔 공통수학2 교과서 [I. 도형의 방정식] 1. 평면좌표와 직선의 방정식 - 02. 직선의 위치 관계 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 😊

지난 시간에 선분의 내분점을 배우며 좌표평면과 친해지는 시간을 가졌죠? 오늘은 그 좌표평면 위에 그릴 수 있는 가장 기본적인 도형, 바로 직선에 대해 깊이 파고들어 볼 거예요. 두 직선이 평행한지, 수직으로 만나는지, 아니면 한 점에서 만나는지를 수학적으로 어떻게 판단할 수 있을까요? 바로 '직선의 위치 관계' 단원에서 그 비밀을 풀어볼 거랍니다.

오늘 배울 내용은 앞으로 더 복잡한 도형을 다룰 때 계속해서 사용되는 핵심 개념이니, 눈 크게 뜨고 집중해주세요! 자, 그럼 시작해볼까요?🚀

📘 [02. 직선의 위치 관계] 핵심 포인트

이 단원의 핵심은 두 직선의 위치 관계를 기울기와 y절편으로 판단하는 거예요!

• 한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식: 점 $(x_1, y_1)$을 지나고 기울기가 $m$인 직선은 $y - y_1 = m(x - x_1)$
• 두 직선 $y=mx+n$과 $y=m'x+n'$의 위치 관계
  • 평행: 기울기는 같고, y절편은 다르다. $\implies m=m', n \neq n'$
  • 일치: 기울기와 y절편이 모두 같다. $\implies m=m', n = n'$
  • 한 점에서 만남: 기울기가 다르다. $\implies m \neq m'$
  • 수직: 기울기의 곱이 -1이다. $\implies mm' = -1$

✍️ 교과서 문제 풀이

p.18 생각 열기

오른쪽 그림은 어느 건물에 설치된 에스컬레이터를 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 이때 직선 $l$은 두 점 (0, 3)과 (4, 5)를 지나고, 직선 $m$은 두 점 (0, 1)과 (2, 2)를 지난다.

1. 두 직선 $l$과 $m$의 기울기를 구해 보자.
2. 두 직선 $l$과 $m$이 서로 평행한지 말해 보자.

[풀이 과정]

두 점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$를 지나는 직선의 기울기는 $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (y의 증가량 / x의 증가량)으로 구하는 것, 모두 기억하죠?

1. 두 직선의 기울기 구하기
   - 직선 $l$의 기울기: 두 점 (0, 3)과 (4, 5)를 지나므로, 기울기는 $\frac{5-3}{4-0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
   - 직선 $m$의 기울기: 두 점 (0, 1)과 (2, 2)를 지나므로, 기울기는 $\frac{2-1}{2-0} = \frac{1}{2}$
   두 직선의 기울기는 모두 1/2 입니다.
2. 평행 관계 판단하기
   두 직선의 기울기가 1/2로 서로 같고, y절편은 각각 3과 1로 다르므로 두 직선 $l$과 $m$은 서로 평행합니다.

p.19 문제 1

다음 직선의 방정식을 구하시오.

(1) 점 (3, -4)를 지나고 기울기가 2인 직선

(2) 점 (-1, 5)를 지나고 x축에 평행한 직선

[풀이 과정]

점 $(x_1, y_1)$을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식 공식, $y-y_1 = m(x-x_1)$을 사용해봅시다!

(1) 점 (3, -4)를 지나고 기울기가 2인 직선

주어진 점과 기울기를 공식에 대입하면,

$y - (-4) = 2(x - 3)$

$y + 4 = 2x - 6$

따라서 직선의 방정식은 $y = 2x - 10$ 입니다.

(2) 점 (-1, 5)를 지나고 x축에 평행한 직선

x축에 평행한 직선은 기울기가 0인 직선이에요. 즉, 모든 점의 y좌표가 같다는 뜻이죠!

따라서 점 (-1, 5)를 지나므로 이 직선 위의 모든 점의 y좌표는 5입니다. 구하는 직선의 방정식은 y = 5 입니다.

p.19 예제 1

점 (2, 3)을 지나고 직선 $2x-y+1=0$에 평행한 직선의 방정식을 구하시오.

[풀이 과정]

1. 주어진 직선의 기울기 찾기
   두 직선이 평행하려면 기울기가 같아야 해요. 먼저 직선 $2x-y+1=0$의 기울기를 구해봅시다.
   $2x-y+1=0 \implies y = 2x+1$
   따라서 이 직선의 기울기는 2입니다.
2. 새로운 직선의 방정식 구하기
   우리가 구하려는 직선도 평행하므로 기울기가 2입니다. 그리고 점 (2, 3)을 지나죠.
   공식 $y - y_1 = m(x - x_1)$에 대입하면,
   $y - 3 = 2(x - 2)$
   $y - 3 = 2x - 4$

따라서 구하는 직선의 방정식은 $y = 2x - 1$ 입니다.

p.19 문제 2

점 (-2, -4)를 지나고 다음 직선에 평행한 직선의 방정식을 구하시오.

(1) $y=-2x-1$      (2) $3x-2y+5=0$

[풀이 과정]

예제 1과 같은 방법으로 풀어볼게요.

(1) $y=-2x-1$에 평행한 직선

주어진 직선의 기울기는 -2입니다. 우리가 찾는 직선도 기울기가 -2이고 점 (-2, -4)를 지납니다.

$y - (-4) = -2(x - (-2))$

$y + 4 = -2(x+2)$

$y + 4 = -2x - 4$

$y = -2x - 8$

정답은 $\mathbf{y = -2x - 8}$ 입니다.

(2) $3x-2y+5=0$에 평행한 직선

먼저 기울기를 구해야겠죠? $3x-2y+5=0 \implies 2y = 3x+5 \implies y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$.

기울기는 $\frac{3}{2}$입니다. 기울기가 $\frac{3}{2}$이고 점 (-2, -4)를 지나는 직선을 구하면 됩니다.

$y - (-4) = \frac{3}{2}(x - (-2))$

$y + 4 = \frac{3}{2}(x+2)$

양변에 2를 곱해 정리하면,

$2(y+4) = 3(x+2) \implies 2y+8 = 3x+6$

모든 항을 한쪽으로 이항하면,

$3x-2y-2=0$

정답은 $\mathbf{3x-2y-2=0}$ 입니다.

p.20 생각 열기

좌표평면 위에 세 점 O(0, 0), A(1, 3), B(3, -1)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 AOB가 있다.

1. 삼각형 AOB가 직각삼각형임을 확인해 보자.
2. 두 직선 OA와 OB의 기울기의 곱을 구해 보자.

[풀이 과정]

1. 직각삼각형 확인하기 (피타고라스 정리 이용)
   세 변의 길이의 제곱을 구해봅시다.
   - $\overline{OA}^2 = (1-0)^2 + (3-0)^2 = 1 + 9 = 10$
   - $\overline{OB}^2 = (3-0)^2 + (-1-0)^2 = 9 + 1 = 10$
   - $\overline{AB}^2 = (3-1)^2 + (-1-3)^2 = 2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$
   $\overline{OA}^2 + \overline{OB}^2 = 10 + 10 = 20$ 이므로, $\overline{OA}^2 + \overline{OB}^2 = \overline{AB}^2$가 성립합니다.
   따라서 $\triangle AOB$는 빗변이 AB인 직각삼각형 (∠AOB = 90°)입니다.
2. 기울기의 곱 구하기
   - 직선 OA의 기울기: $\frac{3-0}{1-0} = 3$
   - 직선 OB의 기울기: $\frac{-1-0}{3-0} = -\frac{1}{3}$
   - 두 기울기의 곱: $3 \times (-\frac{1}{3}) = -1$
   두 직선의 기울기의 곱은 -1 입니다.

💡 개념 발견! 여기서 아주 중요한 사실을 발견했어요. 두 직선이 수직으로 만나니 기울기의 곱이 -1이 되었네요! 이것이 바로 두 직선의 수직 조건이랍니다.

p.20 예제 2

점 (4, 1)을 지나고 직선 $x-2y+2=0$에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.

[풀이 과정]

1. 주어진 직선의 기울기 찾기
   $x-2y+2=0 \implies 2y = x+2 \implies y = \frac{1}{2}x+1$
   기울기는 $\frac{1}{2}$입니다.
2. 수직인 직선의 기울기 구하기
   구하려는 직선의 기울기를 $m$이라고 하면, 수직 조건에 의해 $m \times \frac{1}{2} = -1$ 이 되어야 합니다.
   따라서 $m = -2$ 입니다.
3. 직선의 방정식 구하기
   기울기가 -2이고 점 (4, 1)을 지나므로,
   $y-1 = -2(x-4)$
   $y-1 = -2x+8$

구하는 직선의 방정식은 $y = -2x+9$ 입니다.

p.20 문제 3

점 (-2, 2)를 지나고 다음 직선에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.

(1) $y=2x+5$      (2) $2x+3y-4=0$

[풀이 과정]

(1) $y=2x+5$에 수직인 직선

주어진 직선의 기울기는 2입니다. 수직인 직선의 기울기는 $-\frac{1}{2}$이겠죠? ('부호 바꾸고 역수!')

기울기가 $-\frac{1}{2}$이고 점 (-2, 2)를 지나므로,

$y-2 = -\frac{1}{2}(x-(-2))$

$y-2 = -\frac{1}{2}(x+2)$

양변에 2를 곱하면,

$2(y-2) = -(x+2) \implies 2y-4 = -x-2$

$x+2y-2=0$

정답은 $\mathbf{x+2y-2=0}$ 입니다.

(2) $2x+3y-4=0$에 수직인 직선

먼저 기울기를 구하면, $3y = -2x+4 \implies y = -\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$. 기울기는 $-\frac{2}{3}$입니다.

수직인 직선의 기울기는 $\frac{3}{2}$입니다.

기울기가 $\frac{3}{2}$이고 점 (-2, 2)를 지나므로,

$y-2 = \frac{3}{2}(x-(-2))$

$y-2 = \frac{3}{2}(x+2)$

양변에 2를 곱하면,

$2(y-2) = 3(x+2) \implies 2y-4 = 3x+6$

$3x-2y+10=0$

정답은 $\mathbf{3x-2y+10=0}$ 입니다.

p.21 생각 넓히기

두 점 $A(-2, -3)$과 $B(6, 5)$를 이은 선분 AB의 수직이등분선의 방정식을 구하려고 한다. 연서와 유찬이의 방법을 이용하여 각각 구해보고, 결과를 비교해 보자.

연서: 선분 AB의 수직이등분선은 그 선분의 중점을 지나는 수선임을 이용하여 구할 수 있어.

유찬: 선분 AB의 수직이등분선 위의 점에서 두 점 A와 B까지의 거리가 같음을 이용하여 구할 수 있어.

[풀이 과정]

하나의 문제를 두 가지 다른 방법으로 풀어보는 건 수학 실력을 키우는 아주 좋은 방법이에요! 두 학생의 방법을 따라가 봅시다.

연서의 방법: (중점과 수직 기울기 이용)

1. 선분 AB의 중점 M 구하기:
   $M = (\frac{-2+6}{2}, \frac{-3+5}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{2}{2}) = (2, 1)$
2. 선분 AB의 기울기 구하기:
   기울기 = $\frac{5 - (-3)}{6 - (-2)} = \frac{8}{8} = 1$
3. 수직이등분선의 기울기 구하기:
   선분 AB의 기울기가 1이므로, 수직인 직선의 기울기는 -1입니다. ($1 \times (-1) = -1$)
4. 직선의 방정식 구하기:
   기울기가 -1이고 중점 (2, 1)을 지나므로,
   $y - 1 = -1(x - 2) \implies y - 1 = -x + 2 \implies \mathbf{y = -x + 3}$

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유찬의 방법: (거리 공식 이용)

1. 수직이등분선 위의 임의의 점 P(x, y) 설정하기:
   수직이등분선의 정의에 따라, 이 직선 위의 모든 점 P는 A와 B로부터 같은 거리에 있어요. 즉, $\overline{PA} = \overline{PB}$ 이고, $\overline{PA}^2 = \overline{PB}^2$ 입니다.
2. 거리 공식을 이용해 식 세우기:
   $\overline{PA}^2 = (x - (-2))^2 + (y - (-3))^2 = (x+2)^2 + (y+3)^2$
   $\overline{PB}^2 = (x - 6)^2 + (y - 5)^2$
3. 방정식 풀기:
   $(x+2)^2 + (y+3)^2 = (x-6)^2 + (y-5)^2$
   $x^2+4x+4 + y^2+6y+9 = x^2-12x+36 + y^2-10y+25$
   양변의 $x^2$과 $y^2$을 소거하고 정리하면,
   $4x + 6y + 13 = -12x - 10y + 61$
   $16x + 16y = 48$
   양변을 16으로 나누면 $x+y=3$, 즉 $\mathbf{y = -x + 3}$

비교 결과: 두 방법 모두 결과가 $y=-x+3$으로 동일합니다! 어떤 방법을 사용해도 괜찮지만, 보통은 중점과 수직 기울기를 이용하는 연서의 방법이 계산이 조금 더 간단하답니다. 😊

💡 개념 확장 및 연관성

직선의 위치 관계는 기하학의 기본이지만, 더 나아가면 이런 분야와도 연결돼요!

• 벡터 (Vector): 나중에 '기하' 과목에서 벡터를 배우게 되면, 두 직선의 방향을 나타내는 '방향 벡터'를 이용해 위치 관계를 설명할 수 있어요. 두 방향 벡터가 평행하면 직선도 평행하고, 두 방향 벡터의 내적(dot product)이 0이면 두 직선은 수직이랍니다. 훨씬 더 세련된 방법이죠!
• 3차원 공간: 지금은 평면에서만 생각하지만, 3차원 공간으로 확장되면 두 직선은 만나거나, 평행하거나, 혹은 '꼬인 위치'에 있을 수도 있어요. 꼬인 위치는 만나지도 않고 평행하지도 않은 신기한 관계랍니다. 오늘 배운 내용이 3차원 공간 도형을 이해하는 기초가 됩니다.
• 선형대수학 (Linear Algebra): 대학에서 배우는 선형대수학에서는 두 직선의 교점을 '연립 일차 방정식의 해'로 해석해요. 해가 하나면 한 점에서 만나고, 해가 없으면 평행, 해가 무수히 많으면 일치하는 것으로 보죠. 관점의 전환이 재미있지 않나요?

⚠️ 오개념 방지 및 심화 팁

자주 실수하는 부분과 알아두면 좋은 꿀팁!

• 평행 vs 일치: '기울기가 같다'는 조건만 보고 평행하다고 단정하면 안 돼요! y절편까지 확인해서, y절편이 다르면 '평행', y절편까지 같으면 '일치'라는 걸 꼭 구분해야 합니다.
• 수직 조건 $mm'=-1$의 함정: 이 공식은 두 직선의 기울기가 모두 0이 아닐 때만 사용할 수 있어요. 만약 한 직선이 x축에 평행(기울기 0)하고 다른 직선이 y축에 평행(기울기 정의 안 됨)하다면, 두 직선은 분명히 수직이지만 공식을 쓸 수는 없답니다. 이럴 땐 그래프를 상상해보는 게 가장 좋아요.
• 수직 기울기 빨리 구하기: 기울기가 $m$인 직선에 수직인 직선의 기울기는 $-\frac{1}{m}$ 입니다. '부호를 바꾸고 역수를 취한다'고 외워두면 계산이 빨라져요! 예를 들어 기울기 2에 수직이면 $-\frac{1}{2}$, 기울기 $-\frac{2}{3}$에 수직이면 $\frac{3}{2}$가 됩니다.

🎉 마무리하며

오늘은 두 직선의 위치 관계를 기울기를 이용해 판단하는 방법을 배웠습니다. '평행하면 기울기가 같다($m=m'$)', '수직이면 기울기의 곱이 -1이다($mm'=-1$)' 이 두 가지 핵심 조건만 잘 기억하면 대부분의 문제를 해결할 수 있을 거예요.

좌표평면 위에서 점과 선의 관계를 하나씩 정복해나가고 있네요! 다음 시간에는 여기서 한 걸음 더 나아가 '점과 직선 사이의 거리'를 구하는 방법을 배워보겠습니다. 점점 더 흥미진진해지죠?

오늘도 정말 수고 많으셨습니다! 다음 시간에 더 재미있는 내용으로 만나요! 안녕! 👋