미래엔 공통수학 교과서 [명제의 증명] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학 교과서 [명제의 증명] 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님이에요! 🤓

오늘은 공통수학 '집합과 명제' 대단원의 마지막, '명제의 증명'에 대해 함께 공부해 볼 거예요. 증명이라고 하면 왠지 어렵고 막막하게 느껴지는 친구들이 많을 텐데요, 오늘 저와 함께 차근차근 원리를 파고들면 '아하!'하고 무릎을 탁 치게 될 거예요. 이 단원은 논리적 사고력의 기초를 다지는 아주 중요한 부분이랍니다. 그럼, 시작해 볼까요? 🚀

[명제의 증명] 핵심 포인트

이 단원에서는 명제가 참임을 논리적으로 밝히는 여러 가지 방법을 배워요. 앞으로 수학을 공부하는 내내 사용될 중요한 도구들이니, 각 방법의 개념과 흐름을 확실히 이해해 두는 것이 중요해요!

1. 용어 정리

• 정의(Definition): 용어의 뜻을 명확하게 정한 문장이에요. (예: 두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라고 한다.)
• 정리(Theorem): 참임이 증명된 명제 중에서 기본이 되거나 다른 명제를 증명할 때 이용할 수 있는 것이에요. (예: 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.)
• 증명(Proof): 어떤 명제가 참임을 논리적인 근거를 들어 밝히는 과정이에요.

2. 증명 방법

• 대우를 이용한 증명법: "p → q"라는 명제를 증명하기 어려울 때, 그와 참·거짓이 항상 같은 명제인 대우 "~q → ~p"가 참임을 보여 원래 명제가 참임을 증명하는 방법이에요.
• 귀류법 (Proof by Contradiction): 명제의 결론을 부정한 후, 논리를 전개했을 때 모순이 발생함을 보여 원래의 명제가 참일 수밖에 없다고 증명하는 방법이에요. '~라고 가정해보자. 어? 말이 안 되네! 따라서 원래 말이 맞다!' 이런 흐름이죠.

3. 절대부등식

주어진 집합의 모든 원소에 대하여 항상 성립하는 부등식을 말해요. 절대부등식을 증명할 때는 다음 성질들이 아주 유용하게 쓰여요.

• 두 실수 A, B에 대하여:
• $A-B > 0 \iff A > B$
• $A^2 \ge 0$
• $A^2+B^2 \ge 0$ (등호는 $A=0, B=0$일 때 성립)
• $A^2+B^2=0 \iff A=0, B=0$
• $|A|^2 = A^2$, $|AB|=|A||B|$
• $A \ge 0, B \ge 0$일 때, $A > B \iff A^2 > B^2$

특히, 이 단원에서 배우는 두 가지 중요한 절대부등식은 반드시 기억해야 해요!

• 산술평균과 기하평균의 관계: $a>0, b>0$일 때,
  $$ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$
  (단, 등호는 $a=b$일 때 성립)
• 코시-슈바르츠 부등식 (교과서에 직접 나오진 않지만 비슷한 형태가 나와요!): 실수 $a, b, x, y$에 대하여
  $$ (a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2 $$
  (단, 등호는 $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$일 때 성립)
  *우리 교과서에서는 $|a+b| \le |a| + |b|$ 형태로 먼저 접하게 될 거예요.

교과서 문제 풀이 (p.91 ~ p.95)

p.91 예제 1

대우를 이용하여 다음 명제가 참임을 증명하시오.

'자연수 $n$에 대하여 $n^2$이 짝수이면 $n$도 짝수이다.'

자, '대우'를 이용하라고 했으니 먼저 주어진 명제의 대우를 만들어 봐야겠죠?

주어진 명제는 'p → q' 꼴로 볼 수 있어요.

• p: $n^2$이 짝수이다.
• q: $n$이 짝수이다.

명제의 대우는 '~q → ~p' 꼴이니까, 각 조건을 부정해서 순서를 바꿔주면 돼요.

• ~q: $n$이 짝수가 아니다. 즉, $n$이 홀수이다.
• ~p: $n^2$이 짝수가 아니다. 즉, $n^2$이 홀수이다.

따라서, 증명해야 할 대우 명제는 "자연수 $n$에 대하여 $n$이 홀수이면 $n^2$도 홀수이다."가 됩니다.

[증명]

$n$이 홀수이므로, $n$을 자연수 $k$를 이용하여 $n = 2k-1$로 나타낼 수 있어요.

이제 $n^2$을 계산해 보면,

$$ n^2 = (2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1 $$

이 식을 2로 묶어보면,

$$ n^2 = 2(2k^2 - 2k) + 1 $$

여기서 $2k^2-2k$는 자연수 또는 0이므로, $2(2k^2-2k)$는 짝수예요. 짝수에 1을 더했으니 $n^2$은 홀수가 되네요!

자, 보세요. 대우 명제 '$n$이 홀수이면 $n^2$도 홀수이다'가 참임을 보였죠?
원래 명제와 그 대우는 참과 거짓을 항상 함께하므로, 주어진 명제 '$n^2$이 짝수이면 $n$도 짝수이다' 역시 참입니다. (증명 끝)

p.91 문제 1

대우를 이용하여 다음 명제가 참임을 증명하시오.

'자연수 $n$에 대하여 $n^2$이 3의 배수이면 $n$도 3의 배수이다.'

이 문제도 예제 1처럼 대우를 이용해서 증명해 볼게요.

[주어진 명제의 대우]

"자연수 $n$에 대하여 $n$이 3의 배수가 아니면 $n^2$도 3의 배수가 아니다."

자연수 $n$이 3의 배수가 아닌 경우는 두 가지로 나눌 수 있어요. 3으로 나누었을 때 나머지가 1인 경우와 2인 경우죠.

[증명]

(i) $n$을 3으로 나누었을 때 나머지가 1인 경우

$n = 3k-2$ (단, $k$는 자연수) 라고 놓을 수 있어요. (또는 $n=3k+1$ (단, $k$는 0 또는 자연수)로 놓아도 돼요. 편한 쪽으로!)
$n^2$을 계산해 보면,

$$ n^2 = (3k-2)^2 = 9k^2 - 12k + 4 = 3(3k^2-4k+1) + 1 $$

$3(3k^2-4k+1)$은 3의 배수이므로, $n^2$은 3으로 나누었을 때 나머지가 1이 되네요. 즉, 3의 배수가 아니에요.

(ii) $n$을 3으로 나누었을 때 나머지가 2인 경우

$n = 3k-1$ (단, $k$는 자연수) 이라고 놓을 수 있어요.
$n^2$을 계산해 보면,

$$ n^2 = (3k-1)^2 = 9k^2 - 6k + 1 = 3(3k^2-2k) + 1 $$

$3(3k^2-2k)$는 3의 배수이므로, $n^2$은 이 경우에도 3으로 나누었을 때 나머지가 1이네요. 즉, 3의 배수가 아니에요.

(i), (ii)의 모든 경우에서 $n$이 3의 배수가 아니면 $n^2$도 3의 배수가 아님이 증명되었어요.
따라서 대우 명제가 참이므로, 원래 명제인 '$n^2$이 3의 배수이면 $n$도 3의 배수이다'도 참입니다. (증명 끝)

p.92 예제 2

귀류법을 이용하여 다음 명제가 참임을 증명하시오.

'$\sqrt{2}$는 유리수가 아니다.'

귀류법은 결론을 부정해서 모순을 이끌어내는 방법이죠. 여기서 결론은 '유리수가 아니다'이므로,이것의 부정인「$\sqrt{2}$는 유리수이다」라고 가정하고 출발해 볼게요.

[증명]

$\sqrt{2}$가 유리수라고 가정하면, $\sqrt{2}$는 분수 꼴로 나타낼 수 있어요. 특히, 더 이상 약분되지 않는 서로소인 두 자연수 $m, n$을 이용해서

$$ \sqrt{2} = \frac{n}{m} $$

으로 나타낼 수 있습니다.

양변에 $m$을 곱하면 $n = \sqrt{2}m$ 이고, 양변을 제곱하면,

$$ n^2 = 2m^2 $$

이 식은 $n^2$이 2의 배수, 즉 짝수임을 의미해요.
바로 위에서 증명한 '예제 1'에 따르면 $n^2$이 짝수이면 $n$도 짝수가 되어야 하죠.
그래서 $n$을 다른 자연수 $k$를 이용해 $n=2k$로 표현할 수 있어요.

이 $n=2k$를 $n^2 = 2m^2$ 식에 다시 대입해 볼게요.

$$ (2k)^2 = 2m^2 \implies 4k^2 = 2m^2 \implies m^2 = 2k^2 $$

어라? 이 식은 $m^2$ 역시 2의 배수, 즉 짝수라는 뜻이네요. 그럼 또다시 '예제 1'에 의해 $m$도 짝수가 됩니다.

자, 여기서 모순이 발생했어요!
분명 처음에 $m$과 $n$은 더 이상 약분되지 않는 서로소인 자연수라고 가정했는데, 증명 과정을 따라가 보니 $m$과 $n$이 둘 다 짝수(2를 공약수로 가짐)라는 결론이 나왔어요. 이것은 '서로소'라는 가정에 명백히 위배되죠.

이런 모순이 왜 생겼을까요? 바로 맨 처음의 가정 "$\sqrt{2}$는 유리수이다"가 틀렸기 때문이에요!
따라서, $\sqrt{2}$는 유리수가 아니다. 즉, 무리수이다. (증명 끝)

p.92 문제 2

귀류법을 이용하여 다음 명제가 참임을 증명하시오.

'$1+\sqrt{2}$는 유리수가 아니다.'

이 문제도 귀류법을 사용해 볼게요. 결론을 부정해서 '$1+\sqrt{2}$는 유리수이다'라고 가정하고 시작합시다!

[증명]

$1+\sqrt{2}$가 유리수라고 가정하면, 어떤 유리수 $r$에 대하여

$$ 1+\sqrt{2} = r $$

로 나타낼 수 있어요.

이 식에서 1을 우변으로 이항하면,

$$ \sqrt{2} = r - 1 $$

자, 여기서 좌변과 우변을 잘 살펴봅시다.
가정에서 $r$은 유리수였죠. 그리고 1도 유리수예요. 유리수에서 유리수를 빼면 그 결과는 항상 유리수입니다. 즉, $r-1$은 유리수예요.

그런데 좌변의 $\sqrt{2}$는 어떤 수죠? 예제 2에서 증명했듯이 $\sqrt{2}$는 무리수예요.

어? 이상하죠? (무리수) = (유리수) 라는 식이 나왔네요. 이것은 명백한 모순입니다.

이 모순은 맨 처음의 가정 '$1+\sqrt{2}$는 유리수이다'가 잘못되었기 때문에 발생한 것이죠.

따라서, $1+\sqrt{2}$는 유리수가 아니다. (증명 끝)

p.92 예제 3

$a$와 $b$가 실수일 때, 부등식 $a^2-ab+b^2 \ge 0$이 성립함을 증명하시오.

이런 형태의 이차식 부등식은 '완전제곱식'을 만들어서 증명하는 경우가 많아요. 실수의 제곱은 항상 0 이상($A^2 \ge 0$)이라는 성질을 이용하는 거죠!

[증명]

주어진 식 $a^2-ab+b^2$을 $a$에 대한 내림차순으로 보고 완전제곱식으로 변형해 볼게요.

$$ \begin{align*} a^2 - ab + b^2 &= \left(a^2 - ab + \left(\frac{b}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + b^2 \\ &= \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4} + b^2 \\ &= \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}b^2 \end{align*} $$

$a$와 $b$가 실수이므로 $a-\frac{b}{2}$도 실수이고, $b$도 실수예요.
실수의 제곱은 항상 0 이상이므로,

$\left(a - \frac{b}{2}\right)^2 \ge 0$ 이고, $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$ 입니다.

0 이상인 두 값을 더했으니, 그 합도 당연히 0 이상이겠죠?

$$ \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0 $$

따라서, $a^2-ab+b^2 \ge 0$이 성립합니다.

(등호 성립 조건)
등호가 성립하려면 더하는 두 값이 모두 0이어야 해요. 즉,
$\left(a - \frac{b}{2}\right)^2 = 0$ 그리고 $\frac{3}{4}b^2=0$ 이어야 합니다.
따라서 $b=0$이고,이것을 $a-\frac{b}{2}=0$에 대입하면 $a=0$이 됩니다.
결론적으로 등호는 $a=b=0$일 때 성립합니다. (증명 끝)

p.93 문제 3

$a$와 $b$가 실수일 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오.

(1) $(a+b)^2 \ge 4ab$

(2) $a^2-4ab+5b^2 \ge 0$

(1) $(a+b)^2 \ge 4ab$

[증명]
부등식 증명의 기본은 '한쪽에서 다른 쪽을 빼서 0보다 크거나 같은지' 확인하는 거예요.
$(a+b)^2 - 4ab$를 계산해 봅시다.

$$ (a+b)^2 - 4ab = (a^2+2ab+b^2) - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $$

$a, b$가 실수이므로 $a-b$도 실수이고, 실수의 제곱은 항상 0보다 크거나 같죠?
따라서 $(a-b)^2 \ge 0$ 입니다.
결론적으로 $(a+b)^2 - 4ab \ge 0$이므로, $(a+b)^2 \ge 4ab$가 성립합니다.
(단, 등호는 $a-b=0$, 즉 $a=b$일 때 성립합니다.)

---

(2) $a^2-4ab+5b^2 \ge 0$

[증명]
이것도 완전제곱식으로 변형해서 증명해 볼게요. $a$에 대해 정리해봅시다.

$$ \begin{align*} a^2 - 4ab + 5b^2 &= (a^2 - 4ab + 4b^2) - 4b^2 + 5b^2 \\ &= (a-2b)^2 + b^2 \end{align*} $$

$a, b$가 실수이므로 $a-2b$와 $b$도 실수입니다.
$(a-2b)^2 \ge 0$ 이고 $b^2 \ge 0$ 이므로, 두 값을 더한 $(a-2b)^2+b^2$도 0보다 크거나 같습니다.
따라서 $a^2-4ab+5b^2 \ge 0$이 성립합니다.
(단, 등호는 $a-2b=0$이고 $b=0$일 때, 즉 $a=0, b=0$일 때 성립합니다.)

p.93 예제 4

$a>0$이고 $b>0$일 때, 부등식 $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$가 성립함을 증명하시오.

이 부등식은 이름도 유명한 산술-기하 평균 부등식이에요! 정말 중요하니 꼭 기억해두세요!

[증명]
$a>0, b>0$이므로 $\frac{a+b}{2} > 0$이고 $\sqrt{ab} > 0$입니다.
두 양수에 대한 부등식이므로 양변을 제곱해서 빼도 되지만, 그냥 빼서 0보다 크거나 같은지 확인하는 게 더 간단해요.

$$ \begin{align*} \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} &= \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2} \\ &= \frac{(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2}{2} \\ &= \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \end{align*} $$

분자 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$은 실수의 제곱이므로 항상 0보다 크거나 같죠. 분모인 2는 양수고요.
따라서 $\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \ge 0$ 입니다.

결론적으로 $\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \ge 0$ 이므로, $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ 가 성립합니다.
(단, 등호는 $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$, 즉 $a=b$일 때 성립합니다.)

p.94 문제 4

$a>0$이고 $b>0$일 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오.

(1) $a+\frac{1}{a} \ge 2$

(2) $\sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a+b}$

(1) $a+\frac{1}{a} \ge 2$

[증명]
이건 산술-기하 평균 부등식을 바로 적용하면 아주 간단하게 풀려요.
$a>0$이므로 $\frac{1}{a}$도 양수죠. 두 양수 $a$와 $\frac{1}{a}$에 산술-기하 평균 부등식을 적용하면,

$$ \frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt{1} = 1 $$

양변에 2를 곱하면,

$$ a + \frac{1}{a} \ge 2 $$

증명 끝! 아주 간단하죠?
(단, 등호는 $a=\frac{1}{a}$, 즉 $a^2=1$이고 $a>0$이므로 $a=1$일 때 성립합니다.)

---

(2) $\sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a+b}$

[증명]
이 부등식은 산술-기하-조화 평균 관계의 일부예요. $\sqrt{ab}$는 기하평균, $\frac{2ab}{a+b}$는 조화평균이라고 부른답니다.
$a>0, b>0$이므로 양변이 모두 양수예요. 양쪽에서 빼서 0보다 크거나 같은지 확인해 봅시다.

$$ \begin{align*} \sqrt{ab} - \frac{2ab}{a+b} &= \frac{\sqrt{ab}(a+b) - 2ab}{a+b} \\ &= \frac{\sqrt{ab}(a+b) - 2\sqrt{ab}\sqrt{ab}}{a+b} \\ &= \frac{\sqrt{ab}(a+b - 2\sqrt{ab})}{a+b} \\ &= \frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{a+b} \end{align*} $$

$a>0, b>0$이므로 분모 $a+b > 0$, 분자 $\sqrt{ab} > 0$, 그리고 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ 입니다.
따라서 $\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{a+b} \ge 0$ 이므로, $\sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a+b}$가 성립합니다.
(단, 등호는 $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$, 즉 $a=b$일 때 성립합니다.)

p.94 예제 5

$a$와 $b$가 실수일 때, 부등식 $|a+b| \le |a|+|b|$가 성립함을 증명하시오.

이 부등식은 삼각 부등식이라고 불리는 아주 유명한 부등식이에요. 양변이 모두 0 이상이므로, 양변을 제곱해서 그 차가 0 이상임을 보이는 방법으로 증명해 볼게요.

[증명]
보여야 할 부등식은 $|a+b| \le |a|+|b|$ 입니다.
$(|a|+|b|)^2 - |a+b|^2$ 의 값이 0 이상임을 보이면 됩니다.

$$ \begin{align*} (|a|+|b|)^2 - |a+b|^2 &= (|a|^2 + 2|a||b| + |b|^2) - (a+b)^2 \\ &= (a^2 + 2|ab| + b^2) - (a^2+2ab+b^2) \\ &= a^2 + 2|ab| + b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \\ &= 2|ab| - 2ab \\ &= 2(|ab|-ab) \end{align*} $$

절댓값의 성질에 의해, 어떤 실수 $x$에 대해서도 항상 $|x| \ge x$가 성립해요.
따라서 $|ab| \ge ab$ 이므로, $|ab|-ab \ge 0$ 입니다.

그러므로 $2(|ab|-ab) \ge 0$ 이고, 이는 $(|a|+|b|)^2 - |a+b|^2 \ge 0$임을 의미해요.
결론적으로 $(|a|+|b|)^2 \ge |a+b|^2$ 이고, 양변이 모두 0 이상이므로 $|a|+|b| \ge |a+b|$ 가 성립합니다.
(단, 등호는 $|ab|=ab$, 즉 $ab \ge 0$일 때 성립합니다. 두 수의 부호가 같거나 둘 중 하나가 0일 때죠.)

p.94 문제 5

$a$와 $b$가 실수일 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오.

(1) $|a-b| \le |a|+|b|$

(2) $|a|-|b| \le |a-b|$

(1) $|a-b| \le |a|+|b|$

[증명]
이것은 예제 5에서 증명한 삼각 부등식을 이용하면 쉽게 보일 수 있어요.
예제 5의 결과 $|x+y| \le |x|+|y|$는 모든 실수 $x, y$에 대해 성립하죠.
여기서 $y$ 대신 $-b$를 대입해 볼게요. $-b$도 실수니까요.

$$ |a+(-b)| \le |a| + |-b| $$

그런데 $|-b|=|b|$ 이므로, 위 식은

$$ |a-b| \le |a| + |b| $$

가 되어 증명이 끝납니다. 참 쉽죠?
(단, 등호는 $a(-b) \ge 0$, 즉 $ab \le 0$일 때 성립합니다.)

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(2) $|a|-|b| \le |a-b|$

[증명]
이것도 삼각 부등식을 교묘하게 변형해서 증명할 수 있어요.
$|a| = |(a-b)+b|$ 로 식을 변형할 수 있죠?
여기에 삼각 부등식 $|x+y| \le |x|+|y|$를 적용하면,

$$ |a| = |(a-b)+b| \le |a-b| + |b| $$

즉, $|a| \le |a-b| + |b|$ 입니다.
여기서 $|b|$를 좌변으로 이항하면 우리가 증명하려던 식이 나와요!

$$ |a| - |b| \le |a-b| $$

이렇게 증명이 완료됩니다.
(단, 등호는 $b(a-b) \ge 0$ 이고 $|a| \ge |b|$일 때 성립합니다.)

p.95 탐구&융합

절대부등식을 도형으로 증명할 수도 있지!

탐구 1 오른쪽 그림에서 ABCD는 직각을 낀 두 변의 길이가 $\sqrt{a}$와 $\sqrt{b}$인 직각삼각형 네 개를 붙여서 만든 정사각형이다. 이것을 이용하여 부등식 $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$가 성립함을 증명해 보자.

탐구 2 오른쪽 그림에서 ABCD와 EFGH는 넓이가 $a^2$인 정사각형이고, BIFJ와 DKHL은 넓이가 $b^2$인 정사각형이다. 이것을 이용하여 부등식 $(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)$이 성립함을 증명해 보자.

탐구 1 증명

주어진 도형에서 바깥쪽 큰 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 빗변의 길이와 같아요. 빗변의 길이는 피타고라스 정리에 의해 $\sqrt{(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2} = \sqrt{a+b}$ 입니다.
따라서 큰 정사각형 ABCD의 넓이는 $(\sqrt{a+b})^2 = a+b$ 입니다.

이 정사각형은 4개의 직각삼각형과 가운데 작은 정사각형으로 이루어져 있죠.

• 직각삼각형 1개의 넓이: $\frac{1}{2} \times \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \frac{1}{2}\sqrt{ab}$
• 직각삼각형 4개의 넓이 합: $4 \times \frac{1}{2}\sqrt{ab} = 2\sqrt{ab}$

큰 정사각형의 넓이는 그 안을 구성하는 도형들의 넓이의 합보다 크거나 같습니다. (가운데 작은 정사각형의 넓이가 0 이상이므로)

따라서, (큰 정사각형의 넓이) $\ge$ (삼각형 4개의 넓이) 이므로,

$$ a+b \ge 2\sqrt{ab} $$

양변을 2로 나누면 우리가 잘 아는 산술-기하 평균 부등식이 나옵니다.

$$ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$

등호는 가운데 작은 정사각형의 넓이가 0일 때, 즉 $\sqrt{a}=\sqrt{b}$일 때이므로 $a=b$일 때 성립합니다.

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탐구 2 증명

탐구 2의 그림은 큰 정사각형(AIGL) 안에 $a \times a$ 정사각형 2개와 $b \times b$ 정사각형 2개가 겹쳐져 있는 형태네요.
가장 큰 정사각형 AIGL의 한 변의 길이는 $a+b$이므로, 가장 큰 정사각형의 넓이는 $(a+b)^2$ 입니다.

이 큰 정사각형은 넓이가 $a^2$인 정사각형 2개와 넓이가 $b^2$인 정사각형 2개를 포함하고 있어요. 그림을 잘 보면 $a^2$짜리 정사각형과 $b^2$짜리 정사각형들이 서로 겹치는 부분이 있죠.
이 그림에서 가장 큰 정사각형 AIGL의 넓이는 안에 포함된 4개 정사각형(넓이 $a^2$ 2개, $b^2$ 2개)의 넓이의 합보다 작거나 같습니다. (겹치는 부분을 빼주어야 하므로)

따라서, (큰 정사각형 AIGL의 넓이) $\le$ (내부 4개 정사각형 넓이의 합) 이므로,

$$ (a+b)^2 \le a^2 + a^2 + b^2 + b^2 $$

$$ (a+b)^2 \le 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2+b^2) $$

이렇게 도형의 넓이 관계를 통해 부등식이 성립함을 알 수 있습니다.
(이 부등식은 코시-슈바르츠 부등식의 특수한 경우랍니다!)

개념 확장 및 연관성

오늘 배운 증명법, 특히 귀류법은 수학의 정수를 보여주는 아름다운 방법 중 하나예요. '소수가 무한히 많다'거나 '$\sqrt{2}$는 무리수다'와 같은 수학의 근본적인 사실들을 증명하는 데 쓰이죠. 이 논리적 사고방식은 나중에 컴퓨터 과학에서 알고리즘의 정당성을 증명하거나, 철학적 논증을 할 때도 똑같이 사용된답니다.

절대부등식, 특히 산술-기하 평균 부등식은 '최댓값'과 '최솟값'을 구하는 문제에서 강력한 무기가 됩니다. 합이나 곱이 일정할 때, 다른 값의 범위를 구하는 문제는 앞으로 수능이나 내신에서 정말 자주 만나게 될 거예요. 물리에서 에너지 효율을 따지거나 경제학에서 이윤을 극대화하는 등 최적화 문제의 기본 원리가 바로 여기에 숨어있답니다!

오개념 방지 및 심화 팁

🚨 실수하기 쉬운 포인트! 🚨

• 대우 vs 역/이: 명제 'p → q'의 대우는 '~q → ~p'예요. 가정과 결론을 각각 부정한 뒤, 순서를 바꾸는 거죠. 단순히 순서만 바꾼 'q → p'는 역(converse), 순서는 그대로 두고 부정만 한 '~p → ~q'는 이(inverse)라고 해요. 원명제와 대우는 참/거짓이 항상 같지만, 역과 이는 그렇지 않다는 점! 절대 헷갈리면 안 돼요!
• 산술-기하 평균의 조건: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$는 아무 때나 쓸 수 있는 게 아니에요. 반드시 $a>0, b>0$이라는 조건이 있을 때만 사용할 수 있다는 걸 잊지 마세요.
• 등호 성립 조건의 중요성: 부등식을 증명하고 나면, '그래서 등호는 언제 성립하는데?'라는 질문에 답할 수 있어야 해요. 최솟값이나 최댓값을 구하는 문제에서는 바로 이 등호 성립 조건이 답을 결정하는 결정적인 역할을 한답니다. 증명 문제에서 등호 조건을 빼먹으면 감점의 요인이 될 수 있어요!

마무리하며

오늘은 '명제의 증명'이라는 조금은 딱딱할 수 있는 주제를 다뤄봤어요. 하지만 직접 증명 과정을 따라가 보니 생각보다 어렵지 않았죠? 논리라는 실을 따라 한 걸음씩 나아가는 과정 자체가 수학의 큰 매력이랍니다.

특히 대우를 이용한 증명, 귀류법, 그리고 절대부등식은 앞으로 여러분이 더 높은 수준의 수학을 공부하기 위한 튼튼한 발판이 될 거예요. 오늘 배운 내용 꼭 복습하고, 다음 단원인 '함수'에서 더 재미있는 내용으로 만나요! 오늘도 수고 많았어요! 화이팅! 💪