미래엔 공통수학1 교과서 [이차방정식과 이차함수] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학 교과서 [이차방정식과 이차함수] 모든 문제 상세 풀이 (p.64-67)

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 오늘은 고1 수학의 아주 중요한 다리 역할을 하는 단원, '이차방정식과 이차함수'의 관계에 대해 깊이 파고들어 볼 거예요. 중학교 때 각각 배웠던 두 개념이 사실은 얼마나 긴밀하게 연결되어 있는지, 그 관계를 이해하면 문제가 얼마나 쉽게 풀리는지 경험하게 될 겁니다. 미래엔 공통수학 교과서 64페이지부터 67페이지까지, 함께 정복해봅시다!

[이차방정식과 이차함수] 핵심 포인트 짚고 가기

본격적인 문제 풀이에 앞서, 이 단원의 핵심 아이디어를 정리해볼까요?

• 이차함수와 x축의 교점 = 이차방정식의 실근: 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는, 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 실근과 정확히 일치해요. x축은 y=0인 직선이니까요!
• 판별식($D$)으로 위치 관계 파악하기: 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 판별식 $D = b^2 - 4ac$의 부호는 함수 그래프와 x축의 위치 관계를 알려주는 비밀 코드랍니다.
  • $D > 0$ ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만난다.
  • $D = 0$ ⇔ 중근 (하나의 실근) ⇔ 그래프가 x축에 한 점에서 접한다.
  • $D < 0$ ⇔ 서로 다른 두 허근 (실근 없음) ⇔ 그래프가 x축과 만나지 않는다 (공중에 떠 있거나, 아래로 가라앉아 있다).
• 이차함수와 직선의 위치 관계: 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$와 직선 $y = mx + n$의 위치 관계도 마찬가지예요. 두 식을 같다고 놓고 한쪽으로 이항하여 만든 새로운 이차방정식 $ax^2 + (b-m)x + (c-n) = 0$의 판별식 D를 사용하면 됩니다!

교과서 문제 풀이 (p.65 ~ p.67)

p. 65, 문제 1

다음 이차함수의 그래프와 x축이 만나는 점의 x좌표를 구하시오.

(1) $y=x^{2}-2x-3$

(2) $y=-x^{2}+6x-9$

💡 상세 풀이

함수 그래프와 x축이 만나는 점은 y좌표가 0인 점이에요. 따라서 주어진 함수식에 $y=0$을 대입하여 이차방정식을 풀면 됩니다.

(1) $y=x^{2}-2x-3$

$y=0$을 대입하면 이차방정식 $x^{2}-2x-3=0$을 얻습니다. 이 방정식을 인수분해하여 풀면,

$$(x-3)(x+1) = 0$$

따라서 x축과 만나는 점의 x좌표는 $x=-1$ 또는 $x=3$ 입니다.

(2) $y=-x^{2}+6x-9$

$y=0$을 대입하면 $-x^{2}+6x-9=0$ 입니다. 양변에 -1을 곱하여 계산을 편리하게 만들면,

$$x^{2}-6x+9=0$$

이 식은 완전제곱식으로 인수분해되네요.

$$(x-3)^2 = 0$$

따라서 x축과 만나는 점의 x좌표는 중근인 $x=3$ 입니다. 이 경우는 그래프가 x축에 접하는 상황이죠!

p. 65, 문제 2

다음 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계를 말하시오.

(1) $y=x^{2}+4x+2$

(2) $y=-3x^{2}+x+1$

(3) $y=-x^{2}+2x-1$

(4) $y=2x^{2}-3x+2$

💡 상세 풀이

이차함수 그래프와 x축의 위치 관계는 판별식 $D=b^2-4ac$의 부호로 판단할 수 있습니다.

(1) $y=x^{2}+4x+2$

이차방정식 $x^{2}+4x+2=0$의 판별식을 계산합니다. ($a=1, b=4, c=2$)

$$D = 4^2 - 4(1)(2) = 16 - 8 = 8 > 0$$

$D>0$이므로, 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

(2) $y=-3x^{2}+x+1$

이차방정식 $-3x^{2}+x+1=0$의 판별식을 계산합니다. ($a=-3, b=1, c=1$)

$$D = 1^2 - 4(-3)(1) = 1 + 12 = 13 > 0$$

$D>0$이므로, 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

(3) $y=-x^{2}+2x-1$

이차방정식 $-x^{2}+2x-1=0$의 판별식을 계산합니다. ($a=-1, b=2, c=-1$)

계산의 편의를 위해 양변에 -1을 곱한 $x^2-2x+1=0$으로 판별식을 계산해도 결과는 같습니다. 여기서는 짝수 공식을 이용해볼까요? $D/4 = (b')^2 - ac$

$$D/4 = (-1)^2 - (1)(1) = 0$$

$D=0$이므로, 그래프는 x축에 한 점에서 만난다 (접한다).

(4) $y=2x^{2}-3x+2$

이차방정식 $2x^{2}-3x+2=0$의 판별식을 계산합니다. ($a=2, b=-3, c=2$)

$$D = (-3)^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7 < 0$$

$D<0$이므로, 그래프는 x축과 만나지 않는다.

p. 65, 예제 1

이차함수 $y=x^{2}−8x+k$의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구하시오.

💡 상세 풀이

그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나려면, 이차방정식 $x^{2}−8x+k=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다. 즉, 판별식 $D > 0$ 이어야 합니다.

여기서는 x의 계수가 짝수(-8)이므로, 짝수 판별식 $D/4$를 사용하면 계산이 더 간편해요!

$$D/4 = (b')^2 - ac = (-4)^2 - (1)(k) > 0$$

부등식을 풀면,

$$16 - k > 0$$ $$16 > k$$

따라서 구하는 k의 값의 범위는 $k < 16$ 입니다.

p. 65, 문제 3

이차함수 $y=-2x^{2}+x-k$의 그래프와 x축의 위치 관계가 다음과 같도록 하는 실수 k의 값 또는 범위를 구하시오.

(1) 서로 다른 두 점에서 만난다.

(2) 접한다.

(3) 만나지 않는다.

💡 상세 풀이

먼저 이차방정식 $-2x^{2}+x-k=0$의 판별식 D를 계산해 놓으면 편리합니다. ($a=-2, b=1, c=-k$)

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-2)(-k) = 1 - 8k$$

이제 각 조건에 맞게 D의 범위를 설정하여 k를 구하면 됩니다.

(1) 서로 다른 두 점에서 만난다. ($D > 0$)

$$1 - 8k > 0 \implies 1 > 8k \implies k < \frac{1}{8}$$

정답은 $k < \frac{1}{8}$ 입니다.

(2) 접한다. ($D = 0$)

$$1 - 8k = 0 \implies 1 = 8k \implies k = \frac{1}{8}$$

정답은 $k = \frac{1}{8}$ 입니다.

(3) 만나지 않는다. ($D < 0$)

$$1 - 8k < 0 \implies 1 < 8k \implies k > \frac{1}{8}$$

정답은 $k > \frac{1}{8}$ 입니다.

p. 67, 문제 4

이차함수 $y=-x^2+5x+1$의 그래프와 다음 직선의 위치 관계를 말하시오.

(1) $y=-x+3$

(2) $y=x+5$

(3) $y=3x+4$

💡 상세 풀이

이차함수와 직선의 위치 관계는 두 식을 연립하여 만든 새로운 이차방정식의 판별식으로 알 수 있습니다.

(1) $y=-x^2+5x+1$과 $y=-x+3$

두 식을 같다고 놓고 정리합니다.

$$-x^2+5x+1 = -x+3$$ $$0 = x^2 - 6x + 2$$

판별식 $D/4$를 계산합니다.

$$D/4 = (-3)^2 - (1)(2) = 9 - 2 = 7 > 0$$

$D>0$이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.

(2) $y=-x^2+5x+1$과 $y=x+5$

두 식을 같다고 놓고 정리합니다.

$$-x^2+5x+1 = x+5$$ $$0 = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$$

판별식 $D/4$를 계산합니다.

$$D/4 = (-2)^2 - (1)(4) = 4 - 4 = 0$$

$D=0$이므로 한 점에서 만난다 (접한다).

(3) $y=-x^2+5x+1$과 $y=3x+4$

두 식을 같다고 놓고 정리합니다.

$$-x^2+5x+1 = 3x+4$$ $$0 = x^2 - 2x + 3$$

판별식 $D/4$를 계산합니다.

$$D/4 = (-1)^2 - (1)(3) = 1 - 3 = -2 < 0$$

$D<0$이므로 만나지 않는다.

p. 67, 예제 2

이차함수 $y=2x^{2}+x-a$의 그래프와 직선 $y=3x-2$가 만나지 않도록 하는 실수 a의 값의 범위를 구하시오.

💡 상세 풀이

두 그래프가 만나지 않으려면, 두 식을 연립하여 만든 이차방정식이 실근을 갖지 않아야 합니다. 즉, 판별식 $D < 0$이어야 합니다.

먼저 두 식을 연립하여 정리합니다.

$$2x^2+x-a = 3x-2$$ $$2x^2-2x-a+2 = 0$$

이제 이 이차방정식의 판별식 $D/4$가 0보다 작다고 놓고 부등식을 풉니다.

$$D/4 = (-1)^2 - (2)(-a+2) < 0$$ $$1 - (-2a+4) < 0$$ $$1 + 2a - 4 < 0$$ $$2a - 3 < 0$$ $$2a < 3$$ $$a < \frac{3}{2}$$

따라서 구하는 a의 값의 범위는 $a < \frac{3}{2}$ 입니다.

p. 67, 문제 5

이차함수 $y=x^{2}+ax-1$의 그래프와 직선 $y=x-5$가 한 점에서 만나도록 하는 실수 a의 값을 모두 구하시오.

💡 상세 풀이

두 그래프가 한 점에서 만나려면(접하려면), 연립하여 만든 이차방정식의 판별식이 $D=0$이어야 합니다.

두 식을 연립하여 정리합니다.

$$x^2+ax-1 = x-5$$ $$x^2 + (a-1)x + 4 = 0$$

이 이차방정식의 판별식 D가 0이 되도록 하는 a의 값을 구합니다.

$$D = (a-1)^2 - 4(1)(4) = 0$$ $$(a-1)^2 - 16 = 0$$ $$(a-1)^2 = 16$$

$a-1$은 16의 제곱근이므로 $a-1 = 4$ 또는 $a-1 = -4$ 입니다.

$$a = 5 \quad \text{또는} \quad a = -3$$

따라서 구하는 실수 a의 값은 -3, 5 입니다.

p. 67, 생각 넓히기

어느 배구 선수가 높이가 2.4m인 네트를 넘기기 위해 공을 쳤을 때, 공이 이동한 수평 거리 x m와 지면으로부터의 공의 높이 y m 사이에 $y = -\frac{1}{10}x^2+x+2$인 관계가 성립한다고 한다. (단, 공의 크기는 생각하지 않는다.)

활동 1: 위의 이차함수의 그래프와 직선 $y=2.4$의 위치 관계를 말해 보자.

활동 2: 네트에서 9m 떨어진 위치에서 이 선수가 친 공이 네트를 넘을 수 있는지 말해 보자.

💡 상세 풀이

활동 1: 위치 관계 파악하기

공의 경로를 나타내는 이차함수와 네트 높이를 나타내는 직선의 위치 관계를 알아보기 위해 두 식을 연립합니다.

$$-\frac{1}{10}x^2+x+2 = 2.4$$

양변에 -10을 곱하여 정리해볼까요?

$$x^2-10x-20 = -24$$ $$x^2-10x+4 = 0$$

이 이차방정식의 판별식 $D/4$를 계산합니다.

$$D/4 = (-5)^2 - (1)(4) = 25 - 4 = 21 > 0$$

$D>0$이므로, 공의 경로는 네트 높이와 서로 다른 두 점에서 만난다. 즉, 공이 올라가면서 한 번, 내려오면서 한 번 네트 높이를 통과한다는 의미입니다.

활동 2: 네트 통과 여부 확인하기

네트의 위치는 문제에서 정확히 주어지지 않았지만, '네트에서 9m 떨어진 위치'라는 표현은 공을 친 지점으로부터 수평 거리가 9m인 지점을 의미하는 것으로 해석할 수 있습니다. 즉, $x=9$일 때 공의 높이를 확인하면 됩니다.

주어진 함수에 $x=9$를 대입합니다.

$$y = -\frac{1}{10}(9)^2 + 9 + 2 = -\frac{81}{10} + 11 = -8.1 + 11 = 2.9$$

$x=9$일 때 공의 높이는 2.9m입니다. 이는 네트 높이 2.4m보다 높습니다.

따라서, 이 선수가 친 공은 네트를 넘을 수 있다.

개념 확장 및 연관성

오늘 배운 이차방정식의 판별식과 이차함수 그래프의 관계는 정말 중요해요. 이 아이디어는 고등학교 수학 전반에 걸쳐 계속해서 확장됩니다.

• 원의 방정식: 원과 직선이 만나는 점의 개수를 구할 때도 연립하여 만든 이차방정식의 판별식을 사용하게 됩니다.
• 미분: 수학II에서 배우는 미분을 이용하면 곡선에 접하는 '접선'의 방정식을 구하는데, '접한다'는 것은 판별식 $D=0$과 깊은 관련이 있답니다.
• 다양한 함수: 이 원리는 비단 이차함수뿐만 아니라 다른 복잡한 함수의 그래프와 직선의 교점 개수를 추론하는 데 기본적인 사고의 틀을 제공합니다.

오개념 방지 및 심화 팁

자주 하는 실수와 실력을 높이는 팁을 알려드릴게요!

• 부호 실수 조심: 판별식 $D=b^2-4ac$를 계산할 때, a, b, c의 부호를 잘못 대입해서 틀리는 경우가 많아요. 특히 음수일 때 조심하세요!
• 짝수 판별식 활용: x의 계수 b가 짝수일 때는 $D/4=(b/2)^2-ac$ 공식을 적극적으로 활용하세요. 숫자가 작아져서 계산이 훨씬 빠르고 정확해집니다.
• 그래프 그려보기: 문제가 잘 이해되지 않을 때는 이차함수와 직선의 그래프를 대략적으로라도 그려보세요. 문제 상황을 시각적으로 이해하면 어떤 판별식을 써야 할지 명확해질 때가 많습니다.

마무리하며

오늘은 이차방정식과 이차함수가 '판별식'이라는 열쇠로 어떻게 연결되는지 확인해보았습니다. 방정식의 해가 그래프의 교점으로, 판별식의 부호가 위치 관계로 해석되는 마법 같은 순간을 경험하셨기를 바랍니다. 이 관계를 잘 이해해두면 앞으로의 함수 공부가 훨씬 수월해질 거예요.

다음 시간에는 오늘 배운 내용을 바탕으로 '이차함수의 최대, 최소'를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 특정 범위에서 가장 높은 값과 낮은 값을 찾는 문제들은 실생활에서도 아주 유용하게 쓰인답니다. 오늘 내용 꼭 복습하시고, 다음 시간에 만나요!