미래엔 공통수학2 교과서 [함수] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학2 [함수] 모든 문제 상세 풀이 (최종 개선판)

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 👨‍🏫

오늘은 공통수학의 핵심 중의 핵심! 바로 '함수'에 대해 배워볼 거예요. 함수는 앞으로 배울 모든 수학 내용의 기초가 되는 아주 중요한 개념이랍니다. 처음에는 조금 낯설 수 있지만, 선생님과 함께 차근차근 교과서 문제를 풀다 보면 어느새 함수와 절친이 되어 있을 거예요. 자, 그럼 시작해볼까요?

📘 [함수] 핵심 포인트 정리

이 단원을 시작하기 전에, 이것만은 꼭 기억하고 넘어가요!

• 함수의 정의: 두 집합 X, Y에 대하여, 집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소가 오직 하나씩 대응할 때, 이 대응을 'X에서 Y로의 함수'라고 해요.
  • X의 모든 원소가 화살을 쏘아야 해요! (빠짐없이)
  • X의 원소는 화살을 딱 한 발만 쏘아야 해요! (하나씩)
• 정의역, 공역, 치역:
  • 정의역: 화살을 쏘는 집합 X
  • 공역: 화살을 맞을 준비가 된 집합 Y
  • 치역: 실제로 화살을 맞은 Y의 원소들의 집합 (치역 ⊂ 공역)
• 서로 같은 함수: 두 함수 f, g가 서로 같으려면? (1) 정의역이 같아야 하고, (2) 정의역의 모든 원소 x에 대해 함숫값 f(x)와 g(x)가 같아야 해요. ($f=g$)
• 함수의 종류:
  • 일대일함수: $x$값이 다르면 $y$값도 다른 함수. (다른 애들은 다른 애를 찍는다!)
  • 일대일대응: 일대일함수이면서, 동시에 치역과 공역이 같은 함수. (남는 Y 원소가 없다!)
  • 항등함수: 정의역과 공역이 같고, 자기 자신이 나오는 함수. ($f(x) = x$)
  • 상수함수: 모든 $x$가 하나의 $y$값에만 대응하는 함수. (몰빵!)
• 함수의 그래프: 함수의 정의역과 그에 따른 함숫값의 순서쌍 $(x, f(x))$ 전체의 집합을 좌표평면에 나타낸 것. 그래프가 함수인지 판별하려면 세로선 테스트를 해보면 돼요! (세로선을 그었을 때 교점이 하나여야 함수!)

📚 교과서 문제 풀이

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생각 열기

오른쪽 그림은 세계 여러 나라와 각 나라에서 사용하는 화폐 단위를 두 집합 X와 Y로 나타낸 것이다.

◆ 각각의 나라와 그 나라에서 사용하는 화폐 단위를 화살표로 연결해 보자.

X = {대한민국, 독일, 프랑스, 미국}
Y = {원(₩), 유로(€), 달러($), 파운드(£)}

이 문제는 두 집합 사이의 '대응' 관계를 이해하기 위한 거예요. 각 나라와 그 나라의 화폐를 짝지어보면 되겠죠?

• 대한민국 ➡️ 원(₩)
• 독일 ➡️ 유로(€)
• 프랑스 ➡️ 유로(€) (프랑스도 유로존 국가죠!)
• 미국 ➡️ 달러($)

이렇게 연결할 수 있겠네요. 독일과 프랑스가 모두 '유로'라는 하나의 원소에 대응되는 점이 재미있죠?

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문제 1

다음 대응 중 집합 X에서 집합 Y로의 함수인 것을 찾고, 그 함수의 정의역, 공역, 치역을 구하시오. 또, 함수가 아닌 것은 그 이유를 말하시오.

함수의 두 가지 중요한 조건, '빠짐없이' 그리고 '하나씩'을 기억하면서 살펴볼까요?

(1) 함수가 아니다.
이유: 정의역 X의 원소 3에 대응하는 공역 Y의 원소가 없어요. 즉, 3이 화살을 쏘지 않았죠. '빠짐없이'라는 조건을 만족하지 못하네요!

(2) 함수이다.
정의역 X의 원소 1, 2, 3이 각각 Y의 원소 b, a, d에 '오직 하나씩' 대응하고, X의 모든 원소가 '빠짐없이' 대응하고 있으므로 함수가 맞아요.

• 정의역: $X = \{1, 2, 3\}$
• 공역: $Y = \{a, b, c, d\}$
• 치역: 실제로 화살을 맞은 원소들의 집합이므로, $\{a, b, d\}$ 입니다.

(3) 함수가 아니다.
이유: 정의역 X의 원소 4가 공역 Y의 원소 b와 d, 두 개에 대응하고 있어요. 즉, 4가 화살을 두 발 쏘았네요! '오직 하나씩'이라는 조건을 만족하지 못했어요.

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문제 2

다음 함수의 정의역과 치역을 구하시오.

(1) $y = 2x + 1$

(2) $y = -x^2 + 3$

특별한 언급이 없으면 정의역과 공역은 실수 전체의 집합으로 생각해요.

(1) $y = 2x + 1$ (일차함수)

• 정의역: $x$에 어떤 실수를 넣어도 함숫값 $y$가 정의되므로, 정의역은 실수 전체의 집합이에요. 집합 기호로는 $\{x | x는 \text{실수}\}$로 나타내요.
• 치역: 이 직선은 끝없이 위아래로 뻗어 나가므로, 가능한 $y$값 역시 모든 실수예요. 따라서 치역도 실수 전체의 집합입니다. 집합 기호로는 $\{y | y는 \text{실수}\}$입니다.

(2) $y = -x^2 + 3$ (이차함수)

• 정의역: $x$에 어떤 실수를 넣어도 함숫값 $y$가 정의되므로, 정의역은 실수 전체의 집합이에요.
• 치역: 이 이차함수는 위로 볼록하고 꼭짓점이 $(0, 3)$인 포물선이죠. 따라서 함숫값 $y$는 3보다 커질 수 없어요. 치역은 3 이하의 모든 실수입니다. 집합 기호로는 $\{y | y \le 3\}$ 입니다.

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탐구 문제 3

정의역이 $\{-1, 0, 1\}$인 두 함수 $f(x) = |2x|$와 $g(x) = 2x^2$에 대하여 다음에 답하시오.

(1) 오른쪽 표를 완성하시오.

(2) (1)의 결과를 이용하여 두 함수가 서로 같은지 말하시오.

두 함수가 같은지 확인하려면 정의역의 각 원소에 대한 함숫값이 모두 같은지 비교해보면 돼요.

(1) 표 완성하기

• f(x) 계산
  • $x = -1$ 일 때, $f(-1) = |2 \times (-1)| = |-2| = 2$
  • $x = 0$ 일 때, $f(0) = |2 \times 0| = |0| = 0$
  • $x = 1$ 일 때, $f(1) = |2 \times 1| = |2| = 2$
• g(x) 계산
  • $x = -1$ 일 때, $g(-1) = 2 \times (-1)^2 = 2 \times 1 = 2$
  • $x = 0$ 일 때, $g(0) = 2 \times 0^2 = 0$
  • $x = 1$ 일 때, $g(1) = 2 \times 1^2 = 2 \times 1 = 2$

x	-1	0	1
f(x)	2	0	2
g(x)	2	0	2

(2) 두 함수가 서로 같은가?

두 함수는 정의역이 $\{-1, 0, 1\}$로 같아요. 그리고 (1)의 표에서 보듯이 정의역의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x) = g(x)$가 성립해요.

• $f(-1) = g(-1) = 2$
• $f(0) = g(0) = 0$
• $f(1) = g(1) = 2$

따라서 두 함수 f와 g는 서로 같은 함수입니다. (식의 모양이 달라도 정의역과 함숫값이 같으면 같은 함수라는 점, 신기하죠?)

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문제 4

정의역이 다음과 같은 함수 $y = -2x + 3$의 그래프를 좌표평면 위에 나타내시오.

(1) $\{0, 1, 2, 3\}$

(2) $\{x | x는 \text{실수}\}$

(1) 정의역: $\{0, 1, 2, 3\}$ (점)

(2) 정의역: 실수 전체 (직선)

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문제 5

다음에서 함수의 그래프를 찾고, 함수의 그래프가 아닌 것은 그 이유를 말하시오.

함수의 그래프인지 판별하는 가장 좋은 방법은 '세로선 테스트'예요. 좌표평면 위에서 세로선을 그었을 때, 그래프와 교점이 오직 하나만 생겨야 함수랍니다. 만약 교점이 없거나 2개 이상이면 함수가 아니에요.

(1) 함수이다.

이유: y축과 평행인 직선을 제외한 모든 직선은 함수입니다.

(2) 정의역에 따라 함수일 수도 있고, 아닐 수도 있다.

이유: 정의역이 {0, 1, 2, 3, 4}이면 함수가 되지만, 예를 들어 정의역이 실수 전체인 집합인 경우는 함수가 되지 않습니다.

(3) 원 모양 그래프: 함수가 아니다.

이유: 원의 중심을 지나는 세로선을 생각해보세요. 그래프와 만나는 점이 위쪽에 하나, 아래쪽에 하나, 총 2개가 생기죠? 이는 $x$값 하나에 $y$값이 두 개 대응한다는 뜻이므로 '오직 하나씩'이라는 함수의 조건을 만족하지 않아요.

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문제 6

다음에서 일대일함수를 모두 찾고, 일대일대응인지 확인하시오.

(1) $y = 3x - 1$ (2) $y = -x^2 + 2$ (3) $y = |x|$ (4) $y = \begin{cases} -2x & (x \ge 0) \\ x^2 & (x < 0) \end{cases}$

일대일함수는 '가로선 테스트'로 판별할 수 있어요. 가로선을 그었을 때 교점이 하나만 생기면 일대일함수! 그리고 치역과 공역(실수 전체)이 같은지 확인해서 일대일대응인지 판단해요.

(1) $y = 3x - 1$: 일대일함수 (O), 일대일대응 (O) 입니다. 계속 증가하는 직선이라 가로선 테스트를 통과하고, 치역이 실수 전체입니다.

(2) $y = -x^2 + 2$: 일대일함수 (X) 입니다. 위로 볼록한 포물선이라 가로선 테스트를 통과하지 못해요. ($f(1)=f(-1)=1$)

(3) $y = |x|$: 일대일함수 (X) 입니다. V자 모양 그래프라 가로선 테스트를 통과하지 못해요. ($f(2)=f(-2)=2$)

(4) $y = \begin{cases} -2x & (x \ge 0) \\ x^2 & (x < 0) \end{cases}$: 일대일함수 (O), 일대일대응 (O) 입니다. 그래프를 그려보면 $x \ge 0$ 에서 감소하는 반직선, $x < 0$ 에서 감소하는 곡선이 합쳐져 전체적으로 단조롭게 감소하는 모양이므로 가로선 테스트를 통과하고, 치역이 실수 전체입니다.

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문제 7

다음에서 항등함수의 그래프와 상수함수의 그래프를 찾으시오.

(1) 항등함수

(3) 상수함수

항등함수는 $y=x$이므로 그래프는 (1)번입니다.

상수함수는 $y=c$ (c는 상수)이므로 그래프는 (3)번입니다.

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생각 넓히기

활동 1: 학생 5명이 영화관에서 영화를 관람하려고 한다. 각 학생에 그 학생이 선택한 영화 1편을 대응시킬 때, 이 대응이 일대일대응이 되는 경우와 상수함수가 되는 경우를 말해 보자.

활동 2: 동아리 회원 4명 중에서 대표 1명을 뽑는 투표를 하려고 한다. 각 회원에 그 회원이 투표한 회원 1명을 대응시킬 때, 이 대응이 항등함수가 되는 경우와 상수함수가 되는 경우를 말해 보자.

활동 1: 영화 관람

• 일대일대응이 되는 경우: 정의역(학생 5명)의 원소 개수와 공역(상영중인 영화)의 원소 개수가 같아야 해요. 즉, 상영 중인 영화가 5편이고, 5명의 학생이 각각 다른 영화를 선택하는 경우예요.
• 상수함수가 되는 경우: 5명의 학생이 모두 같은 영화 1편을 선택하는 경우예요. 다같이 한 영화 보는 거죠!

활동 2: 대표 투표

• 항등함수가 되는 경우: 항등함수는 $f(x)=x$이죠. 즉, 4명의 회원이 모두 자기 자신에게 투표하는 경우예요. "나는 나를 뽑겠다!"
• 상수함수가 되는 경우: 4명의 회원이 모두 똑같은 한 명의 후보에게 투표하는 경우예요. 몰표가 나오는 상황이죠!

🌍 개념 확장 및 연관성

오늘 배운 함수는 수학의 언어라고 할 수 있어요. 우리 주변의 수많은 현상을 함수로 표현하고 분석할 수 있답니다.

• 컴퓨터 과학: 프로그래밍에서 함수(function)는 특정 작업을 수행하는 코드의 묶음을 의미해요. 입력값(input)을 받아 정해진 처리를 하고 결과(output)를 내놓는 과정이 수학의 함수와 똑같죠.
• 물리학: 시간($t$)에 따른 물체의 위치($s$)를 나타내는 함수 $s(t)$, 힘($F$)과 가속도($a$)의 관계 $F=ma$ 등 수많은 물리 법칙이 함수로 표현됩니다.
• 경제학: 수요와 공급의 법칙도 함수로 나타낼 수 있어요. 가격($P$)에 따른 수요량($Q_d$)을 나타내는 수요함수, 공급량($Q_s$)을 나타내는 공급함수를 이용해 시장 가격을 분석하죠.
• 앞으로 배울 수학: 함수는 앞으로 배울 극한, 미분, 적분의 기본 개념이에요. 함수의 그래프를 이해해야 변화율을 구하고 넓이를 구하는 등 더 심화된 수학의 세계로 나아갈 수 있답니다!

⚠️ 오개념 방지 및 심화 팁

• 오개념 주의!: '일대일함수'와 '일대일대응'은 달라요! 일대일함수는 단순히 $x$값이 다르면 $y$값이 다른 것이고, 일대일대응은 여기서 '치역=공역' 조건까지 만족해야 해요. 즉, 일대일대응이 더 까다로운 조건이죠. 공역에 남는 원소가 있으면 일대일함수는 될 수 있어도 일대일대응은 될 수 없어요.
• 심화 팁 - 가로선 테스트: 함수의 그래프가 일대일함수인지 판별하는 아주 유용한 방법이에요. 좌표평면에 가로선($y=k$)을 그었을 때, 그래프와 교점이 1개이거나 없으면 일대일함수랍니다. 교점이 2개 이상 생기면 일대일함수가 아니에요!

✨ 마무리하며

오늘은 함수의 정의부터 시작해서 정의역, 공역, 치역이라는 기본 용어들을 배우고, 여러 가지 함수의 종류(일대일, 항등, 상수)와 그래프까지 살펴보았어요. 모든 $x$가 딱 한 발씩 화살을 쏘는 것이 '함수'라는 점, 그리고 함수의 종류에 따라 그래프가 독특한 모양을 갖는다는 것을 이해하는 것이 핵심이었어요.

함수는 수학이라는 거대한 건물을 짓는 벽돌과 같아요. 오늘 배운 내용을 튼튼하게 다져놓으면 앞으로의 수학 공부가 훨씬 수월해질 거예요. 다음 시간에는 두 함수를 연결하는 '합성함수'에 대해 배워보겠습니다. 오늘 정말 수고 많았어요! 💪