[고1 수학] 원의 방정식 개념 완벽 정리: 기본부터 심화까지 (도형의 방정식)

[고1 수학] 원의 방정식 개념 완벽 정리: 기본부터 심화까지 (도형의 방정식)

시작하며

안녕하세요, 수학의 즐거움을 알려주는 수학쟁이 선생님입니다!

우리는 지금까지 좌표평면 위에서 두 점 사이의 거리를 구하고, 선분을 나누는 내분점과 외분점의 좌표를 구하는 방법을 배웠어요. 이제 이 강력한 도구들을 사용해서 새로운 도형을 탐험해 볼 시간입니다. 그 주인공은 바로 '원'이죠!

원은 시계, 바퀴, 놀이공원의 대관람차처럼 우리 주변 어디에나 있는 아주 친숙한 도형이에요. 이 완벽한 대칭성과 아름다움을 가진 원을 어떻게 수학의 언어, 즉 '방정식'으로 표현할 수 있을까요? 이번 시간에는 원의 정의부터 시작해서 다양한 상황에 맞는 원의 방정식을 구하고, 그 성질을 깊이 있게 파헤쳐 볼 겁니다. 이 내용을 잘 이해하면 앞으로 더 복잡한 도형을 다루는 데 튼튼한 기초가 될 거예요. 자, 그럼 함께 원의 세계로 떠나볼까요?

개념과 원리 심층 탐구

1. 원이란 무엇일까? - 정의로부터 출발하는 방정식

가장 먼저, 원이 무엇인지 수학적으로 정의해봐야겠죠?

"원(circle)이란 평면 위의 한 정점(정해진 점)에서 일정한 거리에 있는 모든 점들의 집합입니다."

여기서 '한 정점'은 원의 중심(center)이 되고, '일정한 거리'는 반지름(radius)이 됩니다. 이 정의가 바로 원의 방정식을 만드는 핵심 열쇠예요!

가장 간단한 경우부터 생각해 볼까요? 원의 중심이 좌표평면의 원점 $O(0, 0)$이고 반지름의 길이가 $r$인 원을 생각해 봅시다. 이 원 위의 임의의 한 점을 $P(x, y)$라고 해볼게요.

원의 정의에 따라, 중심 $O$와 원 위의 점 $P$ 사이의 거리는 항상 반지름 $r$과 같아야 해요. 우리가 배운 두 점 사이의 거리 공식을 사용하면 $\overline{OP}$의 길이는 다음과 같이 표현할 수 있죠.

$$ \overline{OP} = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} $$

이 거리가 반지름 $r$과 같아야 하므로, $\sqrt{x^2 + y^2} = r$ 입니다. 양변을 제곱하면 훨씬 깔끔한 식을 얻을 수 있어요.

원의 방정식: 기본형 (중심이 원점)

원의 중심이 원점 $(0, 0)$이고 반지름의 길이가 $r$인 원의 방정식은 다음과 같습니다.

$$ x^2 + y^2 = r^2 $$

예를 들어, 중심이 원점이고 반지름이 5인 원의 방정식은 $x^2 + y^2 = 25$가 되겠죠?

2. 중심을 옮겨보자! - 원의 방정식의 표준형

모든 원의 중심이 원점일 리는 없겠죠? 이제 중심을 원하는 위치로 옮겨 봅시다. 원의 중심이 점 $C(a, b)$이고 반지름의 길이가 $r$인 경우는 어떻게 될까요?

이것도 원의 정의와 거리 공식만 있으면 해결됩니다! 원 위의 임의의 점을 $P(x, y)$라고 하면, 중심 $C(a,b)$와 점 $P(x,y)$ 사이의 거리가 항상 $r$이 되어야 합니다.

$$ \overline{CP} = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r $$

자, 여기서도 양변을 제곱해주면 우리가 찾던 원의 방정식의 '표준형'이 나타납니다.

원의 방정식: 표준형 (중심이 $(a, b)$)

원의 중심이 점 $(a, b)$이고 반지름의 길이가 $r$인 원의 방정식은 다음과 같습니다.

$$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $$

이 식을 보면 원의 중심 좌표와 반지름의 제곱을 한눈에 알 수 있어서 '표준형'이라고 부릅니다. 정말 중요하니 꼭 기억해두세요!

잠깐! 오개념 방지 팁!
- 식에서 $(x-a)^2$, $(y-b)^2$으로 되어 있을 때 중심의 좌표는 $(-a, -b)$가 아니라 $(a, b)$라는 점을 잊지 마세요. 부호가 반대랍니다!
- 방정식의 우변은 반지름 $r$이 아니라 반지름의 제곱인 $r^2$이라는 사실! 반지름을 구할 땐 꼭 제곱근을 씌워줘야 해요.

3. 방정식을 풀어헤치면? - 원의 방정식의 일반형

원의 방정식 표준형 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$을 모두 전개해서 정리하면 어떤 모습일까요?

$$ (x^2 - 2ax + a^2) + (y^2 - 2by + b^2) = r^2 $$ $$ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0 $$

이 식에서 $-2a = A$, $-2b = B$, $a^2 + b^2 - r^2 = C$ 와 같이 치환하면 다음과 같은 형태의 방정식을 얻을 수 있습니다. 이를 원의 방정식의 '일반형'이라고 해요.

원의 방정식: 일반형

$x$와 $y$에 대한 이차방정식 $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$은 원을 나타낼 수 있습니다.

이 방정식을 표준형으로 바꾸면, 중심과 반지름을 쉽게 찾을 수 있습니다.

$$ (x + \frac{A}{2})^2 + (y + \frac{B}{2})^2 = \frac{A^2 + B^2 - 4C}{4} $$

• 중심: $(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})$
• 반지름: $r = \frac{\sqrt{A^2 + B^2 - 4C}}{2}$

심화 팁: 모든 일반형이 원이 될까?
아주 중요한 질문입니다! 일반형 방정식이 항상 원을 나타내는 것은 아니에요. 반지름의 길이는 항상 양수여야 하니까, 반지름의 제곱인 $\frac{A^2 + B^2 - 4C}{4}$의 값에 따라 달라집니다.

• $A^2 + B^2 - 4C > 0$ : 반지름이 양수인 원이 됩니다.
• $A^2 + B^2 - 4C = 0$ : 반지름이 0이므로, 이는 점 $(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})$ 하나를 나타내는 점원이 됩니다.
• $A^2 + B^2 - 4C < 0$ : 반지름의 제곱이 음수가 될 수는 없죠? 따라서 이 방정식은 좌표평면 위에 아무런 도형도 나타내지 않습니다.

단계별 문제 해결 전략

이제 개념을 익혔으니, 실제 문제에 적용해 볼까요?

예제 1: 지름의 양 끝 점이 주어질 때
두 점 $A(2, 8)$과 $B(10, 2)$를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식을 구해볼까요?

[사고 과정] 원의 방정식을 구하려면 '중심'과 '반지름'이 필요해요.
1. 원의 중심은 지름의 중점과 같아요.
2. 원의 반지름은 중심에서 지름의 한쪽 끝 점까지의 거리와 같아요.

[풀이]
Step 1: 중심 구하기 (선분 AB의 중점)
중점의 좌표는 각 좌표의 평균으로 구하죠?

$$ \text{중심 좌표} = (\frac{2+10}{2}, \frac{8+2}{2}) = (6, 5) $$

Step 2: 반지름 구하기 (중심 (6, 5)와 점 A(2, 8) 사이의 거리)
두 점 사이의 거리 공식을 이용합니다.

$$ r = \sqrt{(6-2)^2 + (5-8)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 $$

Step 3: 원의 방정식 완성하기
중심이 $(6, 5)$이고 반지름이 $5$이므로, 표준형에 대입하면 끝!

$$ (x-6)^2 + (y-5)^2 = 5^2 = 25 $$

어때요, 간단하죠?

예제 2: 일반형을 표준형으로 바꾸기
방정식 $x^2 + y^2 + 6x - 4y - 3 = 0$이 나타내는 도형은 무엇일까요?

[사고 과정] 이 방정식은 원의 방정식 일반형과 형태가 같아요. 중심과 반지름을 알아보기 위해 완전제곱식 꼴인 표준형으로 바꿔야 합니다.

[풀이]
Step 1: x항과 y항끼리 묶어주기

$$ (x^2 + 6x) + (y^2 - 4y) = 3 $$

Step 2: 완전제곱식 만들기
각 괄호 안이 완전제곱식이 되려면 x항 계수의 절반의 제곱, y항 계수의 절반의 제곱을 양변에 더해줘야 해요. $x^2+6x$에 필요한 상수는 $(\frac{6}{2})^2=9$, $y^2-4y$에 필요한 상수는 $(\frac{-4}{2})^2=4$ 입니다.

$$ (x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) = 3 + 9 + 4 $$

Step 3: 표준형으로 정리하기

$$ (x+3)^2 + (y-2)^2 = 16 = 4^2 $$

[결론]
따라서 주어진 방정식은 중심이 $(-3, 2)$이고 반지름의 길이가 4인 원을 나타냅니다.

마무리하며

오늘은 원의 정의에서부터 시작하여 원의 방정식을 유도하고, 표준형과 일반형이라는 두 가지 표현 방법을 배웠습니다. 핵심은 "원은 중심과 반지름만 알면 모든 것을 알 수 있다"는 것이에요! 그리고 이 모든 것은 우리가 이미 배운 '두 점 사이의 거리' 공식에서 출발했다는 점도 놀랍지 않나요?

원의 방정식을 자유자재로 다룰 수 있게 되면, 앞으로 배울 원과 직선의 위치 관계, 그리고 더 나아가 기하학의 여러 문제를 해결하는 데 큰 무기를 얻게 되는 셈입니다. 오늘 배운 내용, 꼭 여러 번 반복해서 풀어보고 자기 것으로 만들어주세요!

다음 시간에는 오늘 배운 원이 직선과 만날 때 어떤 일이 벌어지는지, '원과 직선의 위치 관계'에 대해 알아보겠습니다. 기대해 주세요!

오늘도 수고 많았습니다! 수학쟁이 선생님이었습니다.