[고1 수학] 도형의 이동 완벽 정복: 대칭이동 개념부터 심화까지 (좌표평면 & 방정식)

[고1 수학] 도형의 이동 완벽 정복: 대칭이동 개념부터 심화까지

시작하며

여러분, 안녕하세요! 수학쟁이 선생님입니다. 우리는 지난 시간에 도형을 일정한 방향으로, 일정한 거리만큼 '밀어서' 옮기는 평행이동에 대해 배웠어요. 오늘은 그 두 번째 이야기, '대칭이동'에 대해 깊이 파고들어 볼 거예요.

대칭이동은 마치 거울에 비친 모습이나 데칼코마니처럼, 어떤 점이나 선을 기준으로 도형을 '완전히 뒤집는' 변환을 말해요. 여러분이 매일 아침 거울을 보는 것도 수학적으로는 'y축 대칭'과 비슷한 상황이라고 할 수 있죠! 또, 멋진 건축물이나 예술 작품 속에서도 대칭의 원리는 쉽게 찾아볼 수 있습니다. 이렇게 우리 주변에 숨어있는 대칭의 원리를 좌표평면 위로 가져와 점과 도형의 방정식이 어떻게 변하는지 체계적으로 알아보는 시간이 될 거예요. 평행이동과 헷갈리지 않도록 두 개념의 차이점을 명확히 짚어드릴 테니, 오늘도 집중해서 잘 따라와 주세요!

개념과 원리 심층 탐구

1. 점의 대칭이동: 기준에 따라 좌표는 어떻게 바뀔까?

먼저 가장 기본이 되는 점의 대칭이동부터 시작할게요. 점 하나를 기준(x축, y축, 원점, 직선 y=x)에 대해 뒤집으면 좌표가 어떻게 변하는지 살펴봅시다. 점 $P(x, y)$를 기준으로 생각해 볼게요.

핵심 정리: 점 P(x, y)의 대칭이동

• x축에 대하여 대칭이동: y좌표의 부호만 반대로! → $P'(x, -y)$
• y축에 대하여 대칭이동: x좌표의 부호만 반대로! → $P'(-x, y)$
• 원점에 대하여 대칭이동: x, y좌표의 부호 모두 반대로! → $P'(-x, -y)$
• 직선 y=x에 대하여 대칭이동: x좌표와 y좌표를 서로 바꾼다! → $P'(y, x)$

각각의 경우가 왜 그렇게 되는지 그림과 함께 자세히 살펴볼까요?

x축 대칭

O

x

y

P(x, y)

P'(x, -y)

x축을 기준으로 접었을 때
y좌표의 부호가 바뀝니다.

y축 대칭

O

x

y

P(x, y)

P'(-x, y)

y축을 기준으로 접었을 때
x좌표의 부호가 바뀝니다.

원점 대칭

O

x

y

P(x, y)

P'(-x, -y)

원점을 기준으로 180° 회전!
x, y 좌표 부호가 모두 바뀝니다.

특히 직선 y=x에 대한 대칭이동은 매우 중요해요. 나중에 배우게 될 '역함수'의 개념과 직접적으로 연결되기 때문이죠! 점 P(x, y)를 직선 y=x에 대해 대칭이동한 점을 P'(x', y')라고 하면, 두 가지 성질을 만족해야 합니다.

1. 선분 PP'의 중점 $(\frac{x+x'}{2}, \frac{y+y'}{2})$은 직선 y=x 위에 있어야 합니다. → $\frac{y+y'}{2} = \frac{x+x'}{2}$ → $y'-x' = x-y$
2. 선분 PP'과 직선 y=x는 서로 수직이어야 합니다. (기울기의 곱 = -1) → $\frac{y'-y}{x'-x} \times 1 = -1$ → $y'+y = -x'-x$

이 두 식을 연립해서 풀면 $x'=y$, $y'=x$라는 결과를 얻을 수 있어요. 즉, x좌표와 y좌표가 서로 뒤바뀌는 것이죠!

2. 도형의 대칭이동: 방정식은 어떻게 변할까?

이제 점이 아닌 직선이나 원 같은 도형 전체를 대칭이동 시켜 볼게요. 도형의 방정식이 $f(x, y) = 0$ 꼴로 주어졌을 때, 대칭이동한 도형의 방정식은 어떻게 될까요?

여기서 많은 학생들이 평행이동 때처럼 헷갈려 해요. 점의 이동과 도형의 이동 규칙이 다르기 때문이죠. 원리를 정확히 이해하는 것이 중요합니다!

도형 $f(x, y) = 0$ 위의 임의의 점을 $P(x, y)$라 하고, 이 점을 대칭이동한 점을 $P'(x', y')$라고 해봅시다. 우리의 목표는 $x'$와 $y'$ 사이의 관계식, 즉 새로운 도형의 방정식을 찾는 거예요.

예를 들어, x축 대칭을 생각해볼까요? 점 $P(x,y)$를 x축에 대해 대칭이동하면 $P'(x, -y)$가 되죠. 즉, $x' = x$이고 $y' = -y$입니다. 이것을 원래 점의 좌표인 $x$와 $y$에 대해 정리하면 $x = x'$, $y = -y'$가 됩니다. 이 관계식을 원래 도형의 방정식 $f(x, y) = 0$에 대입하면 $f(x', -y') = 0$을 얻게 되죠. 이것이 바로 점 $P'(x', y')$가 만족하는 관계식이므로, 새로운 도형의 방정식은 $f(x, -y) = 0$이 되는 것입니다.

핵심 정리: 도형 f(x, y) = 0의 대칭이동

규칙을 잘 보세요! 점의 이동과 어떻게 다른지 비교하는 것이 포인트입니다.

• x축에 대하여 대칭이동: $y$ 대신 $-y$를 대입! → $f(x, -y) = 0$
• y축에 대하여 대칭이동: $x$ 대신 $-x$를 대입! → $f(-x, y) = 0$
• 원점에 대하여 대칭이동: $x$ 대신 $-x$, $y$ 대신 $-y$를 대입! → $f(-x, -y) = 0$
• 직선 y=x에 대하여 대칭이동: $x$ 대신 $y$, $y$ 대신 $x$를 대입! → $f(y, x) = 0$

단계별 문제 해결 전략

백문이 불여일견! 직접 문제를 풀어보면서 개념을 확실히 다져봅시다.

예제 1

원 $(x-4)^2 + (y+3)^2 = 4$를 (1) x축, (2) y축, (3) 원점에 대하여 각각 대칭이동한 원의 방정식을 구해 보세요.

풀이 전략:
도형의 대칭이동 규칙에 따라 방정식의 $x$ 또는 $y$ 자리에 해당 식을 대입하면 됩니다. 원과 같은 도형은 원의 중심점만 대칭이동 시키고 반지름은 그대로 유지하여 방정식을 구하는 것이 훨씬 간단하고 빠를 수 있어요!

元の 중심은 $(4, -3)$이고 반지름은 2입니다.

1. (1) x축 대칭:
   • 방법 1 (방정식): $y$ 대신 $-y$를 대입합니다.
     $(x-4)^2 + (-y+3)^2 = 4$ → $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 4$
   • 방법 2 (중심점 이동): 중심 $(4, -3)$을 x축 대칭하면 $(4, 3)$이 됩니다. 반지름은 그대로 2이므로, 원의 방정식은 $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 4$ 입니다.
2. (2) y축 대칭:
   • 방법 1 (방정식): $x$ 대신 $-x$를 대입합니다.
     $(-x-4)^2 + (y+3)^2 = 4$ → $(x+4)^2 + (y+3)^2 = 4$
   • 방법 2 (중심점 이동): 중심 $(4, -3)$을 y축 대칭하면 $(-4, -3)$이 됩니다. 따라서 원의 방정식은 $(x+4)^2 + (y+3)^2 = 4$ 입니다.
3. (3) 원점 대칭:
   • 방법 1 (방정식): $x$ 대신 $-x$, $y$ 대신 $-y$를 대입합니다.
     $(-x-4)^2 + (-y+3)^2 = 4$ → $(x+4)^2 + (y-3)^2 = 4$
   • 방법 2 (중심점 이동): 중심 $(4, -3)$을 원점 대칭하면 $(-4, 3)$이 됩니다. 따라서 원의 방정식은 $(x+4)^2 + (y-3)^2 = 4$ 입니다.

두 가지 방법 모두 결과가 같다는 것을 확인할 수 있죠? 원 문제는 중심점을 이동시키는 것이 훨씬 효율적이랍니다!

예제 2

원 $x^2 + (y-3)^2 = 9$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구해 보세요.

풀이:
직선 $y=x$에 대한 대칭이동은 방정식의 $x$를 $y$로, $y$를 $x$로 바꾸어 대입하면 됩니다.
$y^2 + (x-3)^2 = 9$
정리하면, $(x-3)^2 + y^2 = 9$ 입니다. 참 쉽죠?

오개념 방지 및 심화 팁

1. 점의 이동 vs 도형의 이동
가장 많이 하는 실수는 점의 이동과 도형의 이동 규칙을 혼동하는 거예요. - 점의 이동: 시키는 대로 더하거나 부호를 바꾼다. `(x, y) → (x, -y)` - 도형의 이동: 방정식의 문자를 바꿔서 대입한다. `f(x, y)=0 → f(x, -y)=0` 왜 이런 차이가 발생하는지는 위에서 설명한 원리를 다시 한번 꼭 읽어보세요! 이동 후의 점 $(x', y')$과 이동 전의 점 $(x, y)$의 관계를 통해 식을 유도하는 과정을 이해하는 것이 핵심입니다.

2. 직선 y=x 대칭과 역함수
어떤 함수 $y=f(x)$의 그래프를 직선 $y=x$에 대해 대칭이동하면, 그 결과는 바로 $f(x)$의 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프가 됩니다. 이는 $x$와 $y$의 역할을 완전히 뒤바꾸는 과정이기 때문이에요. 대칭이동 문제가 함수 단원과 어떻게 연결되는지 보여주는 아주 중요한 개념이니 꼭 기억해두세요!

마무리하며

오늘은 대칭이동에 대해 배워봤습니다. x축, y축, 원점, 그리고 직선 y=x에 대한 대칭이동의 규칙을 점과 도형의 방정식에 각각 어떻게 적용하는지 알아보았죠. 처음에는 평행이동과 조금 헷갈릴 수 있지만, '점을 이동할 때'와 '도형의 방정식을 변환할 때'의 규칙을 명확히 구분하고 그 원리를 이해하면 금방 익숙해질 거예요.

특히 원의 대칭이동은 방정식 전체를 바꾸기보다 중심점만 이동시켜서 푸는 것이 훨씬 간단하다는 꿀팁도 얻었네요! 오늘 배운 내용은 앞으로 더 복잡한 함수와 도형을 다룰 때 기본기가 되어줄 테니, 여러 문제를 풀어보면서 자기 것으로 만드는 시간을 꼭 가지길 바랍니다.

수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 더 흥미로운 수학 이야기로 찾아올게요. 수학쟁이 선생님이었습니다!