[고1 수학] 점과 직선 사이의 거리 완벽 정리: 공식부터 증명, 활용까지!

[고1 수학] 점과 직선 사이의 거리 완벽 정리: 공식부터 증명, 활용까지!

시작하며

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 오늘은 고1 수학, '도형의 방정식' 단원에서 정말 중요한 개념 중 하나인 점과 직선 사이의 거리에 대해 깊이 파고들어 볼 거예요. 우리가 좌표평면 위에서 점과 직선을 다루는 법을 배웠으니, 이제 그들 사이의 '거리'를 구하는 건 어찌 보면 당연한 수순이겠죠?

'거리'라고 하면 막연히 어렵게 느껴질 수 있지만, 사실은 '가장 짧은 경로'를 찾는 문제랍니다. 예를 들어, 넓은 운동장 한가운데 서 있는 내가 운동장 가장자리의 직선 라인까지 갈 때 가장 빠른 길은 라인을 향해 수직으로, 즉 곧장 걸어가는 길이겠죠? 점과 직선 사이의 거리도 이와 같아요. 점에서 직선에 수선을 내렸을 때, 그 점에서 수선의 발까지의 거리가 바로 우리가 구하려는 '점과 직선 사이의 거리'가 되는 거랍니다.

오늘 배울 공식은 앞으로 원의 방정식을 다룰 때 원과 직선의 위치 관계를 파악하는 등 정말 다양하게 활용되니, 오늘 확실하게 개념을 잡고 넘어갑시다!

1. 점과 직선 사이의 거리 공식, 이것만 알면 끝!

가장 먼저, 오늘의 주인공인 공식을 만나봐야겠죠? 점과 직선 사이의 거리를 구하는 공식은 생각보다 간단해요. 이 공식 하나만 제대로 외워두면 정말 많은 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다.

점과 직선 사이의 거리 공식

좌표평면 위의 한 점 $P(x_1, y_1)$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 다음과 같습니다.

$$ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

[심화 팁!] 특히, 원점(0, 0)과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리는 $x_1=0, y_1=0$을 대입하면 되므로 더 간단해져요.

$$ d = \frac{|a(0) + b(0) + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

공식의 형태를 잘 보세요! 분자는 직선의 방정식에 점의 좌표를 대입한 값에 절댓값을 씌운 것이고, 분모는 직선의 방정식에서 $x$와 $y$의 계수를 각각 제곱해서 더한 값에 루트를 씌운 형태죠. 구조를 생각하며 외우면 훨씬 기억하기 쉬울 거예요.

예시 문제 1) 점 $(3, 5)$와 직선 $4x - 3y - 12 = 0$ 사이의 거리를 구해볼까요?

풀이) 공식에 그대로 대입하면 됩니다. 점 $(x_1, y_1) = (3, 5)$이고, 직선의 계수는 $a=4, b=-3, c=-12$이죠.

$$ d = \frac{|4(3) - 3(5) - 12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 - 15 - 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-15|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3 $$

따라서 거리는 3이 됩니다. 정말 간단하죠?

2. 공식, 그냥 외우지 말고 증명하며 이해하기!

"선생님, 공식은 알겠는데 왜 이렇게 되는 거죠?" 좋은 질문이에요! 공식이 왜 그렇게 만들어졌는지 그 원리를 이해하면, 공식을 까먹더라도 유도해서 풀 수 있고, 더 어려운 심화 문제에도 응용할 수 있는 힘이 생긴답니다. 조금 복잡해 보일 수 있지만, 차근차근 따라와 보세요.

우리의 목표는 점 $P(x_1, y_1)$에서 직선 $l: ax+by+c=0$에 내린 수선의 발을 $H(x_2, y_2)$라고 할 때, 선분 PH의 길이를 구하는 것입니다.

• 1단계: 기울기 조건 활용하기
  직선 $l$의 기울기는 $-\frac{a}{b}$입니다. 우리가 구하려는 선분 PH는 직선 $l$과 수직이므로, 직선 PH의 기울기는 $\frac{b}{a}$가 되어야 하죠. (두 직선의 기울기의 곱이 -1인 것을 이용!)
  따라서 직선 PH의 기울기는 $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{b}{a}$ 입니다.


• 2단계: 수선의 발 H의 조건 활용하기
  점 $H(x_2, y_2)$는 직선 $l$ 위의 점이므로, $ax_2 + by_2 + c = 0$을 만족합니다.


• 3단계: 두 점 사이의 거리 공식으로 마무리!
  1단계와 2단계에서 얻은 두 식을 연립하여 $x_2 - x_1$과 $y_2 - y_1$을 $a, b, c, x_1, y_1$에 대한 식으로 표현하고, 이를 두 점 사이의 거리 공식 $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$에 대입하여 정리하면... 짜잔! 우리가 외웠던 공식이 그대로 나온답니다.
  $$ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$
  증명 과정 전체를 외울 필요는 없지만, '수직 조건'과 '직선 위의 점 조건'을 이용해서 유도했다는 큰 흐름을 기억해두는 것이 중요해요!

3. 단계별 문제 해결 전략

유형 1) 평행한 두 직선 사이의 거리

공식은 '점'과 '직선' 사이의 거리인데, '직선'과 '직선' 사이의 거리는 어떻게 구할까요? 두 직선이 평행할 때, 두 직선 사이의 거리는 어느 점에서 재든 항상 일정합니다. 따라서 가장 계산하기 편한 점 하나를 한 직선 위에서 아무거나 잡은 뒤, 그 점과 다른 직선 사이의 거리를 구하면 된답니다.

예시 문제 2) 평행한 두 직선 $x+2y+1=0$과 $x+2y+6=0$ 사이의 거리를 구해봅시다.

풀이)

1. Step 1: 둘 중 하나의 직선 위에서 계산하기 쉬운 점을 찾습니다. 직선 $x+2y+1=0$ 위의 점을 찾아볼까요? $x=-1$을 대입하면 $y=0$이므로, 점 $(-1, 0)$은 이 직선 위의 점입니다.


2. Step 2: 이제 점 $(-1, 0)$과 다른 직선 $x+2y+6=0$ 사이의 거리를 구합니다.


3. Step 3: 공식을 적용합니다.
   $$ d = \frac{|1(-1) + 2(0) + 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-1 + 0 + 6|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|5|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} $$

따라서 두 평행한 직선 사이의 거리는 $\sqrt{5}$ 입니다.

유형 2) 거리 정보를 이용해 직선의 방정식 구하기

거꾸로 거리 정보를 이용해서 미지의 직선을 찾아내는 문제도 자주 출제됩니다.

예시 문제 3) 직선 $x-3y+2=0$에 평행하고 원점으로부터의 거리가 $\sqrt{10}$인 직선의 방정식을 모두 구해봅시다.

풀이)

1. Step 1: 구하려는 직선은 $x-3y+2=0$에 평행하므로 기울기가 같습니다. 이 직선의 기울기는 $\frac{1}{3}$이므로, 구하는 직선의 방정식을 $y = \frac{1}{3}x + k$ 또는 $x - 3y + 3k = 0$ 으로 놓을 수 있습니다.


2. Step 2: 이 직선과 원점 $(0, 0)$ 사이의 거리가 $\sqrt{10}$이라는 조건을 이용해 공식을 씁니다.


3. Step 3: 방정식을 풉니다.
   $$ d = \frac{|1(0) - 3(0) + 3k|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|3k|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} $$
   $|3k| = 10$, 따라서 $3k = 10$ 또는 $3k = -10$ 입니다.
   그러므로 $k = \frac{10}{3}$ 또는 $k = -\frac{10}{3}$ 입니다.


4. Step 4: 구한 k값을 Step 1의 식에 대입하여 직선의 방정식을 완성합니다.
   $$ x - 3y + 10 = 0 \quad \text{또는} \quad x - 3y - 10 = 0 $$

이렇게 두 개의 직선을 찾을 수 있습니다.

4. 개념 확장 및 연관성 - 삼각형의 넓이 구하기

점과 직선 사이의 거리 공식은 삼각형의 넓이를 구하는 데에도 아주 유용하게 쓰여요. 삼각형의 세 꼭짓점의 좌표를 알 때, 한 변을 밑변으로 잡고, 그 밑변을 포함하는 직선과 나머지 한 꼭짓점 사이의 거리를 높이로 구하면 넓이를 계산할 수 있죠.

예를 들어, 세 꼭짓점이 $O(0,0)$, $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$인 삼각형 OAB의 넓이를 구해볼까요?

• 밑변의 길이: 두 점 A, B 사이의 거리인 $\overline{AB} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
• 높이: 원점 O에서 직선 AB까지의 거리. 직선 AB의 방정식은 $(y_2 - y_1)x - (x_2 - x_1)y - x_1y_2 + x_2y_1 = 0$ 이므로, 원점과의 거리는 $\frac{|-x_1y_2 + x_2y_1|}{\sqrt{(y_2 - y_1)^2 + (-(x_2 - x_1))^2}}$
• 넓이 S: $\frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이})$를 계산하면 놀랍게도 다음과 같은 간단한 공식이 나옵니다.
  $$ S = \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1| $$
  이 공식은 세 점 중 한 점이 원점일 때 사용하는 매우 편리한 공식이니, '신발끈 공식'과 함께 알아두면 문제 풀이 시간을 단축하는 데 큰 도움이 될 거예요!

마무리하며

오늘은 점과 직선 사이의 거리 공식을 배우고, 그 공식이 어떻게 유도되었는지, 그리고 평행한 두 직선 사이의 거리나 삼각형의 넓이를 구하는 데 어떻게 활용되는지까지 살펴보았습니다. 공식 자체는 간단하지만 그 안에 담긴 수학적 원리는 결코 가볍지 않죠.

가장 중요한 것은 공식을 적용하기 전에 직선의 방정식을 항상 $ax+by+c=0$ 꼴로 정리하는 습관을 들이는 것입니다. 이 점만 주의한다면 앞으로 점과 직선 사이의 거리를 구하는 문제는 자신 있게 해결할 수 있을 거예요.

다음 시간에는 오늘 배운 내용을 바탕으로 '원의 방정식'과 직선의 위치 관계를 탐구해볼 테니, 오늘 배운 내용 꼭 복습해두길 바랍니다. 오늘도 수고 많으셨습니다!