미래엔 공통수학2 교과서 [명제] 중단원 마무리 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학2 교과서 [2-2 명제] 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 😊

오늘은 공통수학2의 두 번째 대단원, '집합과 명제' 중에서도 논리의 꽃이라 불리는 '명제' 파트를 함께 정복해 보려고 해요. 명제는 수학적 논리를 세우는 가장 기본적인 도구이자, 앞으로 배울 모든 수학 내용의 뼈대가 된답니다. 조금 낯설게 느껴질 수 있지만, 저와 함께 차근차근 따라오다 보면 어느새 명제 박사가 되어 있을 거예요! 자, 그럼 미래엔 공통수학2 교과서 96페이지부터 97페이지까지, 중단원 마무리 문제를 하나씩 격파해 볼까요? 🚀

[2-2 명제] 핵심 포인트

• 명제와 조건: 참, 거짓을 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 '명제'라고 해요. 변수의 값에 따라 참, 거짓이 달라지는 문장이나 식은 '조건'이라고 부릅니다. 각 조건이 참이 되게 하는 원소들의 모임을 '진리집합'이라고 하죠.


• 명제의 부정: 명제 p에 대하여 '~p'는 'p가 아니다'라는 뜻이에요. p가 참이면 ~p는 거짓, p가 거짓이면 ~p는 참이 됩니다. '모든'의 부정은 '어떤'이 되고, '어떤'의 부정은 '모든'이 된다는 점, 잊지 마세요!


• 명제의 역과 대우: 명제 'p이면 q이다' ($p \rightarrow q$)에서
  • 역: 가정과 결론을 바꾼 명제 ($q \rightarrow p$)
  • 대우: 가정과 결론을 각각 부정한 후 서로 바꾼 명제 ($\sim q \rightarrow \sim p$)
  중요한 점은, 원래 명제와 그 대우는 참과 거짓을 항상 함께한다는 사실! (참이면 참, 거짓이면 거짓)


• 필요조건과 충분조건: 명제 $p \rightarrow q$가 참일 때 ($p \Rightarrow q$),
  • p는 q이기 위한 충분조건 (p이면 q가 되기에 충분!)
  • q는 p이기 위한 필요조건 (q가 되려면 p가 필요!)
  두 조건의 진리집합 P, Q에 대하여 $P \subset Q$ 관계가 성립해요. 만약 $p \Leftrightarrow q$ (p와 q가 동치, 즉 $P=Q$)이면 '필요충분조건'이라고 합니다.


• 명제의 증명:
  • 대우증명법: 명제 'p이면 q이다'를 증명하기 어려울 때, 그 대우인 'q가 아니면 p가 아니다'가 참임을 보여 증명하는 방법
  • 귀류법: 명제의 결론을 부정하여 모순이 생기는 것을 보여 원래 명제가 참임을 증명하는 방법

교과서 문제 풀이 (96~97p.)

미래엔 공통수학2 | 96p 01번

다음에서 명제를 모두 찾고, 그 참, 거짓을 판별하시오.

(1) $\sqrt{4}$는 유리수이다.
(2) x는 100보다 큰 수이다.
(3) 26은 3의 배수이다.
(4) 우리나라는 아름다운 나라이다.

[풀이]

명제란 참(True) 또는 거짓(False)을 객관적으로 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 말해요. 이 기준을 가지고 각 보기를 살펴볼게요.

(1) $\sqrt{4}$는 유리수이다.
$\sqrt{4} = 2$이고, 2는 정수이므로 유리수가 맞습니다. 따라서 이 문장은 참인 명제입니다. (O)

(2) x는 100보다 큰 수이다.
이 문장은 변수 x의 값에 따라 참이 되기도 하고(예: x=101) 거짓이 되기도(예: x=50) 합니다. 이렇게 변수의 값에 따라 참, 거짓이 달라지는 것은 '조건'이라고 부르며, 명제가 아닙니다. (X)

(3) 26은 3의 배수이다.
26을 3으로 나누면 나머지가 2이므로, 26은 3의 배수가 아닙니다. 따라서 이 문장은 거짓인 명제입니다. (O)

(4) 우리나라는 아름다운 나라이다.
'아름답다'는 기준은 사람마다 다르기 때문에 객관적으로 참, 거짓을 판별할 수 없습니다. 따라서 명제가 아닙니다. (X)

✨ 정답: 명제인 것은 (1)과 (3)이며, (1)은 참, (3)은 거짓이다.

미래엔 공통수학2 | 96p 02번

전체집합 $U = \{x|x는 7 이하의 자연수\}$에 대하여 두 조건 p와 q가
$p: x^2 - 6x + 8 = 0$,      $q: x^2 - 6x + 9 > 0$
일 때, 다음 조건의 진리집합을 구하시오.

(1) p      (2) q      (3) ~p      (4) ~q

[풀이]

먼저 전체집합 $U$는 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$입니다. 이제 각 조건의 진리집합(조건을 참으로 만드는 원소들의 집합)을 구해볼게요.

(1) 조건 p의 진리집합 P
$p: x^2 - 6x + 8 = 0$
이차방정식을 인수분해하면 $(x-2)(x-4) = 0$ 입니다.
따라서 해는 $x=2$ 또는 $x=4$ 입니다.
이 원소들은 모두 전체집합 $U$에 속하므로, 조건 p의 진리집합은 $P=\{2, 4\}$ 입니다.

(2) 조건 q의 진리집합 Q
$q: x^2 - 6x + 9 > 0$
좌변을 완전제곱식으로 바꾸면 $(x-3)^2 > 0$ 입니다.
실수의 제곱은 항상 0 이상이므로, $(x-3)^2$은 $x=3$일 때 0이 되고, $x \ne 3$일 때는 항상 0보다 큽니다.
따라서 조건 q를 만족시키는 x의 값은 $x \ne 3$인 모든 실수입니다.
전체집합 $U$에서 3을 제외한 원소들의 집합이므로, 진리집합은 $Q=\{1, 2, 4, 5, 6, 7\}$ 입니다.

(3) 조건 ~p의 진리집합 $P^C$
'~p'는 조건 p의 부정이므로, 진리집합은 $P$의 여집합인 $P^C$입니다.
$P=\{2, 4\}$이므로, $P^C = U - P = \{1, 3, 5, 6, 7\}$ 입니다.

(4) 조건 ~q의 진리집합 $Q^C$
'~q'는 조건 q의 부정이므로, 진리집합은 $Q$의 여집합인 $Q^C$입니다.
$q$가 $x \ne 3$이므로, ~q는 $x = 3$입니다.
따라서 진리집합은 $Q^C = \{3\}$ 입니다.

✨ 정답: (1) $\{2, 4\}$    (2) $\{1, 2, 4, 5, 6, 7\}$    (3) $\{1, 3, 5, 6, 7\}$    (4) $\{3\}$

미래엔 공통수학2 | 96p 03번

다음 명제의 역과 대우를 말하고, 그 참, 거짓을 판별하시오.

(1) x가 자연수이면 x는 유리수이다.
(2) $x(x+1)=0$이면 $x+1=0$이다.

[풀이]

명제 '$p \rightarrow q$'에 대하여 역은 '$q \rightarrow p$'이고, 대우는 '$\sim q \rightarrow \sim p$'입니다. 그리고 원래 명제와 대우는 참, 거짓이 항상 같다는 사실을 기억하세요!

(1) x가 자연수이면 x는 유리수이다.

• 원래 명제: 모든 자연수는 유리수에 포함되므로 참입니다.
• 역: "x가 유리수이면 x는 자연수이다."
  유리수 중에는 $\frac{1}{2}$과 같이 자연수가 아닌 수도 있습니다. (반례: $x=\frac{1}{2}$)
  따라서 거짓입니다.
• 대우: "x가 유리수가 아니면 x는 자연수가 아니다."
  원래 명제가 참이므로, 그 대우도 반드시 참입니다. (실제로 무리수는 자연수가 될 수 없죠.)

(2) $x(x+1)=0$이면 $x+1=0$이다.

• 원래 명제: $x(x+1)=0$의 해는 $x=0$ 또는 $x=-1$입니다. 이 중에서 $x+1=0$ (즉, $x=-1$)이 아닌 경우($x=0$)도 있으므로, 이 명제는 거짓입니다. (반례: $x=0$)
• 역: "$x+1=0$이면 $x(x+1)=0$이다."
  $x+1=0$이면 $x=-1$이고, 이를 $x(x+1)$에 대입하면 $(-1)(-1+1)=0$이므로 성립합니다.
  따라서 참입니다.
• 대우: "$x+1 \ne 0$이면 $x(x+1) \ne 0$이다."
  원래 명제가 거짓이므로, 그 대우도 거짓입니다. (반례: $x=0$일 때, $x+1 \ne 0$이지만 $x(x+1)=0$입니다.)

미래엔 공통수학2 | 96p 04번

두 조건 p와 q가 다음과 같을 때, p는 q이기 위한 어떤 조건인지 말하시오.

(1) $p: x \le 1$      $q: -3 \le x \le 0$
(2) $p: a=b$      $q: a^2=b^2$
(3) $p: |x| \le 1$      $q: -1 \le x \le 1$

[풀이]

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 할 때, 포함 관계를 통해 필요, 충분 조건을 판단할 수 있어요.
- $P \subset Q$ 이면 p는 q이기 위한 충분조건
- $Q \subset P$ 이면 p는 q이기 위한 필요조건
- $P = Q$ 이면 p는 q이기 위한 필요충분조건

(1) $p: x \le 1$,   $q: -3 \le x \le 0$
두 조건의 진리집합은 $P=\{x|x \le 1\}$, $Q=\{x|-3 \le x \le 0\}$ 입니다.
Q에 속하는 모든 원소(-3, -1, 0 등)는 P에 속하지만, P에 속하는 원소(예: 1) 중에는 Q에 속하지 않는 것이 있습니다. 즉, $Q \subset P$ 입니다.
따라서 p는 q이기 위한 필요조건입니다.

(2) $p: a=b$,   $q: a^2=b^2$
$p \Rightarrow q$: $a=b$이면 양변을 제곱해도 등식은 성립하므로 $a^2=b^2$ 입니다. (참)
$q \Rightarrow p$: $a^2=b^2$이면 $a=b$ 또는 $a=-b$ 입니다. $a=b$가 항상 성립하는 것은 아닙니다. (반례: a=1, b=-1)
$p \Rightarrow q$만 성립하므로, p는 q이기 위한 충분조건입니다.

(3) $p: |x| \le 1$,   $q: -1 \le x \le 1$
조건 p를 풀면 $|x| \le 1 \Leftrightarrow -1 \le x \le 1$ 입니다.
조건 p의 진리집합 P와 조건 q의 진리집합 Q가 완전히 같습니다. 즉, $P=Q$ 입니다.
따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건입니다.

미래엔 공통수학2 | 97p 05번

다음 명제의 부정을 말하고, 그 참, 거짓을 판별하시오.

(1) 모든 실수 x에 대하여 $x^2 > x-1$이다.
(2) 어떤 실수 x에 대하여 $|3x-2| < 0$이다.

[풀이]

'모든'의 부정은 '어떤'으로, '어떤'의 부정은 '모든'으로 바뀐다는 점을 기억하세요! 부등호도 반대로 바꿔줘야 해요.

(1) 모든 실수 x에 대하여 $x^2 > x-1$이다.

• 부정: "어떤 실수 x에 대하여 $x^2 \le x-1$이다."
• 원래 명제의 참/거짓 판별:
  $x^2 > x-1$을 이항하면 $x^2 - x + 1 > 0$ 입니다.
  이 이차식의 판별식 $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1-4 = -3 < 0$ 입니다.
  이차항의 계수가 양수이고 판별식이 0보다 작으므로, 이차함수 $y=x^2-x+1$의 그래프는 x축 위에 떠 있는 모양입니다. 즉, 모든 실수 x에 대해 항상 0보다 큽니다. 따라서 원래 명제는 참입니다.
• 부정의 참/거짓 판별:
  원래 명제가 참이므로 그 부정은 거짓입니다.

(2) 어떤 실수 x에 대하여 $|3x-2| < 0$이다.

• 부정: "모든 실수 x에 대하여 $|3x-2| \ge 0$이다."
• 원래 명제의 참/거짓 판별:
  절댓값의 정의에 따라 $|3x-2|$는 항상 0보다 크거나 같습니다. 0보다 작은 경우는 존재하지 않습니다. 따라서 원래 명제는 거짓입니다.
• 부정의 참/거짓 판별:
  원래 명제가 거짓이므로 그 부정은 참입니다. (실제로 모든 실수의 절댓값은 0 이상이죠.)

미래엔 공통수학2 | 97p 06번

전체집합 U에 대하여 두 조건 p와 q의 진리집합을 각각 P와 Q라 하자. 명제 $p \rightarrow \sim q$가 참일 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르시오.

<보기>
ㄱ. $P \subset Q^C$
ㄴ. $P \cap Q = \emptyset$
ㄷ. $P^C \cap Q = Q$
ㄹ. $P^C \cup Q^C = U$

[풀이]

명제 $p \rightarrow \sim q$가 참이라는 것은, 조건 p의 진리집합 P가 조건 ~q의 진리집합 $Q^C$에 포함된다는 의미입니다. 즉, $P \subset Q^C$ 입니다.

이 관계를 벤 다이어그램으로 그려보면, P와 Q는 서로소 관계, 즉 겹치는 부분이 없는 것을 알 수 있습니다.

이제 각 보기를 확인해 봅시다.

• ㄱ. $P \subset Q^C$: 명제가 참일 조건의 정의 그 자체입니다. 참입니다.
• ㄴ. $P \cap Q = \emptyset$: $P \subset Q^C$라는 것은 P의 모든 원소가 Q의 원소가 아니라는 뜻입니다. 따라서 P와 Q의 공통 원소는 없습니다. 참입니다.
• ㄷ. $P^C \cap Q = Q$: 어떤 집합과 다른 집합의 교집합이 자기 자신이 나오려면, 자기 자신이 다른 집합의 부분집합이어야 합니다. 즉, $Q \subset P^C$를 의미합니다. 이는 $P \cap Q = \emptyset$와 같은 의미입니다. 참입니다.
• ㄹ. $P^C \cup Q^C = U$: 드모르간의 법칙에 의해 $P^C \cup Q^C = (P \cap Q)^C$ 입니다. ㄴ에서 $P \cap Q = \emptyset$이므로, $(P \cap Q)^C = \emptyset^C = U$ 입니다. 참입니다.

✨ 정답: ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

미래엔 공통수학2 | 97p 07번 (서술형)

실수 x에 대하여 두 조건 p와 q가
$p: x^2 - 4a^2 \le 0$,      $q: |x-3| \le 4$
일 때, 명제 $p \rightarrow q$의 역이 참이 되도록 하는 자연수 a의 최솟값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[풀이]

1. 역 명제 파악하기
주어진 명제 $p \rightarrow q$의 역은 $q \rightarrow p$입니다. 이 역 명제가 참이 되어야 합니다.

2. 각 조건의 진리집합 구하기
먼저 두 조건 p, q의 진리집합 P, Q를 각각 구합니다.
조건 $p: x^2 - 4a^2 \le 0 \implies (x-2a)(x+2a) \le 0$.
a는 자연수이므로 $a>0$ 입니다. 따라서 진리집합 $P = \{x | -2a \le x \le 2a\}$ 입니다.

조건 $q: |x-3| \le 4 \implies -4 \le x-3 \le 4$.
각 변에 3을 더하면 $-1 \le x \le 7$ 입니다.
따라서 진리집합 $Q = \{x | -1 \le x \le 7\}$ 입니다.

3. 참이 될 조건 찾기
명제 $q \rightarrow p$가 참이 되려면 진리집합 사이에 $Q \subset P$ 관계가 성립해야 합니다.

$\{x | -1 \le x \le 7\} \subset \{x | -2a \le x \le 2a\}$

수직선에 나타내보면, 집합 P가 집합 Q를 완전히 포함해야 합니다.

이 포함 관계가 성립하기 위한 조건은 다음과 같습니다.

$-2a \le -1$    그리고    $7 \le 2a$

첫 번째 부등식을 풀면 $2a \ge 1 \implies a \ge \frac{1}{2}$ 입니다.
두 번째 부등식을 풀면 $a \ge \frac{7}{2}$ 입니다.
두 조건을 모두 만족해야 하므로, 공통 범위는 $a \ge \frac{7}{2}$ 입니다.

4. 자연수 최솟값 구하기
$a \ge 3.5$ 를 만족하는 가장 작은 자연수 a는 4입니다.

✨ 정답: 4

미래엔 공통수학2 | 97p 08번

실수 x에 대하여 두 조건 p와 q가
$p: x^2 - 10x + 9 \le 0$,      $q: x \le a$
일 때, p가 q이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 a의 값의 범위를 구하시오.

[풀이]

p가 q이기 위한 충분조건이 되려면 명제 $p \rightarrow q$가 참이어야 합니다. 이는 조건 p의 진리집합 P가 조건 q의 진리집합 Q에 포함되는 관계, 즉 $P \subset Q$가 성립해야 함을 의미합니다.

1. 조건 p의 진리집합 P 구하기
$p: x^2 - 10x + 9 \le 0$
인수분해하면 $(x-1)(x-9) \le 0$ 입니다.
따라서 진리집합 $P = \{x | 1 \le x \le 9\}$ 입니다.

2. 조건 q의 진리집합 Q 구하기
$q: x \le a$
진리집합 $Q = \{x | x \le a\}$ 입니다.

3. 포함 관계($P \subset Q$)를 만족하는 a의 범위 찾기
$\{x | 1 \le x \le 9\} \subset \{x | x \le a\}$가 성립해야 합니다.
수직선에서 P가 Q에 포함되려면, Q의 범위가 P의 범위를 모두 덮어야 합니다. 즉, a는 P의 최댓값인 9보다 크거나 같아야 합니다.

따라서, $a \ge 9$ 입니다.

✨ 정답: $a \ge 9$

미래엔 공통수학2 | 97p 09번

세 조건 p, q, r에 대하여 두 명제 $p \rightarrow q$와 $\sim r \rightarrow \sim q$가 모두 참일 때, 항상 참인 명제를 <보기>에서 모두 고르시오.

<보기>
ㄱ. $q \rightarrow r$
ㄴ. $\sim p \rightarrow \sim q$
ㄷ. $\sim r \rightarrow \sim p$
ㄹ. $p \rightarrow \sim r$

[풀이]

주어진 두 명제가 모두 참이라고 했어요. 논리적인 연결고리를 찾아봅시다!

1. 주어진 조건 분석
- 명제 $p \rightarrow q$가 참이다. ($p \Rightarrow q$)
- 명제 $\sim r \rightarrow \sim q$가 참이다.
두 번째 명제의 대우를 생각해보면, 원래 명제와 참/거짓이 같으므로 명제 $q \rightarrow r$도 참입니다. ($q \Rightarrow r$)

2. 삼단논법 적용
우리는 $p \Rightarrow q$이고 $q \Rightarrow r$이라는 두 가지 참인 명제를 얻었습니다.
삼단논법에 의해, $p \Rightarrow r$ 또한 참인 명제가 됩니다.

3. <보기> 판별
우리가 찾아낸 참인 명제들($p \Rightarrow q$, $q \Rightarrow r$, $p \Rightarrow r$)과 그 대우들($\sim q \Rightarrow \sim p$, $\sim r \Rightarrow \sim q$, $\sim r \Rightarrow \sim p$)을 바탕으로 보기를 확인해 봅시다.

• ㄱ. $q \rightarrow r$: 위에서 밝혔듯이 $\sim r \rightarrow \sim q$의 대우이므로 참입니다.
• ㄴ. $\sim p \rightarrow \sim q$: 이것은 $p \rightarrow q$의 '이(inverse)'입니다. 원래 명제가 참이라고 해서 이가 반드시 참인 것은 아닙니다. (거짓일 수 있음)
• ㄷ. $\sim r \rightarrow \sim p$: 이것은 우리가 삼단논법으로 유도한 $p \rightarrow r$의 대우입니다. 따라서 참입니다.
• ㄹ. $p \rightarrow \sim r$: 우리는 $p \rightarrow r$이 참임을 알고 있습니다. 이것이 참이라고 해서 $p \rightarrow \sim r$이 항상 참인 것은 아닙니다. (거짓일 수 있음)

✨ 정답: ㄱ, ㄷ

미래엔 공통수학2 | 97p 10번 (서술형)

실수 x에 대하여 두 조건 p와 q가
$p: ax^2 + 2x - 4 \ge 0$,      $q: x^2 + 2bx + 25 > 0$
이다. 다음 두 명제가 모두 거짓이 되도록 하는 정수 a의 최댓값을 M, 자연수 b의 최솟값을 m이라 할 때, M+m의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

(가) 어떤 실수 x에 대하여 p이다.
(나) 모든 실수 x에 대하여 q이다.

[풀이]

두 명제가 모두 거짓이라고 했으므로, 각 명제의 부정이 참이라는 것을 이용해 문제를 해결해 봅시다.

1. 명제 (가)가 거짓일 조건
명제 "어떤 실수 x에 대하여 $p$이다."가 거짓이므로, 그 부정인 "모든 실수 x에 대하여 ~p이다."는 참이 되어야 합니다.
~p는 $ax^2 + 2x - 4 < 0$ 입니다.
이 이차부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면, 그래프가 x축 아래에 있어야 합니다. 즉, 위로 볼록한 포물선이어야 하고 x축과 만나지 않아야 합니다.
(i) 위로 볼록해야 하므로, $a < 0$ 입니다.
(ii) x축과 만나지 않아야 하므로, 판별식 $D < 0$ 이어야 합니다.

$D/4 = 1^2 - a(-4) = 1 + 4a < 0$

$4a < -1 \implies a < -\frac{1}{4}$

(i)과 (ii)의 공통 범위는 $a < -\frac{1}{4}$ 입니다.
따라서 이를 만족하는 정수 a의 최댓값 M = -1 입니다.

2. 명제 (나)가 거짓일 조건
명제 "모든 실수 x에 대하여 $q$이다."가 거짓이므로, 그 부정인 "어떤 실수 x에 대하여 ~q이다."는 참이 되어야 합니다.
~q는 $x^2 + 2bx + 25 \le 0$ 입니다.
이 이차부등식을 만족시키는 실수 x가 존재하려면(해가 있으려면), 아래로 볼록한 포물선인 $y=x^2+2bx+25$의 그래프가 x축과 만나거나 x축 아래로 내려오는 부분이 있어야 합니다.
따라서 판별식 $D' \ge 0$ 이어야 합니다.

$D'/4 = (b)^2 - 1(25) = b^2 - 25 \ge 0$

$b^2 \ge 25 \implies b \le -5 \text{ 또는 } b \ge 5$

문제에서 b는 자연수라고 했으므로, $b \ge 5$ 입니다.
따라서 자연수 b의 최솟값 m = 5 입니다.

3. M+m의 값 구하기

M+m = -1 + 5 = 4

✨ 정답: 4

미래엔 공통수학2 | 97p 11번

실수 x와 y에 대하여 $2x^2 + y^2 - 4x + \frac{25}{x^2+y^2+1}$의 최솟값을 구하시오.

[풀이]

이 문제는 식의 형태를 잘 변형하여 산술-기하 평균 부등식을 적용하는 것이 핵심입니다.

1. 주어진 식 변형하기
주어진 식을 완전제곱식과 산술-기하 평균을 쓸 수 있는 형태로 바꾸어 봅니다.

\begin{align*} & 2x^2 + y^2 - 4x + \frac{25}{x^2+y^2+1} \\ =& (x^2 - 4x + 4) + (x^2 + y^2 + 1) + \frac{25}{x^2+y^2+1} - 5 \\ =& (x-2)^2 + \left( (x^2 + y^2 + 1) + \frac{25}{x^2+y^2+1} \right) - 5 \end{align*}

2. 각 부분의 최솟값 구하기
(i) $(x-2)^2$: 실수의 제곱은 항상 0 이상이므로, 최솟값은 0입니다. (이때 $x=2$)

(ii) $(x^2 + y^2 + 1) + \frac{25}{x^2+y^2+1}$: 여기서 $A = x^2+y^2+1$로 치환해 봅시다.
$x, y$가 실수이므로 $x^2 \ge 0, y^2 \ge 0$ 이고, 따라서 $A = x^2+y^2+1 \ge 1 > 0$ 입니다.
$A > 0$ 이고 $\frac{25}{A} > 0$ 이므로 산술-기하 평균 부등식을 사용할 수 있습니다.

$A + \frac{25}{A} \ge 2\sqrt{A \cdot \frac{25}{A}} = 2\sqrt{25} = 10$

따라서 이 부분의 최솟값은 10입니다.

3. 전체의 최솟값 구하기 및 등호 성립 조건 확인
전체 식의 최솟값은 각 부분의 최솟값들을 더하고 5를 빼면 됩니다.

$\text{최솟값} \ge 0 + 10 - 5 = 5$

이제 이 최솟값이 실제로 가능한지, 즉 등호가 동시에 성립하는 $x, y$가 있는지 확인해야 합니다.
- $(x-2)^2=0$ 에서 $x=2$ 입니다.
- $A + \frac{25}{A}$에서 등호는 $A = \frac{25}{A}$, 즉 $A^2=25 \implies A=5$ 일 때 성립합니다.
$A = x^2+y^2+1 = 5$ 이므로 $x^2+y^2=4$ 입니다.
$x=2$를 대입하면 $2^2+y^2=4 \implies 4+y^2=4 \implies y^2=0 \implies y=0$ 입니다.
따라서 $x=2, y=0$일 때 두 등호 조건이 모두 성립하므로 최솟값 5를 가질 수 있습니다.

✨ 정답: 5

개념 확장 및 연관성

오늘 배운 '명제'와 '논리'는 수학의 울타리를 넘어 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 합니다.

• 컴퓨터 과학: 컴퓨터는 0과 1, 즉 '거짓'과 '참'을 기반으로 모든 연산을 수행합니다. 프로그래밍에서 'if... then...' 구문은 'p이면 q이다'라는 조건명제와 정확히 일치하죠. AND, OR, NOT과 같은 논리 연산자는 집합의 교집합, 합집합, 여집합과 깊은 관련이 있습니다.
• 인공지능(AI): AI가 데이터를 학습하고 추론하는 과정은 수많은 명제들의 참, 거짓을 판단하고 연결하는 과정입니다. 예를 들어, '어떤 이미지가 고양이 사진이다'라는 명제의 참 확률을 계산하며 학습을 진행하죠.
• 철학(논리학): 고대 그리스 시대부터 철학자들은 올바른 추론 방식에 대해 탐구해왔고, 그 결과가 바로 논리학입니다. 우리가 배운 역, 이, 대우, 삼단논법 등은 모두 논리학의 기본 도구들입니다.

이렇게 수학적 논리는 세상을 이해하고 분석하는 강력한 도구가 된답니다! 🧐

오개념 방지 및 심화 팁

⚠️ 자주 하는 실수 Best 3!

1. 역과 대우 혼동하기: 명제 $p \rightarrow q$가 참이라고 해서 그 역인 $q \rightarrow p$가 항상 참인 것은 아니에요! 하지만 대우인 $\sim q \rightarrow \sim p$는 반드시 참입니다. 이 둘을 헷갈리지 않도록 주의하세요. 증명이 막힐 땐 '대우'를 떠올리는 센스!
2. 필요조건? 충분조건?: "'p는 q이기 위한'이라는 문장에서 주어인 'p'가 화살을 쏘면(p ⇒ q) 충분조건, 화살을 맞으면(q ⇒ p) 필요조건이라고 이미지로 기억하면 쉬워요. P가 Q를 포함하면($Q \subset P$) P는 Q이기 위한 필요조건! '필요해서 더 크다'라고 외워보는 건 어떨까요?
3. '모든'과 '어떤'의 부정: '모든 학생은 안경을 썼다'의 부정은 '어떤 학생은 안경을 쓰지 않았다'입니다. '모든 학생이 안경을 쓰지 않았다'가 아니라는 점! '모든'은 단 하나의 반례만 있어도 거짓이 되고, '어떤'은 단 하나의 예만 있어도 참이 된다는 사실을 기억하세요.

마무리하며

오늘 명제 단원의 중단원 마무리 문제를 모두 풀어보았어요. 어떠셨나요? 명제는 단순히 수학 문제를 푸는 기술을 넘어, 논리적으로 생각하고 합리적으로 판단하는 힘을 길러주는 아주 중요한 단원입니다.

오늘 배운 내용들이 앞으로 여러분이 더 복잡한 수학 이론을 공부할 때 든든한 발판이 되어줄 거예요. 혹시 이해가 잘 안 가는 부분이 있다면, 다시 한번 핵심 포인트를 읽어보고, 직접 손으로 풀어보는 과정을 꼭 거치길 바랍니다. 꾸준함이 실력을 만듭니다!

다음 시간에는 '함수' 단원으로 여러분을 찾아올게요. 그때까지 수학 공부 파이팅! 💪

수학쟁이 선생님이었습니다!