고1 수학 여집합과 차집합 개념 완벽 정리: 드모르간의 법칙까지!

고1 수학 여집합과 차집합, 드모르간의 법칙까지 완벽 정복!

시작하며

여러분, 인터넷에서 검색할 때 특정 단어를 제외하고 검색하고 싶었던 적 없나요? 예를 들어 '사과'를 검색하는데 과일 '사과'만 보고 싶고, '애플(Apple)사'의 정보는 빼고 싶을 때가 있죠. 이처럼 전체 대상에서 특정 부분을 제외하는 개념은 우리 생활과 아주 밀접해요. 수학에서도 마찬가지랍니다!

오늘은 전체의 개념을 정하는 '전체집합'을 바탕으로, 특정 집합에 '속하지 않는' 원소들의 모임인 '여집합'과 한 집합에서 다른 집합의 원소를 '빼내는' 개념인 '차집합'에 대해 배울 거예요. 그리고 이들을 아우르는 매우 중요한 법칙인 드모르간의 법칙까지 함께 정복해 봅시다. 이 개념들을 잘 익혀두면 복잡한 조건들을 논리적으로 명확하게 정리하고 해결하는 데 큰 도움이 될 거예요!

개념과 원리 심층 탐구

1. 여집합과 차집합의 기본: 전체집합(Universal Set)

여집합과 차집합을 이야기하려면, 먼저 우리가 생각할 전체의 범위를 정해야 해요. 이 '전체 범위'에 해당하는 집합을 바로 전체집합 (Universal Set)이라고 하고, 보통 기호 $U$로 나타냅니다.

예를 들어, 우리가 태양계 행성에 대해 이야기한다면, 전체집합 $U$는 {수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성, 천왕성, 해왕성}이 될 수 있겠죠. 앞으로 다룰 모든 집합은 이 전체집합 $U$의 부분집합이라는 약속 아래에서 이야기가 진행됩니다.

2. 여집합 (Complement): "~가 아닌 것들"의 모임

여집합은 '남을 여(餘)'라는 한자 뜻 그대로, 전체집합 $U$의 원소 중에서 특정 집합 A에 속하지 않는 나머지 원소들의 집합을 의미해요. 집합 A의 여집합은 기호로 $A^C$와 같이 나타냅니다. (C는 Complement의 첫 글자예요!)

여집합의 정의

$A^C = \{ x | x \in U \text{ 그리고 } x \notin A \}$

즉, 전체집합에는 속하지만, 집합 A에는 속하지 않는 원소들의 모임입니다.

예시) 전체집합 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 이고, 부분집합 $A = \{1, 3, 5\}$ (홀수의 집합)일 때, A의 여집합은 무엇일까요?
$U$의 원소 중 A에 속하지 않는 나머지 원소들이므로, $A^C = \{2, 4, 6\}$ (짝수의 집합)이 됩니다.

벤 다이어그램으로 본 $A^C$ (색칠된 부분)

3. 차집합 (Difference of Sets): "순수하게 A에만 있는 것들"

차집합은 두 집합 A, B에 대하여 A의 원소 중에서 B에 속하는 원소를 제외한 나머지 원소들의 집합을 말해요. 'A에 대한 B의 차집합'이라고 부르며, 기호로는 $A - B$와 같이 나타냅니다.

차집합의 정의

$A - B = \{ x | x \in A \text{ 그리고 } x \notin B \}$

A에는 속하지만, B에는 속하지 않는 원소들의 모임이죠. $A - B = A \cap B^C$ 라는 중요한 성질도 기억해두세요!

예시) 두 집합 $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$ 에 대하여 $A-B$와 $B-A$를 구해봅시다.
$A - B$: A의 원소 $\{1, 2, 3, 4\}$에서 B에 속하는 $\{3, 4\}$를 제외하면 되므로, $A - B = \{1, 2\}$ 입니다.
$B - A$: B의 원소 $\{3, 4, 5, 6\}$에서 A에 속하는 $\{3, 4\}$를 제외하면 되므로, $B - A = \{5, 6\}$ 입니다.
여기서 알 수 있듯, 일반적으로 $A-B$와 $B-A$는 같지 않으니 주의해야 해요!

벤 다이어그램으로 본 $A-B$ (색칠된 부분)

4. 여집합과 차집합의 핵심 성질: 드모르간의 법칙 (De Morgan's Laws)

19세기 영국의 수학자 오거스터스 드모르간의 이름을 딴 이 법칙은 집합의 연산에서 괄호와 여집합 기호(C)가 만났을 때 어떻게 변하는지를 알려주는 아주 중요한 법칙입니다. 꼭 암기해야 해요!

드모르간의 법칙

전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 다음이 성립합니다.

1. $(A \cup B)^C = A^C \cap B^C$
2. $(A \cap B)^C = A^C \cup B^C$

말로 풀어보면, '합집합의 여집합은 각각의 여집합의 교집합과 같다' 그리고 '교집합의 여집합은 각각의 여집합의 합집합과 같다'는 뜻이에요. 괄호가 풀리면서 합집합($\cup$)은 교집합($\cap$)으로, 교집합($\cap$)은 합집합($\cup$)으로 바뀐다고 기억하면 쉬워요!

벤 다이어그램을 통해 첫 번째 법칙 $(A \cup B)^C = A^C \cap B^C$이 왜 성립하는지 확인해 볼까요?

$(A \cup B)^C$ 와 $A^C \cap B^C$ 의 영역 (두 영역은 동일합니다)

어때요? 합집합의 바깥 부분과, A의 바깥과 B의 바깥의 공통부분이 정확히 일치하죠? 이렇게 그림으로 이해하면 공식을 훨씬 오래 기억할 수 있답니다.

단계별 문제 해결 전략

개념을 배웠으니 이제 실제 문제에 적용해 봐야겠죠? 집합의 원소 개수를 구하는 문제를 통해 드모르간의 법칙이 어떻게 활용되는지 살펴봅시다.

예시 문제) 어느 학급 학생 40명을 전체집합 $U$로 하고, 이 중에서 A 동아리 신청 학생의 집합을 $A$, B 동아리 신청 학생의 집합을 $B$라고 합시다. $n(A) = 21$, $n(B) = 17$, 그리고 두 동아리 중 적어도 하나를 신청한 학생 수, 즉 $n(A \cup B) = 34$일 때, A 동아리에 가입하지 않았거나 B 동아리에 가입하지 않은 학생 수, 즉 $n(A^C \cup B^C)$를 구해 보세요.

[사고 과정]

1. 문제 분석 및 목표 설정: 우리가 구해야 할 것은 $n(A^C \cup B^C)$입니다. 여집합과 합집합이 섞여 있어 바로 구하기는 까다로워 보이네요.


2. 핵심 공식 떠올리기: 이때, 드모르간의 법칙이 생각나야 합니다! $A^C \cup B^C = (A \cap B)^C$ 이죠.


3. 목표 재설정: 이제 우리의 목표는 $n((A \cap B)^C)$를 구하는 것으로 바뀌었어요. 어떤 집합의 여집합의 원소 개수는 (전체집합의 원소 개수) - (원래 집합의 원소 개수)와 같죠? 즉, $n((A \cap B)^C) = n(U) - n(A \cap B)$ 입니다.


4. 새로운 목표 설정: 결국 우리는 $n(A \cap B)$, 즉 두 동아리를 모두 신청한 학생 수를 구하면 문제를 해결할 수 있게 됩니다.


5. 합집합 원소 개수 공식 활용: 문제에 $n(A)$, $n(B)$, $n(A \cup B)$가 주어져 있으니, 합집합의 원소 개수 공식을 사용하면 $n(A \cap B)$를 구할 수 있겠네요!
   $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
   $34 = 21 + 17 - n(A \cap B)$
   $34 = 38 - n(A \cap B)$
   따라서, $n(A \cap B) = 4$ 입니다.


6. 최종 답 구하기: 이제 마지막 단계입니다. 3단계에서 세운 식에 방금 구한 값을 대입하면,
   $n(A^C \cup B^C) = n(U) - n(A \cap B) = 40 - 4 = 36$
   정답은 36명 입니다!

마무리하며

오늘 우리는 여집합과 차집합이라는 새로운 연산을 배우고, 이를 자유자재로 다룰 수 있게 해주는 드모르간의 법칙까지 탐구해 보았습니다.

오늘의 핵심 정리!

• 여집합 ($A^C$): 전체집합 U에서 A를 제외한 나머지.
• 차집합 ($A - B$): A에서 A와 B의 공통 부분을 제외한 나머지. ($A - B = A \cap B^C$)
• 드모르간의 법칙:
  • $(A \cup B)^C = A^C \cap B^C$
  • $(A \cap B)^C = A^C \cup B^C$

처음에는 기호가 많아 복잡해 보일 수 있지만, 벤 다이어그램을 그려보며 차근차근 생각하는 연습을 하면 금방 익숙해질 거예요. 집합의 연산은 수학적 논리를 세우는 가장 기초적인 훈련이니, 오늘 배운 내용을 꼭 복습하고 자기 것으로 만들어 주세요. 다음 시간에는 더 흥미로운 수학 이야기로 돌아오겠습니다. 모두 수고 많았어요!