미래엔 공통수학2 교과서 [집합과 명제] 대단원 평가 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학2 교과서 [II. 집합과 명제] 대단원 평가 문제 풀이

안녕하세요, 여러분의 수학 멘토, 수학쟁이 선생님입니다! 🧑‍🏫

드디어 '집합과 명제' 대단원의 최종 보스, 대단원 평가 문제를 풀어볼 시간이에요. 이 단원에서 배운 모든 개념을 총동원해야 하는 문제들이니, 정신 바짝 차리고 함께 도전해 봐요! 집합의 연산부터 명제의 논리까지, 차근차근 풀다 보면 어느새 실력이 훌쩍 성장해 있을 거예요. 자, 그럼 미래엔 공통수학2 교과서 99페이지부터 101페이지까지, 힘차게 시작해 볼까요? 🔥

[집합과 명제] 대단원 핵심 요약

문제를 풀기 전, 핵심 개념들을 빠르게 복습해 봅시다!

• 집합: 원소, 부분집합, 합집합($\cup$), 교집합($\cap$), 여집합($A^C$), 차집합($A-B$) 등 집합의 기본 연산과 그 성질(교환, 결합, 분배법칙, 드모르간의 법칙)을 정확히 알고 있어야 해요. 특히 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ 공식은 필수!


• 명제: 참/거짓을 판별할 수 있는 문장. '모든'과 '어떤'이 포함된 명제의 참/거짓과 그 부정 관계를 이해해야 합니다.


• 역과 대우: $p \rightarrow q$의 역은 $q \rightarrow p$, 대우는 $\sim q \rightarrow \sim p$. 원래 명제와 대우는 운명 공동체(참/거짓이 같다)라는 점!


• 필요/충분조건: $p \Rightarrow q$ ($P \subset Q$)일 때, p는 q이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한 필요조건. '주어가 화살을 쏘면 충분!'으로 기억하면 편해요.


• 증명법: 대우를 이용한 증명, 결론을 부정하여 모순을 이끌어내는 귀류법.


• 절대부등식: 항상 성립하는 부등식. 특히 산술-기하 평균 부등식($a>0, b>0$일 때 $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$)은 꼭 기억해두세요.

대단원 평가 문제 풀이 (99~101p.)

미래엔 공통수학2 | 99p 01번

다음에서 집합인 것은?

① 그림을 잘 그리는 사람의 모임
② 예쁜 꽃의 모임
③ 우리 학교 1학년 학생의 모임
④ 성능이 우수한 컴퓨터의 모임
⑤ 키가 큰 식물의 모임

[풀이]

집합이 되려면 그 대상을 분명하게 정할 수 있어야 합니다. 즉, 누가 봐도 객관적인 기준이 있어야 해요.
①, ②, ④, ⑤는 '잘 그리는', '예쁜', '우수한', '키가 큰'과 같이 기준이 사람마다 달라질 수 있는 주관적인 표현을 포함하고 있어 집합이 될 수 없습니다.
하지만 ③은 '우리 학교 1학년 학생'이라는 명확한 기준이 있으므로, 그 대상을 분명하게 정할 수 있습니다.

✨ 정답: ③

미래엔 공통수학2 | 99p 02번

집합 $A = \{x | x\text{는 15의 약수}\}$에 대하여 다음에서 옳은 것은?

① $9 \in A$
② $\{3, 5\} \in A$
③ $A = \{1, 3, 5\}$
④ $\{3, 5, 7\} \subset A$
⑤ $\{15\} \subset A$

[풀이]

먼저 집합 A의 원소를 모두 구해봅시다.
15의 약수는 1, 3, 5, 15이므로, $A = \{1, 3, 5, 15\}$입니다.
이제 각 보기를 살펴볼까요?

• ① $9 \in A$: 9는 A의 원소가 아니므로 거짓입니다.
• ② $\{3, 5\} \in A$: $\{3, 5\}$는 집합이지 원소가 아니므로, $\in$ 기호를 사용할 수 없습니다. 거짓입니다. (만약 $\{3, 5\} \subset A$ 였다면 참입니다.)
• ③ $A = \{1, 3, 5\}$: A에는 원소 15도 포함되어야 하므로 거짓입니다.
• ④ $\{3, 5, 7\} \subset A$: 7은 A의 원소가 아니므로, 부분집합이 될 수 없습니다. 거짓입니다.
• ⑤ $\{15\} \subset A$: 원소 15를 포함하는 집합 $\{15\}$는 A의 부분집합이 맞습니다. 참입니다.

✨ 정답: ⑤

미래엔 공통수학2 | 99p 03번

자연수 a와 b에 대하여 두 집합 $A = \{2, a^2 - 2a\}$, $B = \{-1, b^2 - b\}$가 서로 같을 때, $a+b$의 값을 구하시오.

[풀이]

두 집합 A와 B가 서로 같으려면($A=B$), 두 집합의 원소가 완전히 일치해야 합니다.
$A=\{2, a^2-2a\}$, $B=\{-1, b^2-b\}$
A의 원소 2는 B의 원소 -1과 다르므로, 반드시 $2 = b^2 - b$ 여야 합니다. 또한, 남은 원소끼리 같아야 하므로 $a^2 - 2a = -1$ 이 되어야 합니다.

1. a 값 구하기
$a^2 - 2a = -1 \implies a^2 - 2a + 1 = 0 \implies (a-1)^2 = 0$
따라서 $a=1$ 입니다.

2. b 값 구하기
$2 = b^2 - b \implies b^2 - b - 2 = 0 \implies (b-2)(b+1) = 0$
$b=2$ 또는 $b=-1$ 입니다. 문제에서 b는 자연수라고 했으므로 $b=2$ 입니다.

3. a+b 값 구하기
$a+b = 1+2 = 3$

✨ 정답: 3

미래엔 공통수학2 | 99p 04번

두 집합 $A = \{x | x^2 - 8x + 15 = 0\}$, $B = \{x | x\text{는 9 이하의 홀수}\}$에 대하여 $A \subset X \subset B$를 만족시키는 집합 X의 개수를 구하시오.

[풀이]

먼저 두 집합 A, B를 원소나열법으로 나타내 봅시다.

• $A = \{x | x^2 - 8x + 15 = 0\} = \{x | (x-3)(x-5)=0\} = \{3, 5\}$
• $B = \{x | x\text{는 9 이하의 홀수}\} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

문제의 조건 $A \subset X \subset B$는 집합 X가 집합 A를 포함하고, 동시에 집합 B의 부분집합이라는 의미입니다.
즉, 집합 X는 $\{3, 5\}$를 반드시 포함하는 $\{1, 3, 5, 7, 9\}$의 부분집합입니다.
이런 집합의 개수는, 반드시 포함해야 하는 원소(3, 5)를 제외한 나머지 원소들, 즉 $B-A = \{1, 7, 9\}$로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다.
원소의 개수가 3개인 집합의 부분집합의 개수는 $2^3 = 8$개 입니다.

✨ 정답: 8

미래엔 공통수학2 | 99p 05번

자연수 n에 대하여 $A_n = \{x | x\text{는 } \sqrt{4n}\text{ 이하의 홀수}\}$일 때, $A_n \subset A_{100}$을 만족시키는 n의 최댓값을 구하시오.

[풀이]

1. 집합 $A_{100}$ 구하기
$\sqrt{4 \times 100} = \sqrt{400} = 20$ 이므로, $A_{100} = \{x | x\text{는 } 20\text{ 이하의 홀수}\} = \{1, 3, 5, \dots, 19\}$ 입니다.

2. 포함 관계 조건 분석
$A_n \subset A_{100}$이 성립하려면, $A_n$의 모든 원소가 $A_{100}$에 포함되어야 합니다. 이는 $A_n$의 가장 큰 원소가 $A_{100}$의 가장 큰 원소인 19보다 작거나 같아야 함을 의미합니다.
$A_n$의 원소는 $\sqrt{4n} = 2\sqrt{n}$ 이하의 홀수들이므로, $A_n$의 가장 큰 원소가 19이하가 되려면 $2\sqrt{n}$이 21보다 작아야 합니다. (만약 $2\sqrt{n}=21$이면 21이 $A_n$의 원소가 되어 $A_{100}$에 포함되지 않기 때문입니다.)

$2\sqrt{n}$ < 21

3. n의 범위 및 최댓값 구하기
$\sqrt{n} < \frac{21}{2} = 10.5$ 이므로, 양변을 제곱하면 $n < (10.5)^2 = 110.25$ 입니다.
이를 만족시키는 자연수 n의 최댓값은 110입니다.

✨ 정답: 110

미래엔 공통수학2 | 99p 06번

전체집합 $U = \{1, 2, 3, \dots, 10\}$의 세 부분집합 A, B, C에 대하여 $A \cup B = \{x | x\text{는 3의 배수}\}$, $A \cup C = \{x | x\text{는 9의 약수}\}$일 때, $A \cup (B \cap C)$의 모든 원소의 합을 구하시오.

[풀이]

집합의 연산 법칙 중 분배법칙을 이용하면 쉽게 해결할 수 있습니다.
1. 주어진 집합 원소나열법으로 나타내기
$A \cup B = \{3, 6, 9\}$
$A \cup C = \{1, 3, 9\}$

2. 분배법칙 적용하기
구해야 할 집합은 $A \cup (B \cap C)$ 입니다. 분배법칙에 의해 다음이 성립합니다.

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

3. 교집합 및 원소의 합 구하기
따라서 두 집합 $\{3, 6, 9\}$와 $\{1, 3, 9\}$의 교집합을 구하면 $\{3, 9\}$ 입니다.
모든 원소의 합은 $3 + 9 = 12$ 입니다.

✨ 정답: 12

미래엔 공통수학2 | 99p 07번

전체집합 U의 두 부분집합 A와 B에 대하여 $n(A^C \cap B) = 7$, $n(A \cap B) = 4$, $n(A \cup B) = 20$일 때, $n(A-B)$를 구하시오.

[풀이]

벤 다이어그램을 그리거나 합집합 원소 개수 공식을 이용해 풀 수 있습니다.
1. 주어진 조건 해석하기
- $n(A^C \cap B) = n(B-A) = 7$: 순수하게 B에만 속하는 원소의 개수
- $n(A \cap B) = 4$: A와 B에 공통으로 속하는 원소의 개수
- $n(A \cup B) = 20$: A 또는 B에 속하는 모든 원소의 개수

2. 공식 이용하기
합집합은 순수한 A의 부분, 순수한 B의 부분, 그리고 교집합 부분으로 나눌 수 있습니다.
$n(A \cup B) = n(A-B) + n(B-A) + n(A \cap B)$
알고 있는 값을 대입하면, $20 = n(A-B) + 7 + 4$
$20 = n(A-B) + 11$
따라서 $n(A-B) = 20 - 11 = 9$ 입니다.

✨ 정답: 9

미래엔 공통수학2 | 100p 08번

전체집합 U에 대하여 두 조건 p와 q의 진리집합을 각각 P와 Q라 할 때, 다음에서 옳지 않은 것은?

① ~p의 진리집합은 $P^C$이다.
② 명제 $p \rightarrow q$가 참이면 $Q^C \subset P^C$이다.
③ $Q \subset P$이면 명제 $p \rightarrow q$는 참이다.
④ $P \ne U$이면 '모든 x에 대하여 p이다.'는 거짓이다.
⑤ $P \ne \emptyset$이면 '어떤 x에 대하여 p이다.'는 참이다.

[풀이]

각 보기의 논리적 관계를 따져봅시다.

• ① ~p의 진리집합은 P의 여집합인 $P^C$가 맞습니다. (참)
• ② 명제 $p \rightarrow q$가 참이면 진리집합의 포함 관계는 $P \subset Q$입니다. 양변에 여집합을 취하면 포함 관계가 반대가 되므로 $Q^C \subset P^C$가 됩니다. 이는 명제 $\sim q \rightarrow \sim p$(대우)가 참이라는 의미이기도 합니다. (참)
• ③ $Q \subset P$이면 명제 $q \rightarrow p$가 참입니다. $p \rightarrow q$가 참이 되려면 $P \subset Q$여야 합니다. 따라서 옳지 않습니다. (거짓)
• ④ '모든 x에 대하여 p이다'가 참이 되려면 $P=U$여야 합니다. 따라서 $P \ne U$이면 이 명제는 거짓입니다. (참)
• ⑤ '어떤 x에 대하여 p이다'가 참이 되려면 $P \ne \emptyset$이어야 합니다. 즉, 조건을 만족하는 원소가 하나라도 존재해야 합니다. (참)

✨ 정답: ③

미래엔 공통수학2 | 100p 09번

명제 '모든 양수 x에 대하여 $x - a + 5 > 0$이다.'가 참이 되도록 하는 자연수 a의 값을 모두 구하시오.

[풀이]

주어진 명제가 '모든 양수 x'에 대하여 성립해야 합니다.
부등식 $x - a + 5 > 0$을 a에 대해 정리하면 $x+5 > a$ 입니다.
이 부등식이 모든 양수 $x$ ($x>0$)에 대하여 성립해야 합니다.

함수 $f(x) = x+5$라고 생각했을 때, $x>0$ 범위에서 $f(x)$의 최솟값(또는 하한값)보다 a가 작거나 같으면 됩니다.
$x>0$이므로, $x+5 > 0+5$, 즉 $x+5 > 5$ 입니다.
따라서 $a$는 5보다 작거나 같아야 모든 양수 x에 대해 $x+5 > a$가 성립합니다.

$a \le 5$

문제에서 a는 자연수라고 했으므로, 가능한 a의 값은 1, 2, 3, 4, 5 입니다.

✨ 정답: 1, 2, 3, 4, 5

미래엔 공통수학2 | 100p 10번

명제 $\sim p \rightarrow q$의 역이 참일 때, 다음에서 항상 참인 것은?

① $p \rightarrow q$    ② $p \rightarrow \sim q$    ③ $\sim q \rightarrow p$    ④ $\sim p \rightarrow \sim q$    ⑤ $q \rightarrow p$

[풀이]

1. 주어진 조건 해석
명제 '$\sim p \rightarrow q$'의 역은 '$q \rightarrow \sim p$'입니다. 이 역이 참이라고 했으므로, $q \Rightarrow \sim p$가 성립합니다.

2. 대우 찾기
어떤 명제가 참이면 그 대우도 항상 참입니다.
참인 명제 '$q \rightarrow \sim p$'의 대우는 $\sim (\sim p) \rightarrow \sim q$, 즉 '$p \rightarrow \sim q$' 입니다.

3. 보기 확인
따라서 항상 참인 명제는 '$p \rightarrow \sim q$'입니다.

✨ 정답: ②

미래엔 공통수학2 | 100p 11번

실수 x에 대하여 두 조건 p와 q가
$p: (x-a+6)(x+2a-16)=0$
$q: x(x-2a) \le 0$
일 때, p가 q이기 위한 충분조건이 되도록 하는 모든 정수 a의 값의 합을 구하시오.

[풀이]

p가 q이기 위한 충분조건이므로 $p \Rightarrow q$가 참이어야 하고, 진리집합 사이의 관계는 $P \subset Q$ 입니다.

1. 진리집합 P, Q 구하기
$P = \{a-6, -2a+16\}$ 입니다.
Q의 경우, a의 부호에 따라 달라집니다.

Case 1: $a > 0$ 인 경우
$Q = \{x | 0 \le x \le 2a\}$ 입니다. $P \subset Q$가 성립하려면 P의 두 원소가 모두 Q에 속해야 합니다.
(i) $0 \le a-6 \le 2a \implies a \ge 6$ 이고 $a \ge -6$ 이므로, $a \ge 6$.
(ii) $0 \le -2a+16 \le 2a \implies 2a \le 16$ 이고 $4a \ge 16$ 이므로, $4 \le a \le 8$.
두 조건을 모두 만족하는 범위는 $6 \le a \le 8$ 입니다. 정수 a는 6, 7, 8.

Case 2: $a = 0$ 인 경우
$Q = \{x | x^2 \le 0\} = \{0\}$. $P = \{-6, 16\}$. $P \not\subset Q$. 성립하지 않습니다.

Case 3: $a < 0$ 인 경우
$Q = \{x | 2a \le x \le 0\}$ 입니다.
(i) $2a \le a-6 \le 0 \implies a \le -6$ 이고 $a \le 6$ 이므로, $a \le -6$.
(ii) $2a \le -2a+16 \le 0 \implies 4a \le 16$ 이고 $16 \le 2a$ 이므로, $a \le 4$ 이고 $a \ge 8$.
두 조건을 모두 만족하는 a는 존재하지 않습니다.

결론적으로 가능한 정수 a는 6, 7, 8이며, 이들의 합은 $6+7+8=21$ 입니다.

✨ 정답: 21

미래엔 공통수학2 | 100p 12번

전체집합 U에 대하여 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R이라 할 때, 세 집합 사이의 포함 관계가 오른쪽 그림과 같다. 다음에서 옳은 것은?

① p는 q이기 위한 충분조건이다.
② ~q는 p이기 위한 충분조건이다.
③ q는 ~r이기 위한 필요조건이다.
④ r은 ~p이기 위한 필요충분조건이다.
⑤ ~r은 ~q이기 위한 필요조건이다.

[풀이]

주어진 벤 다이어그램에서 알 수 있는 포함 관계는 다음과 같습니다.
$R \subset Q$ 이고, $P \cap Q = \emptyset$ (P와 Q는 서로소) 입니다.

• ① p는 q이기 위한 충분조건이다. ($p \Rightarrow q \iff P \subset Q$): 그림에서 P와 Q는 서로소이므로 거짓입니다.
• ② ~q는 p이기 위한 충분조건이다. ($\sim q \Rightarrow p \iff Q^C \subset P$): Q의 여집합이 P에 포함되지 않으므로 거짓입니다.
• ③ q는 ~r이기 위한 필요조건이다. ($\sim r \Rightarrow q \iff R^C \subset Q$): R의 여집합이 Q에 포함되지 않으므로 거짓입니다.
• ④ r은 ~p이기 위한 필요충분조건이다. ($r \Leftrightarrow \sim p \iff R = P^C$): P의 여집합과 R은 전혀 다르므로 거짓입니다.
• ⑤ ~r은 ~q이기 위한 필요조건이다. ($\sim q \Rightarrow \sim r$): 이 명제는 대우 명제인 $r \Rightarrow q$와 같습니다. 그림에서 $R \subset Q$이므로 $r \Rightarrow q$는 참입니다. 따라서 그 대우인 이 명제도 참입니다.

✨ 정답: ⑤

미래엔 공통수학2 | 101p 13번

실수 a와 b에 대하여 세 조건 p, q, r이
$p: |a| + |b| = 0$
$q: |a+b| = |a-b|$
$r: ab=0$
일 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르시오.

<보기>
ㄱ. p는 q이기 위한 충분조건이다.
ㄴ. ~p는 ~r이기 위한 필요조건이다.
ㄷ. q는 r이기 위한 필요충분조건이다.

[풀이]

각 조건의 의미를 파악해봅시다.
- p: $|a|+|b|=0 \iff a=0$이고 $b=0$.
- q: $|a+b|=|a-b|$. 양변을 제곱하면 $(a+b)^2 = (a-b)^2 \implies$
$a^2+2ab+b^2=a^2-2ab+b^2 \implies 4ab=0 \implies ab=0$.
- r: $ab=0$.
따라서 조건 q와 r은 같습니다 ($q \Leftrightarrow r$).

• ㄱ. p는 q이기 위한 충분조건이다. ($p \Rightarrow q$)
  $a=0$이고 $b=0$이면, $ab=0$이므로 성립합니다. 참입니다.
• ㄴ. ~p는 ~r이기 위한 필요조건이다. ($\sim r \Rightarrow \sim p$)
  이 명제는 대우 명제인 $p \Rightarrow r$와 같습니다.
  $a=0$이고 $b=0$이면 $ab=0$이므로 $p \Rightarrow r$는 참입니다. 따라서 그 대우도 참입니다.
• ㄷ. q는 r이기 위한 필요충분조건이다. ($q \Leftrightarrow r$)
  위에서 보았듯이 조건 q와 r은 $ab=0$으로 완전히 동일합니다. 따라서 참입니다.

✨ 정답: ㄱ, ㄴ, ㄷ

미래엔 공통수학2 | 101p 14번

$x>0$이고 $y>0$일 때, $(4x + \frac{1}{y})(\frac{1}{x} + 16y)$의 최솟값을 구하시오.

[풀이]

1. 식 전개하기
먼저 주어진 식을 전개합니다.

$(4x + \frac{1}{y})(\frac{1}{x} + 16y) = 4x \cdot \frac{1}{x} + 4x \cdot 16y + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \cdot 16y$

$= 4 + 64xy + \frac{1}{xy} + 16 = 20 + 64xy + \frac{1}{xy} $

2. 산술-기하 평균 부등식 적용
$x>0, y>0$이므로 $64xy > 0$이고 $\frac{1}{xy} > 0$입니다. 따라서 산술-기하 평균 부등식을 적용할 수 있습니다.

$64xy + \frac{1}{xy} \ge 2\sqrt{64xy \cdot \frac{1}{xy}} = 2\sqrt{64} = 2 \times 8 = 16$

3. 최솟값 구하기
위 부등식을 원래 식에 적용하면,

$20 + 64xy + \frac{1}{xy} \ge 20 + 16 = 36$

등호는 $64xy = \frac{1}{xy}$, 즉 $(xy)^2 = \frac{1}{64}$일 때 성립하며, 이때 최솟값 36을 갖습니다.

✨ 정답: 36

미래엔 공통수학2 | 101p 15번 (서술형)

두 동아리 A 또는 B에 가입한 남학생 28명과 여학생 22명을 조사한 결과가 다음과 같다.
(가) 동아리 A에 가입한 학생 수와 동아리 B에 가입한 학생 수의 합은 60이다.
(나) 두 동아리 A와 B 중에서 한 동아리에만 가입한 남학생 수와 여학생 수는 같다.
이때 두 동아리 A와 B에 모두 가입한 여학생 수를 구하시오.

[풀이]

1. 전체 상황 파악
- A 또는 B에 가입한 총학생 수: $n(A \cup B) = 28(\text{남}) + 22(\text{여}) = 50$명.
- (가) 조건: $n(A) + n(B) = 60$.

2. 두 동아리 모두 가입한 학생 수 구하기
$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 60 - 50 = 10$명.

3. 한 동아리에만 가입한 학생 수 구하기
한 동아리에만 가입한 학생들의 집합은 $(A-B) \cup (B-A)$입니다.
$n((A-B) \cup (B-A)) = n(A \cup B) - n(A \cap B) = 50 - 10 = 40$명.

4. 한 동아리에만 가입한 여학생 수 구하기
(나) 조건에 의해 한 동아리에만 가입한 남학생과 여학생 수는 같으므로,
한 동아리에만 가입한 여학생 수는 $40 \div 2 = 20$명입니다.

5. 두 동아리 모두 가입한 여학생 수 구하기
전체 여학생 수는 22명입니다. 이들은 '한 동아리에만 가입한 여학생'과 '두 동아리 모두 가입한 여학생'으로 구성됩니다.
따라서, 두 동아리 모두 가입한 여학생 수는
(전체 여학생 수) - (한 동아리에만 가입한 여학생 수) = $22 - 20 = 2$명입니다.

✨ 정답: 2

미래엔 공통수학2 | 101p 16번 (서술형)

귀류법을 이용하여 다음 명제가 참임을 증명하시오.
'$\sqrt{3}$은 유리수가 아니다.'

[증명]

1. 결론을 부정 (가정)
$\sqrt{3}$이 유리수라고 가정하자. 그러면 $\sqrt{3} = \frac{n}{m}$ (m, n은 서로소인 자연수)로 나타낼 수 있다.

2. 논리 전개
양변을 제곱하면 $3 = \frac{n^2}{m^2}$, 즉 $n^2 = 3m^2$ 이다.
이는 $n^2$이 3의 배수임을 의미한다. 제곱해서 3의 배수인 수는 원래 수도 3의 배수이므로, $n$도 3의 배수이다.
$n = 3k$ (k는 자연수)로 놓고 다시 식에 대입하면,
$(3k)^2 = 3m^2 \implies 9k^2 = 3m^2 \implies m^2 = 3k^2$.
이는 $m^2$도 3의 배수임을 의미하며, 따라서 $m$도 3의 배수이다.

3. 모순 발견
위 결과에 따르면 m과 n이 모두 3의 배수이다. 이는 m과 n이 서로소인 자연수라는 처음 가정에 모순된다.

4. 결론
이 모순은 최초의 가정, 즉 '$\sqrt{3}$이 유리수이다'가 잘못되었기 때문에 발생했다.
따라서 원래 명제인 '$\sqrt{3}$은 유리수가 아니다'는 참이다.

미래엔 공통수학2 | 101p 17번 (서술형)

$a>0$이고 $b>0$일 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오.
$a^3 + b^3 \ge ab(a+b)$

[증명]

부등식의 증명은 한쪽에서 다른 쪽을 뺀 값이 0보다 크거나 같음을 보이는 것이 기본입니다.

$(a^3 + b^3) - ab(a+b) \ge 0 \text{ 임을 보이자.}$

좌변을 인수분해 공식을 이용하여 정리합니다.

\begin{align*} & (a^3 + b^3) - ab(a+b) \\ =& (a+b)(a^2-ab+b^2) - ab(a+b) \\ =& (a+b)(a^2-ab+b^2 - ab) \quad \text{ .....(a+b)로 묶기} \\ =& (a+b)(a^2-2ab+b^2) \\ =& (a+b)(a-b)^2 \end{align*}

이제 부호를 판단합니다.
- 문제 조건에서 $a>0, b>0$이므로 $a+b > 0$ 입니다.
- $a, b$가 실수이므로 $(a-b)^2 \ge 0$ 입니다.
(양수) $\times$ (0 이상인 수) $\ge 0$ 이므로 $(a+b)(a-b)^2 \ge 0$ 입니다.

따라서 $a^3 + b^3 - ab(a+b) \ge 0$ 이므로, $a^3 + b^3 \ge ab(a+b)$ 가 성립합니다.
(단, 등호는 $a-b=0$, 즉 $a=b$일 때 성립합니다.)

마무리하며

집합과 명제 대단원 평가 문제 풀이가 모두 끝났습니다! 마지막 문제까지 집중해서 푸느라 정말 고생 많았어요. 😊

이 단원은 수학적 사고의 기초 체력을 기르는 과정과 같아요. 여기서 배운 논리적 사고 방식은 앞으로 배울 함수, 기하 등 모든 수학 영역에서 여러분의 든든한 무기가 될 것입니다. 틀린 문제가 있다면 왜 틀렸는지 반드시 복습하고, 자신의 논리 과정에서 어떤 부분이 부족했는지 점검하는 시간을 갖길 바랍니다.

수학은 단단한 기초 위에서 멋진 건물을 짓는 것과 같습니다. 오늘 흘린 땀이 더 높은 곳으로 올라갈 수 있는 튼튼한 계단이 되어줄 거예요. 항상 응원하겠습니다!

수학쟁이 선생님이었습니다!