고1 수학 집합 사이의 포함 관계: 부분집합, 진부분집합 완벽 정리

[집합] 집합 사이의 포함 관계: 부분집합, 진부분집합 개념 완벽 정리 (고1 수학)

시작하며

수학쟁이 여러분, 반갑습니다! 수학쟁이 선생님이에요. 😊
지난 시간에는 집합이 무엇인지, 그리고 집합을 어떻게 표현하는지에 대해 배웠어요. 오늘은 한 걸음 더 나아가 두 집합 사이에 어떤 관계가 있는지, 특히 하나의 집합이 다른 집합에 '포함되는' 상황을 수학적으로 어떻게 정의하고 표현하는지 자세히 알아볼 거예요. '부분집합'이라는 개념은 앞으로 집합의 연산을 배우는 데 있어 가장 기본이 되는 중요한 약속이니, 오늘도 눈 크게 뜨고 따라와 주세요!

개념과 원리 심층 탐구

1. 부분집합 (Subset)

'부분집합'이라는 말, 단어만 들어도 대충 의미가 짐작되지 않나요? 말 그대로 어떤 집합의 '부분'이 되는 집합을 의미해요. 예를 들어 클래식 음악을 한번 생각해 볼까요? 피아노, 바이올린, 첼로로 연주하는 '피아노 3중주'가 있고, 여기에 비올라가 추가되어 피아노, 바이올린, 첼로, 비올라로 연주하는 '피아노 4중주'가 있어요.

피아노 3중주 악기 집합 A = {피아노, 바이올린, 첼로}
피아노 4중주 악기 집합 B = {피아노, 바이올린, 첼로, 비올라}

집합 A의 모든 원소인 '피아노', '바이올린', '첼로'는 전부 집합 B에도 속해 있죠? 이렇게 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, 우리는 '집합 A는 집합 B의 부분집합이다'라고 말해요. 그리고 이것을 기호로는 A ⊂ B 와 같이 나타낸답니다. 이 기호 '⊂'는 독일의 수학자 슈뢰더(Schröder)가 처음 사용했다고 알려져 있어요.

B

비올라

A

피아노
바이올린
첼로

[ A ⊂ B를 나타내는 벤 다이어그램 ]

만약 집합 A의 원소 중 단 하나라도 집합 B에 속하지 않는 것이 있다면, A는 B의 부분집합이 아니에요. 이때는 기호로 A ⊄ B 와 같이 나타냅니다.

⭐ 부분집합의 핵심 성질 2가지! ⭐

부분집합에는 아주 중요한 두 가지 약속이 있어요. 이건 그냥 외워두는 게 편해요!

1. 자기 자신은 자기 자신의 부분집합이다. ( A ⊂ A )
2. 공집합(∅)은 모든 집합의 부분집합이다. ( ∅ ⊂ A )

어떤 집합도 자기 자신의 부분을 이루고 있고, 공집합은 원소가 하나도 없기 때문에 어떤 집합에 속하지 않는 원소를 가질 수 없으므로 모든 집합의 부분집합이라는 약속이 자연스럽게 성립하죠.

2. 서로 같은 집합

두 집합이 '서로 같다'는 것은 어떻게 정의할 수 있을까요? 바로 두 집합이 서로에게 부분집합이 될 때예요. 즉, A ⊂ B 이면서 동시에 B ⊂ A 일 때, 두 집합 A와 B는 서로 같다고 말하고, 기호로는 A = B 로 나타냅니다. 결국 두 집합을 이루는 원소가 완전히 똑같다는 의미죠!

예시) A = {x | x는 6의 양의 약수}, B = {1, 2, 3, 6} 일 때,
A의 모든 원소는 B에 속하고 (A ⊂ B), B의 모든 원소도 A에 속하므로 (B ⊂ A), 두 집합은 서로 같은 집합입니다. 즉, A = B 입니다.

3. 진부분집합 (Proper Subset)

마지막으로 '진부분집합'이라는 개념이 있어요. '진'이라는 한자가 '진짜'라는 의미를 가지듯, '진짜 부분집합'이라고 생각하면 쉬워요. 부분집합이긴 한데, 자기 자신은 쏙 뺀, '진짜' 부분들을 말하는 거예요.

정의는 이렇습니다. 집합 A가 집합 B의 부분집합이면서, 서로 같지는 않을 때 (즉, A ⊂ B 이고 A ≠ B 일 때), A를 B의 '진부분집합'이라고 합니다.

예시) 집합 A = {a, b, c}가 있을 때,

• A의 부분집합: ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} (총 8개)
• A의 진부분집합: 부분집합 중에서 자기 자신인 {a, b, c}를 제외한 나머지. 즉, ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} (총 7개)

스스로 생각하기! 🤔
그렇다면 공집합(∅)의 진부분집합은 존재할까요? 정답은 '없다'입니다. 공집합의 부분집합은 자기 자신인 공집합 하나뿐인데, 진부분집합은 자기 자신을 제외해야 하니까요!

개념 확장 및 연관성

집합 사이의 포함 관계는 도형의 관계를 설명할 때도 아주 유용하게 쓰여요. 예를 들어, 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형의 관계를 생각해 볼까요?

• 모든 직사각형은 평행사변형의 성질을 만족하죠? 따라서 '직사각형의 집합'은 '평행사변형의 집합'의 부분집합이에요.
• 모든 마름모도 평행사변형의 성질을 만족하니, '마름모의 집합'도 '평행사변형의 집합'의 부분집합이겠죠.
• 정사각형은 어떤가요? 모든 정사각형은 직사각형이기도 하고, 마름모이기도 해요. 하지만 모든 직사각형이 정사각형은 아니므로 '정사각형의 집합'은 '직사각형의 집합'의 진부분집합이 되는 거랍니다.

이처럼 집합의 포함 관계를 이용하면 여러 대상들의 관계를 명료하고 논리적으로 표현할 수 있어요.

마무리하며

오늘은 집합 사이의 포함 관계, 즉 부분집합, 서로 같은 집합, 진부분집합에 대해 배웠습니다. 각 용어의 정확한 뜻과 기호(⊂, =, ⊄, ≠)를 잘 기억해두는 것이 중요해요. 특히 공집합과 자기 자신도 부분집합에 포함된다는 사실을 잊지 마세요!

다음 시간에는 오늘 배운 포함 관계를 바탕으로, 두 집합을 합치거나 공통 부분을 찾는 '집합의 연산'에 대해 알아볼 거예요. 오늘의 내용이 튼튼한 발판이 될 테니, 꼭 복습하고 궁금한 점이 있다면 언제든 다시 찾아와 주세요. 오늘도 수고 많았어요!