미래엔 공통수학2 교과서 [원의 방정식] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학2 교과서 [I. 도형의 방정식] 2. 원의 방정식 - 01. 원의 방정식 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 😊

좌표평면 위의 점과 직선에 대해 마스터한 여러분, 이제 새로운 도형을 만날 시간입니다. 바로 '원'인데요! '한 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합'이라는 원의 정의를 생각해보면, 우리가 1단원에서 배운 '두 점 사이의 거리' 공식이 아주 중요하게 쓰일 거란 예감이 들죠? 맞습니다! 거리 공식을 이용하면 원을 아주 멋진 방정식으로 표현할 수 있답니다. 그럼 원의 방정식의 세계로 함께 떠나볼까요?

📘 [01. 원의 방정식] 핵심 포인트

이 단원에서는 두 가지 형태의 원의 방정식을 자유자재로 다룰 수 있어야 해요!

• 원의 방정식 (표준형): 중심이 $(a, b)$이고 반지름의 길이가 $r$인 원의 방정식은?
  
  $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
• 원의 방정식 (일반형): 표준형을 전개한 형태인 $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ 꼴입니다.
  일반형을 보면 완전제곱식으로 바꾸어 중심과 반지름을 찾아낼 수 있어야 해요!
  중심: $(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})$,  반지름: $\frac{\sqrt{A^2+B^2-4C}}{2}$ (단, $A^2+B^2-4C > 0$)

✍️ 교과서 문제 풀이

p.30 생각 열기

오른쪽 그림은 반지름의 길이가 10인 원 모양의 우리나라 정부 상징 문양을 중심이 원점 O와 일치하도록 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 문양의 가장자리의 한 점을 $P(x, y)$라 할 때, $\overline{OP}=10$을 이용하여 다음 식을 완성해 보자.

$x^2 + y^2 = $ □

[풀이 과정]

원의 정의는 '중심으로부터 같은 거리에 있는 점들의 모임'이죠. 여기서 중심은 원점 O(0, 0)이고, 원 위의 점은 P(x, y)이며, 그 거리가 반지름인 10입니다.

두 점 사이의 거리 공식을 이용하면,

$\overline{OP} = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2+y^2}$

문제에서 $\overline{OP}=10$이라고 했으므로,

$\sqrt{x^2+y^2} = 10$

양변을 제곱하면 우리가 원하는 식을 얻을 수 있습니다.

$x^2+y^2 = 10^2 = 100$

따라서 □ 안에 들어갈 숫자는 100입니다.

p.31 문제 1

다음 원의 방정식을 구하시오.

(1) 중심의 좌표가 $(-3, 0)$이고 반지름의 길이가 2인 원

(2) 중심이 원점이고 점 $(3, -4)$를 지나는 원

[풀이 과정]

원의 방정식 표준형 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ 을 이용해 봅시다.

(1) 중심 (-3, 0), 반지름 2
$a=-3, b=0, r=2$를 대입하면 됩니다.

$(x-(-3))^2 + (y-0)^2 = 2^2$

$(x+3)^2 + y^2 = 4$

(2) 중심 (0, 0), 점 (3, -4)를 지나는 원
중심이 원점이므로 방정식은 $x^2+y^2=r^2$ 꼴입니다. 반지름 $r$을 구해야겠죠?
반지름의 길이는 중심 (0, 0)에서 원 위의 점 (3, -4)까지의 거리와 같아요.

거리의 제곱($r^2$)을 구하면, $r^2 = (3-0)^2 + (-4-0)^2 = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$

따라서 원의 방정식은 $\mathbf{x^2+y^2=25}$ 입니다.

p.31 예제 1

두 점 $A(2, 8)$과 $B(10, 2)$를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식을 구하고, 그 원을 그리시오.

[풀이 과정]

지름의 양 끝 점이 주어졌을 때, 원의 중심은 지름의 중점이고, 반지름은 중심과 한 끝 점 사이의 거리입니다.

1. 원의 중심 구하기 (AB의 중점)

$C = \left(\frac{2+10}{2}, \frac{8+2}{2}\right) = (6, 5)$

2. 반지름 구하기 (중심 C와 점 A 사이의 거리)

$r^2 = (6-2)^2 + (5-8)^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16+9 = 25$

따라서 반지름 $r=5$ 입니다.

3. 원의 방정식 구하기

중심이 (6, 5)이고 반지름이 5이므로, 원의 방정식은 $\mathbf{(x-6)^2+(y-5)^2=25}$ 입니다.

그래프 그리기:

(좌표평면의 한 눈금은 1, 원점은 (20,280)으로 설정)

p.31 문제 2

두 점 $A(-4, 10)$과 $B(8, -6)$을 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식을 구하고, 그 원을 그리시오.

[풀이 과정]

예제 1과 같은 방법으로 풀면 됩니다.

1. 원의 중심 구하기 (AB의 중점)

$C = \left(\frac{-4+8}{2}, \frac{10+(-6)}{2}\right) = (2, 2)$

2. 반지름 구하기 (중심 C와 점 A 사이의 거리)

$r^2 = (2-(-4))^2 + (2-10)^2$

$r^2 = 6^2 + (-8)^2 = 36+64 = 100$

따라서 반지름 $r=10$ 입니다.

3. 원의 방정식 구하기

중심이 (2, 2)이고 반지름이 10이므로, 원의 방정식은 $\mathbf{(x-2)^2+(y-2)^2=100}$ 입니다.

p.32 예제 2

세 점 $A(1, 5), B(2, 4), C(-1, 1)$을 지나는 원의 방정식을 구하시오.

[풀이 과정]

세 점이 주어졌을 때 원의 방정식을 구하는 방법은 두 가지가 있어요.

방법 1: 원의 중심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같다!

원의 중심을 $P(a, b)$라고 하면, 반지름의 길이로 $\overline{PA} = \overline{PB} = \overline{PC}$가 성립합니다. 계산을 편하게 하기 위해 제곱해서 $\overline{PA}^2 = \overline{PB}^2 = \overline{PC}^2$을 이용합시다.

1. $\overline{PA}^2 = \overline{PB}^2$ 식을 세웁니다.

$(a-1)^2 + (b-5)^2 = (a-2)^2 + (b-4)^2$

전개하면, $a^2-2a+1+b^2-10b+25 = a^2-4a+4+b^2-8b+16$

양변의 $a^2, b^2$을 소거하고 정리하면, $2a-2b+6=0$

$\mathbf{a-b+3=0} \quad \cdots ①$

2. $\overline{PB}^2 = \overline{PC}^2$ 식을 세웁니다.

$(a-2)^2 + (b-4)^2 = (a-(-1))^2 + (b-1)^2$

전개하면, $a^2-4a+4+b^2-8b+16 = a^2+2a+1+b^2-2b+1$

정리하면, $-6a-6b+18=0$

$\mathbf{a+b-3=0} \quad \cdots ②$

3. 연립방정식 ①, ②를 풉니다.

①식과 ②식을 더하면, $2a=0 \implies a=0$. 이것을 ②에 대입하면 $b=3$.
따라서 원의 중심은 $(0, 3)$입니다.

4. 반지름을 구합니다.

$r^2 = \overline{PA}^2 = (1-0)^2 + (5-3)^2 = 1^2 + 2^2 = 5$

따라서 구하는 원의 방정식은 $\mathbf{x^2+(y-3)^2=5}$ 입니다.

방법 2: 원의 방정식 일반형 이용하기

원의 방정식을 $x^2+y^2+Ax+By+C=0$으로 놓고 세 점을 각각 대입하여 A, B, C에 대한 연립방정식을 푸는 방법도 있습니다.

p.32 문제 3

세 점 $A(-2, 6), B(-5, -3), C(2, -2)$를 지나는 원의 방정식을 구하시오.

[풀이 과정]

예제 2와 같이 원의 중심을 $P(a, b)$로 놓고 $\overline{PA}^2 = \overline{PB}^2 = \overline{PC}^2$을 이용해 풀어봅시다.

1. $\overline{PA}^2 = \overline{PB}^2$ 에서,

$(a+2)^2+(b-6)^2 = (a+5)^2+(b+3)^2$

$a^2+4a+4+b^2-12b+36 = a^2+10a+25+b^2+6b+9$

$4a-12b+40 = 10a+6b+34$

정리하면 $-6a-18b+6=0$ 이고, 양변을 -6으로 나누면,

$\mathbf{a+3b-1=0} \quad \cdots ①$

2. $\overline{PB}^2 = \overline{PC}^2$ 에서,

$(a+5)^2+(b+3)^2 = (a-2)^2+(b+2)^2$

$a^2+10a+25+b^2+6b+9 = a^2-4a+4+b^2+4b+4$

$10a+6b+34 = -4a+4b+8$

정리하면 $14a+2b+26=0$ 이고, 양변을 2로 나누면,

$\mathbf{7a+b+13=0} \quad \cdots ②$

3. 연립방정식 ①, ②를 풉니다.

②에서 $b=-7a-13$으로 정리한 후, 이 식을 ①에 대입합니다.

$a+3(-7a-13)-1 = 0$

$a-21a-39-1 = 0 \implies -20a=40 \implies a=-2$.

$a=-2$를 $b=-7a-13$에 대입하면 $b = -7(-2)-13 = 14-13=1$.

원의 중심은 (-2, 1)입니다.

4. 반지름을 구합니다.

$r^2 = \overline{PA}^2 = (-2-(-2))^2 + (6-1)^2 = 0^2+5^2 = 25$

따라서 원의 방정식은 $\mathbf{(x+2)^2+(y-1)^2=25}$ 입니다.

p.32 예제 3, 문제 4, 문제 5

[예제 3] 방정식 $x^2+y^2+6x-4y-3=0$이 나타내는 도형을 말하시오.

[문제 4] 다음 방정식이 나타내는 도형을 말하시오.
(1) $x^2+y^2+4x=0$      (2) $x^2+y^2-10x-8y-8=0$

[문제 5] 방정식 $x^2+y^2-2x+6y+k=0$이 나타내는 도형이 원이 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[풀이 과정]

일반형으로 주어진 식을 표준형 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$으로 바꾸려면 '완전제곱식'을 만드는 것이 핵심입니다!

[예제 3] $x^2+y^2+6x-4y-3=0$

$(x^2+6x) + (y^2-4y) = 3$

$(x^2+6x+9) + (y^2-4y+4) = 3+9+4$

$(x+3)^2 + (y-2)^2 = 16 = 4^2$

따라서 중심이 (-3, 2)이고 반지름의 길이가 4인 원입니다.

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[문제 4]
(1) $x^2+y^2+4x=0$

$(x^2+4x) + y^2 = 0$

$(x^2+4x+4) + y^2 = 4$

$(x+2)^2 + y^2 = 2^2$

중심이 (-2, 0)이고 반지름의 길이가 2인 원입니다.

(2) $x^2+y^2-10x-8y-8=0$

$(x^2-10x) + (y^2-8y) = 8$

$(x^2-10x+25) + (y^2-8y+16) = 8+25+16$

$(x-5)^2 + (y-4)^2 = 49 = 7^2$

중심이 (5, 4)이고 반지름의 길이가 7인 원입니다.

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[문제 5] $x^2+y^2-2x+6y+k=0$이 원이 될 조건
먼저 표준형으로 바꿉니다.
$(x^2-2x) + (y^2+6y) = -k$
$(x^2-2x+1) + (y^2+6y+9) = -k+1+9$

$(x-1)^2 + (y+3)^2 = 10-k$

이 식이 원이 되려면 반지름의 제곱에 해당하는 우변의 값이 0보다 커야 합니다.

$10-k > 0$

$\mathbf{k < 10}$

p.33 생각 넓히기

두 점 $A(2, 2)$와 $B(6, -4)$를 지름의 양 끝 점으로 하는 원 위에 점 $C(7, 1)$이 있는지를 확인하는 세 학생의 방법을 확인해 보자.

[풀이 과정]

하나의 문제를 세 가지 방법으로 접근하는 멋진 문제네요! 어떤 방법이 가장 효율적일지 생각하며 풀어봅시다.

방법 1: 원의 방정식을 구하여 대입하기

원의 중심은 AB의 중점이므로 $(\frac{2+6}{2}, \frac{2-4}{2}) = (4, -1)$.
반지름의 제곱 $r^2$은 중심과 점 A 사이 거리의 제곱이므로 $r^2 = (4-2)^2 + (-1-2)^2 = 2^2 + (-3)^2 = 13$.
원의 방정식은 $(x-4)^2 + (y+1)^2 = 13$ 입니다.
점 C(7, 1)을 대입하면, $(7-4)^2 + (1+1)^2 = 3^2 + 2^2 = 9+4 = 13$.
등식이 성립하므로 점 C는 원 위에 있습니다.

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방법 2: 지름의 원주각이 90°임을 이용하기

선분 AB가 지름이므로, 원 위의 어떤 점 C에 대해서도 $\angle ACB = 90^\circ$ 여야 합니다. 즉, 직선 AC와 직선 BC는 서로 수직이어야 합니다.
직선 AC의 기울기: $\frac{1-2}{7-2} = -\frac{1}{5}$
직선 BC의 기울기: $\frac{1-(-4)}{7-6} = \frac{5}{1} = 5$
두 기울기의 곱: $(-\frac{1}{5}) \times 5 = -1$.
기울기의 곱이 -1이므로 두 직선은 수직입니다. 따라서 점 C는 원 위에 있습니다.

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방법 3: 피타고라스 정리 이용하기

$\angle ACB=90^\circ$인 직각삼각형이라면 $\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 = \overline{AB}^2$가 성립해야 합니다.
$\overline{AC}^2 = (7-2)^2 + (1-2)^2 = 5^2 + (-1)^2 = 26$.
$\overline{BC}^2 = (7-6)^2 + (1-(-4))^2 = 1^2 + 5^2 = 26$.
$\overline{AB}^2 = (6-2)^2 + (-4-2)^2 = 4^2 + (-6)^2 = 16+36 = 52$.
$\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 = 26 + 26 = 52$ 이므로, 피타고라스 정리가 성립합니다. 따라서 점 C는 원 위에 있습니다.

💡 개념 확장 및 연관성

원의 방정식은 다른 수학 분야, 과학 기술과 어떻게 연결될까요?

• 원뿔 곡선 (Conic Sections): 원은 원뿔을 밑면에 평행하게 잘랐을 때 나오는 단면이에요. 원뿔을 어떻게 자르냐에 따라 타원, 포물선, 쌍곡선 같은 다른 멋진 곡선들도 만들어진답니다. 이들은 모두 행성의 궤도, 안테나 설계 등에 사용되는 중요한 도형이에요.
• 3차원 공간의 구: 원의 방정식을 3차원으로 확장하면 '구의 방정식'이 됩니다. 중심이 $(a, b, c)$이고 반지름이 $r$인 구의 방정식은 $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$로, 원의 방정식과 아주 비슷하죠?
• 매개변수 방정식: 원은 삼각함수를 이용해서 $x = r\cos\theta, y=r\sin\theta$ 와 같이 표현할 수도 있어요. 시간에 따른 원운동을 나타내는 등 물리학이나 공학에서 매우 유용하게 쓰인답니다.

⚠️ 오개념 방지 및 심화 팁

자주 실수하는 부분과 알아두면 좋은 꿀팁!

• $r$과 $r^2$을 혼동하지 말자!
  원의 방정식 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ 에서 우변은 반지름이 아니라 반지름의 제곱이라는 점! 정말 자주 하는 실수이니 꼭 기억하세요. 반지름이 3이면 우변은 9가 됩니다.
• 중심 좌표의 부호는 반대!
  방정식 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$의 중심은 $(a,b)$입니다. 괄호 안의 부호와 반대라고 생각하면 쉬워요. $(x+3)^2+(y-1)^2=4$의 중심은 $(-3, 1)$이겠죠?
• 세 점을 지나는 원, 어떻게 풀까?
  예제 2처럼 세 점이 주어지면, 일반형 $x^2+y^2+Ax+By+C=0$에 세 점을 모두 대입해서 A, B, C에 대한 연립방정식을 푸는 것이 보통 더 계산이 편할 때가 많아요. 두 가지 방법을 모두 알아두고 문제에 따라 유연하게 사용해보세요!

🎉 마무리하며

오늘은 원을 방정식으로 표현하는 방법을 배웠습니다. 중심과 반지름만 알면 원의 방정식을 세울 수 있고, 반대로 방정식만 보고도 원의 중심과 반지름을 알아낼 수 있게 되었어요! 1단원에서 배운 거리, 중점 공식이 어떻게 활용되는지 직접 확인하니 더욱 재미있었죠?

이제 우리는 좌표평면 위에 직선뿐만 아니라 원도 그릴 수 있게 되었습니다. 다음 시간에는 이 둘을 한 평면에 같이 그려놓고, '원과 직선은 과연 어떤 관계를 맺을까?'에 대해 탐구해볼 거예요. 점과 직선 사이의 거리 공식이 다시 한번 활약할 예정이니 기대해주세요!

오늘도 정말 수고 많으셨습니다! 다음 시간에 만나요! 안녕! 👋