고1 수학 원과 직선의 위치 관계 완벽 정리: 판별식과 점과 직선 사이의 거리 활용법

[고1 수학] 원과 직선의 위치 관계 완벽 정리 (개념부터 심화까지)

시작하며

안녕하세요! 수학의 깊이를 더하는 수학쟁이 선생님입니다.
오늘은 고1 수학 과정에서 정말 중요한 '원의 방정식' 단원의 두 번째 소단원, 원과 직선의 위치 관계에 대해 완벽하게 정리해 보는 시간을 갖겠습니다.

지난 시간에는 원의 방정식을 세우는 방법에 대해 배웠죠. 오늘은 그 원이 직선과 만날 때 어떤 상황들이 펼쳐지는지, 그리고 그 관계를 어떻게 수학적으로 명쾌하게 분석할 수 있는지 알아볼 거예요. 이 개념은 단순히 원과 직선의 관계를 파악하는 것을 넘어, 앞으로 배울 다양한 도형 문제, 특히 접선 문제를 해결하는 데 있어 가장 기본이 되는 강력한 도구가 된답니다. 자연 현상에서도 별똥별이 보름달을 스쳐 지나가는 모습이나, 수평선에서 해가 떠오르는 모습 등을 상상해 보면 원과 직선의 위치 관계를 떠올릴 수 있죠.

두 가지 핵심적인 방법, 판별식을 이용하는 방법과 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용하는 방법을 중심으로, 개념부터 심화 문제 해결 전략까지 차근차근 알려줄 테니 잘 따라오세요!

1. 판별식을 이용한 위치 관계 파악

가장 먼저 생각해 볼 수 있는 방법은 두 도형의 방정식을 '연립'하는 것입니다. 원과 직선이 만나는 점(교점)은, 두 방정식의 공통 해와 같기 때문이죠.

원의 방정식 $x^2 + y^2 = r^2$ 과 직선의 방정식 $y = mx+n$ 을 연립해볼게요.
직선의 방정식을 원의 방정식에 대입하면,

$$ x^2 + (mx+n)^2 = r^2 $$

이 식을 $x$에 대해 정리하면,

$$ x^2 + (m^2x^2 + 2mnx + n^2) - r^2 = 0 $$

$$ (m^2+1)x^2 + 2mnx + (n^2 - r^2) = 0 $$

위 식은 $x$에 대한 이차방정식이 됩니다. 교점의 $x$좌표는 바로 이 이차방정식의 '실근'과 같아요. 그럼 교점의 개수는? 바로 실근의 개수와 같겠죠! 이차방정식의 실근의 개수는 무엇으로 판별했나요? 맞아요, 바로 판별식 $D$입니다.

판별식($D$)을 이용한 원과 직선의 위치 관계

원과 직선의 방정식을 연립하여 만든 $x$에 대한 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 판별식을 $D=b^2-4ac$라 할 때,

• $D > 0$ ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
• $D = 0$ ⇔ 중근 (하나의 실근) ⇔ 한 점에서 만난다 (접한다).
• $D < 0$ ⇔ 서로 다른 두 허근 (실근 없음) ⇔ 만나지 않는다.

예시 문제로 확인하기

문제: 원 $x^2+y^2=8$과 직선 $x+y=4$의 위치 관계를 말해보세요.

풀이:
먼저 직선의 방정식을 $y$에 관해 정리하면 $y = -x+4$ 입니다.
이것을 원의 방정식에 대입해볼게요.

$$ x^2 + (-x+4)^2 = 8 $$

$$ x^2 + (x^2 - 8x + 16) = 8 $$

$$ 2x^2 - 8x + 8 = 0 $$

$$ x^2 - 4x + 4 = 0 $$

이제 이 이차방정식의 판별식 $D$를 계산해 봅시다. 짝수 공식을 사용하면 더 편리하겠죠?

$$ \frac{D}{4} = (-2)^2 - 1 \cdot 4 = 4 - 4 = 0 $$

판별식이 0이 나왔네요! 이것은 중근을 갖는다는 의미이고, 교점이 1개라는 뜻입니다.
따라서 원과 직선은 한 점에서 만난다(접한다)고 할 수 있습니다.

2. 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용한 방법

판별식은 매우 정석적인 방법이지만, 계산이 복잡해질 때가 많아요. 이럴 때 훨씬 더 직관적이고 빠르게 위치 관계를 파악할 수 있는 방법이 바로 원의 중심과 직선 사이의 거리(d)와 반지름(r)의 관계를 이용하는 것입니다.

한번 상상해보세요. 원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 짧으면 직선은 원을 두 점에서 가로지를 수밖에 없겠죠. 거리가 반지름과 정확히 같다면? 원에 살짝 닿는, 즉 접하는 상황이 될 거예요. 거리가 반지름보다 길다면? 직선은 원에 닿을 수조차 없겠죠.

d와 r의 관계에 따른 위치 관계

d < r
서로 다른 두 점

d = r
한 점에서 만남(접함)

d > r
만나지 않음

거리(d)와 반지름(r)을 이용한 원과 직선의 위치 관계

원의 중심과 직선 사이의 거리를 $d$, 원의 반지름의 길이를 $r$이라 할 때,

• $d < r$ ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
• $d = r$ ⇔ 한 점에서 만난다 (접한다).
• $d > r$ ⇔ 만나지 않는다.

💡 Tip! 점 $(x_1, y_1)$과 직선 $Ax+By+C=0$ 사이의 거리 공식: $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

예시 문제로 다시 확인하기

문제: 원 $x^2+y^2=8$과 직선 $x+y=4$의 위치 관계를 다시 한번 판단해보세요.

풀이:
원의 중심은 $(0, 0)$이고, 반지름 $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ 입니다.
직선의 방정식은 일반형으로 바꾸면 $x+y-4=0$ 입니다.
원의 중심 $(0, 0)$과 직선 $x+y-4=0$ 사이의 거리 $d$를 구하면,

$$ d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} $$

거리 $d=2\sqrt{2}$이고 반지름 $r=2\sqrt{2}$이므로, $d=r$ 입니다.
따라서 원과 직선은 한 점에서 만난다(접한다)는 것을 알 수 있습니다. 판별식을 사용했을 때와 결과가 같죠?

3. 원의 접선의 방정식 구하기

원과 직선의 위치 관계에서 가장 중요한 활용 파트는 바로 '접선'의 방정식을 구하는 것입니다. 접선은 원과 딱 한 점에서 만나는 직선, 즉 $D=0$ 또는 $d=r$ 인 특별한 경우를 의미하죠. 접선의 방정식을 구하는 대표적인 두 가지 유형을 알아봅시다.

(1) 기울기가 주어질 때

원의 중심이 원점 $(0,0)$이고 반지름이 $r$인 원 $x^2+y^2=r^2$에 접하고, 기울기가 $m$으로 주어진 직선의 방정식은 공식처럼 암기해두면 매우 유용합니다.

기울기가 $m$인 접선의 방정식

원 $x^2+y^2=r^2$에 접하고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은

$$ y = mx \pm r\sqrt{m^2+1} $$

💡 기울기가 같은 접선은 보통 2개가 존재하기 때문에 $\pm$가 붙는답니다!

예시: 원 $x^2+y^2=4$에 접하고 기울기가 3인 직선의 방정식은?
$r^2=4$이므로 $r=2$이고, $m=3$입니다. 공식에 바로 대입하면,

$$ y = 3x \pm 2\sqrt{3^2+1} $$

$$ y = 3x \pm 2\sqrt{10} $$

이렇게 $y=3x+2\sqrt{10}$ 과 $y=3x-2\sqrt{10}$ 이라는 두 개의 접선이 나옵니다.

(2) 원 위의 한 점이 주어질 때

이번에는 원 위의 한 점 $(x_1, y_1)$에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 이것 역시 공식이 존재하며, 반드시 외워야 할 중요한 공식입니다.

원 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식

원 $x^2+y^2=r^2$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은

$$ x_1x + y_1y = r^2 $$

💡 $x^2$을 $x_1x$로, $y^2$을 $y_1y$로 바꾸어준다고 생각하면 외우기 쉬워요!

예시: 원 $x^2+y^2=25$ 위의 점 $(4, 3)$에서의 접선의 방정식은?
$x_1=4, y_1=3, r^2=25$ 이므로 공식에 대입하면,

$$ 4x + 3y = 25 $$

정말 간단하죠?

오개념 방지 및 심화 팁

1. 공식은 중심이 원점일 때!
방금 배운 두 접선 공식은 모두 원의 중심이 $(0,0)$일 때만 바로 사용할 수 있어요. 만약 중심이 $(a,b)$인 원 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$의 접선을 구해야 한다면, 공식을 바로 적용하면 안 됩니다! 이럴 땐 '평행이동'의 개념을 이용하거나, '원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름과 같다($d=r$)'는 기본 원리를 이용하여 풀어야 합니다.

2. 원 밖의 한 점에서 그은 접선은 어떻게 구할까?
이것은 심화 유형으로 자주 출제됩니다. 예를 들어, 점 $(4,0)$에서 원 $x^2+y^2=4$에 그은 접선을 구한다고 해봅시다. 두 가지 방법이 있어요.

• 방법1 (기울기 이용): 구하는 접선의 기울기를 $m$이라 두고, 점 $(4,0)$을 지나므로 직선을 $y-0=m(x-4)$, 즉 $mx-y-4m=0$으로 설정합니다. 이 직선과 원의 중심 $(0,0)$ 사이의 거리가 반지름 $r=2$와 같다는 조건($d=r$)을 이용하여 $m$값을 구합니다.
• 방법2 (접점 이용): 원 위의 접점을 $(x_1, y_1)$으로 둡니다. 이 점에서의 접선 공식은 $x_1x+y_1y=4$입니다. 이 접선이 원 밖의 점 $(4,0)$을 지나므로 대입하면 $4x_1=4$, 즉 $x_1=1$을 얻습니다. 또한 접점 $(x_1, y_1)$은 원 위의 점이므로 $x_1^2+y_1^2=4$를 만족해야 하죠. $x_1=1$을 대입하면 $y_1^2=3$, 즉 $y_1=\pm\sqrt{3}$을 얻습니다. 따라서 접점은 $(1, \sqrt{3})$과 $(1, -\sqrt{3})$ 두 개이고, 이를 접선 공식에 각각 대입하면 두 접선을 구할 수 있습니다.

마무리하며

오늘은 원과 직선의 위치 관계를 판별하는 두 가지 중요한 방법(판별식, 점과 직선 사이의 거리)과 이를 응용하여 접선의 방정식을 구하는 방법까지 배워봤습니다.

핵심 요약!
1. 위치 관계 판별: 계산이 복잡하지 않다면 원의 중심과 직선 사이의 거리(d)와 반지름(r)을 비교하는 방법이 훨씬 효율적이고 직관적이다!
2. 접선의 방정식: '기울기'가 주어졌을 때와 '원 위의 점'이 주어졌을 때의 공식은 반드시 암기하자! 단, 공식은 원의 중심이 원점일 때를 기준으로 한다는 것을 잊지 말자.

오늘 배운 내용은 앞으로 더 복잡한 도형 문제를 해결하는 데 튼튼한 발판이 될 거예요. 개념을 정확히 이해하고, 다양한 문제에 적용해보는 연습을 꾸준히 하는 것이 중요합니다. 수학은 절대 배신하지 않는 정직한 과목이니, 지치지 말고 함께 나아갑시다! 다음 시간에는 도형의 이동에 대해 알아보겠습니다. 수고 많으셨습니다!