[고1 수학] 평행이동 개념 완벽 정리: 점과 도형의 이동, 이것만 알면 끝!

[고1 수학] 평행이동 개념 완벽 정리: 점과 도형의 이동, 이것만 알면 끝!

시작하며

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다. 오늘 우리는 '도형의 방정식' 단원에서 아주 중요한 개념인 평행이동에 대해 배워볼 거예요. 평행이동은 어떤 도형의 모양과 크기는 그대로 유지한 채, 위치만 특정 방향으로 일정 거리만큼 옮기는 것을 말합니다. 마치 장기판에서 장기알을 옮기거나, 게임 캐릭터를 상하좌우로 움직이는 것과 같죠.

"선생님, 점을 평행이동할 때랑, 도형을 평행이동할 때랑 공식 부호가 반대라서 헷갈려요!" 하는 친구들이 정말 많아요. 하지만 걱정 마세요! 오늘 수업을 통해 왜 그런 차이가 생기는지, 그 근본적인 원리를 이해하게 될 거예요. 점의 이동과 도형의 이동이 사실은 하나의 논리로 연결되어 있다는 것을 깨닫게 되면, 평행이동은 더 이상 어려운 개념이 아닐 겁니다. 그럼, 지금부터 그 원리를 파헤치러 가볼까요?

1. 가장 기본! 점의 평행이동

먼저 가장 간단한 점의 평행이동부터 시작해 볼게요. 좌표평면 위의 한 점을 옮기는 것은 아주 직관적입니다.

예를 들어, 좌표평면 위에 있는 점 P(1, 2)를 생각해봅시다. 이 점을 $x$축 방향으로 $+3$만큼, $y$축 방향으로 $+1$만큼 옮기면 어떻게 될까요?
$x$좌표는 $1$에서 $3$만큼 커져서 $1+3=4$가 되고,
$y$좌표는 $2$에서 $1$만큼 커져서 $2+1=3$이 되겠죠?
그래서 이동한 점의 좌표는 $(4, 3)$이 됩니다. 정말 간단하죠?

🎯 점의 평행이동 핵심 정리

점 P$(x, y)$를 $x$축의 방향으로 $\boldsymbol{a}$만큼, $y$축의 방향으로 $\boldsymbol{b}$만큼 평행이동한 점 P'의 좌표는 다음과 같습니다.

$$ P'(x+a, y+b) $$

결론: 점의 평행이동은 이동한 만큼 좌표에 그대로 더해주면 됩니다!

예시 문제

점 $(-4, 3)$을 $x$축의 방향으로 $3$만큼, $y$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 점의 좌표를 구해보세요.

풀이:

$x$좌표는 $-4$에 $3$을 더하고, $y$좌표는 $3$에 $-2$를 더하면 됩니다.

따라서 이동한 점의 좌표는 $(-4+3, 3+(-2))$, 즉 $(-1, 1)$입니다.

2. 도형의 평행이동 (feat. 왜 부호가 반대일까?)

이제 오늘의 하이라이트, 도형의 평행이동입니다. 많은 학생들이 여기서부터 혼란스러워하기 시작하죠. "왜 점을 이동할 땐 더했는데, 도형을 이동할 땐 빼는 걸까?" 이 질문에 대한 답을 찾는 것이 이번 파트의 핵심 목표입니다!

결론부터 말하면, 점의 이동은 '이동 후의 결과'를 찾는 것이고, 도형의 이동은 '이동 후의 도형이 만족하는 새로운 관계식(방정식)'을 찾는 것이기 때문이에요.

도형의 평행이동 원리 탐구

어떤 도형의 방정식이 $f(x, y) = 0$이라고 해봅시다. 예를 들어 원 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ 이라면 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1$ 인 셈이죠. 이 도형 위의 임의의 한 점을 $P(x, y)$라고 할게요. 이 점은 $f(x, y) = 0$이라는 관계를 만족하고 있어요.

이제 이 도형 전체를 $x$축 방향으로 $a$만큼, $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동시켜 봅시다. 그러면 점 $P(x, y)$도 새로운 위치인 $P'(x', y')$으로 옮겨가겠죠?

우리가 앞에서 배운 점의 평행이동에 따라 다음 관계가 성립합니다.

$$ x' = x + a $$ $$ y' = y + b $$

우리의 목표는 이동된 점들, 즉 $(x', y')$들이 만족하는 새로운 방정식을 찾는 거예요. 이 새로운 방정식은 $x'$와 $y'$에 대한 식으로 나타나야 합니다. 그런데 우리가 알고 있는 식은 오직 원래의 점 $(x, y)$가 만족하는 $f(x, y) = 0$ 뿐이죠.

그렇다면 $x'$와 $y'$를 $x$와 $y$로 표현된 식에 대입할 방법을 찾아야 합니다. 위 공식을 $x$와 $y$에 대해 정리해볼까요?

$$ x = x' - a $$ $$ y = y' - b $$

이제 이 식을 원래의 도형 방정식 $f(x, y) = 0$에 대입하는 겁니다! 왜냐하면 $(x, y)$는 원래 도형 위의 점이니까요.

$$ f(x'-a, y'-b) = 0 $$

자, 보세요! 이동한 점 $(x', y')$이 만족하는 새로운 관계식을 찾아냈습니다. 보통 방정식에서는 좌표를 나타낼 때 프라임(') 기호를 떼고 그냥 $x, y$로 쓰죠. 따라서 평행이동한 도형의 방정식은 최종적으로 다음과 같이 정리됩니다.

🎯 도형의 평행이동 핵심 정리

방정식 $f(x, y) = 0$이 나타내는 도형을 $x$축의 방향으로 $\boldsymbol{a}$만큼, $y$축의 방향으로 $\boldsymbol{b}$만큼 평행이동한 도형의 방정식은 다음과 같습니다.

$$ f(x-a, y-b) = 0 $$

결론: $x$ 대신 $(x-a)$를, $y$ 대신 $(y-b)$를 대입합니다. 부호가 반대가 되는 이유는 이동 후의 점들이 만족할 새로운 관계식을 유도하는 과정에서 나온 자연스러운 결과입니다!

예시 문제 1: 원의 평행이동

원 $x^2 + y^2 = 1$을 $x$축의 방향으로 $3$만큼, $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 원의 방정식을 구해보세요.

풀이 1 (방정식 대입):

$x$ 대신 $(x-3)$을, $y$ 대신 $(y-(-1))$, 즉 $(y+1)$을 대입합니다.

$$ (x-3)^2 + (y+1)^2 = 1 $$

풀이 2 (중심점 이동):

원은 평행이동해도 반지름의 길이는 변하지 않아요. 중심의 좌표만 이동하죠!
원래 원의 중심은 $(0, 0)$입니다. 이 점을 $x$축 방향으로 $3$만큼, $y$축 방향으로 $-1$만큼 평행이동하면 새로운 중심은 $(0+3, 0-1) = (3, -1)$이 됩니다.
반지름은 그대로 $1$이므로, 구하는 원의 방정식은 $(x-3)^2 + (y-(-1))^2 = 1^2$, 즉 $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 1$ 입니다.
원의 평행이동은 중심점을 이동시키는 것이 훨씬 간편하죠?

3. 심화 탐구: 평행이동으로 어려운 문제 쉽게 풀기

평행이동은 단순히 도형을 옮기는 데 그치지 않고, 복잡한 문제를 간단한 형태로 바꿔서 푸는 강력한 도구가 됩니다. 다음 문제를 통해 확인해 볼까요?

💡 심화 문제

원 $(x+6)^2 + (y+1)^2 = 5$ 위의 점 $A(-5, 1)$에서의 접선의 방정식을 구해보세요.

이 문제를 곧이곧대로 풀려면 매우 복잡합니다. 하지만 평행이동을 이용하면 마법처럼 쉽게 풀 수 있어요.

전략: 복잡한 위치에 있는 원을 우리가 다루기 쉬운 원점으로 평행이동시킨 후, 그곳에서 접선을 구하고, 다시 원래 위치로 평행이동시키는 것입니다!

1단계: 원과 점을 평행이동하기

주어진 원 $(x+6)^2+(y+1)^2=5$의 중심은 $(-6, -1)$입니다. 이 중심을 원점 $(0,0)$으로 옮기려면 $x$축으로 $+6$만큼, $y$축으로 $+1$만큼 평행이동해야 합니다.
이 평행이동에 의해 원은 $x^2 + y^2 = 5$라는 아주 간단한 식으로 바뀝니다.
똑같은 평행이동을 점 $A(-5, 1)$에도 적용해야겠죠? 이동된 점 A'의 좌표는 다음과 같습니다.

$$ A'(-5+6, 1+1) \Rightarrow A'(1, 2) $$

2단계: 간단해진 원에서 접선 구하기

이제 문제는 '원 $x^2 + y^2 = 5$ 위의 점 $A'(1, 2)$에서의 접선의 방정식을 구하는 것'으로 바뀌었습니다. 원점이 중심인 원 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선 공식 $x_1x + y_1y = r^2$ 을 기억하나요? 바로 적용해봅시다!

$$ (1)x + (2)y = 5 \Rightarrow x+2y=5 $$

3단계: 접선을 다시 원래대로 평행이동하기

자, 이제 마지막 단계입니다. 2단계에서 구한 접선 $x+2y=5$는 평행이동된 세상에서의 답이에요. 이걸 다시 원래의 세상으로 돌려놓아야 합니다.
1단계에서 $x$축으로 $+6$, $y$축으로 $+1$만큼 이동했으니, 다시 돌아가려면 반대로 $x$축으로 $-6$, $y$축으로 $-1$만큼 평행이동해야 합니다. 도형을 이동하는 것이므로, $x$ 대신 $(x-(-6))$, $y$ 대신 $(y-(-1))$을 대입합니다.

$$ (x+6) + 2(y+1) = 5 $$

이 식을 정리하면,

$$ x + 6 + 2y + 2 = 5 $$ $$ x + 2y = -3 $$

이렇게 복잡해 보였던 문제의 답을 간단하게 구할 수 있습니다. 평행이동의 위력이 느껴지시나요?

마무리하며

오늘 우리는 평행이동에 대해 배워보았습니다. 핵심 내용을 다시 한번 정리해볼까요?

1. 점의 평행이동: $(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)$. 이동하는 만큼 좌표에 더한다!
2. 도형의 평행이동: $f(x, y)=0 \rightarrow f(x-a, y-b)=0$. $x$대신 $x-a$, $y$대신 $y-b$를 대입한다!
3. 왜 부호가 다른가? 점은 이동 후의 '좌표'를, 도형은 이동 후의 '새로운 관계식'을 찾는 것이기 때문이다.
4. 꿀팁! 원이나 포물선 같은 도형은 정의의 핵심이 되는 점(중심, 꼭짓점)을 먼저 이동시키면 계산이 훨씬 편하다.

평행이동은 앞으로 배울 대칭이동과 함께 도형의 이동을 구성하는 가장 기본적인 요소입니다. 오늘 배운 원리를 정확히 이해하고 나면, 도형의 방정식 단원이 훨씬 쉽고 재미있게 느껴질 거예요.

스스로 문제를 풀어보면서 개념을 완전히 자기 것으로 만드는 과정, 잊지 마세요! 궁금한 점이 있다면 언제든지 댓글로 질문해주세요. 수학쟁이 선생님이었습니다!