미래엔 공통수학2 교과서 [역함수] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학2 교과서 [함수와 그래프] - 역함수 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요! 수학의 즐거움을 알려주는 '수학쟁이 선생님'입니다. 😊 오늘은 지난 시간 합성함수에 이어, 함수의 세계를 더욱 깊이 탐험하는 시간, 바로 '역함수'에 대해 배워볼 거예요. 역함수는 이름 그대로 '거꾸로 가는 함수'라고 생각하면 쉬운데요, 우리가 어떤 과정을 거쳐 결과를 얻었다면, 그 결과에서 다시 처음으로 되돌아가는 과정을 생각하는 것과 같아요. 암호를 해독하거나, 단위를 변환하는 등 우리 생활 속에도 역함수의 원리가 숨어있답니다. 그럼 지금부터 교과서 113쪽부터 116쪽까지, 역함수의 모든 문제를 꼼꼼하게 풀어보며 그 개념을 완벽하게 정복해봅시다! 🚀

🚀 '역함수' 핵심 포인트 정리

역함수 단원을 공부하기 전에, 이 다섯 가지만큼은 꼭 기억해 주세요!

• 역함수의 존재 조건: 모든 함수가 역함수를 가질 수 있는 건 아니에요. 오직 일대일 대응인 함수만이 역함수를 가질 수 있답니다. 즉, x값 하나에 y값 하나가 대응하고, 치역과 공역이 같아야 해요.
• 역함수의 정의: 함수 $f$가 X에서 Y로의 일대일 대응일 때, Y의 각 원소 y에 대해 $f(x)=y$인 X의 원소 x를 대응시키는 새로운 함수를 $f$의 역함수라 하고, $f^{-1}$로 나타내요. 즉, $y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$ 입니다.
• 역함수 구하는 방법:
  1. 주어진 함수 $y=f(x)$가 일대일 대응인지 확인해요.
  2. $y=f(x)$를 x에 관하여 풀어요. ($x = f^{-1}(y)$ 꼴)
  3. x와 y를 서로 바꾸어 $y = f^{-1}(x)$ 꼴로 정리해요.
• 함수와 역함수의 관계: 함수 $f$와 그 역함수 $f^{-1}$를 합성하면 항등함수가 돼요. 즉, $(f^{-1} \circ f)(x) = x$, $(f \circ f^{-1})(y) = y$ 입니다.
• 함수와 역함수의 그래프: 함수 $y=f(x)$의 그래프와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프는 항상 직선 $y=x$에 대하여 대칭이에요.

📚 교과서 문제 풀이 (114쪽 ~ 116쪽)

p.114 문제 1

함수 $f: X \to Y$가 역함수가 존재하도록 오른쪽 그림을 완성하고, 다음을 구하시오. (단, $X=\{1,2,3,4\}, Y=\{3,5,6,7\}$)

(1) $f^{-1}(7)$

(2) $(f^{-1} \circ f)(4)$

(3) $(f \circ f^{-1})(3)$

(4) $(f^{-1})^{-1}(2)$

[풀이]

역함수가 존재하려면 함수 $f$가 일대일 대응이어야 해요. 즉, X의 원소와 Y의 원소가 하나씩 빠짐없이 짝을 이루어야 합니다.
그림에서 $f(1)=6$, $f(4)=3$으로 주어졌네요. 남은 X의 원소 2, 3과 Y의 원소 5, 7을 짝지어주면 됩니다.
예를 들어, $f(2)=5$, $f(3)=7$로 대응시키면 일대일 대응이 완성됩니다. (물론 $f(2)=7, f(3)=5$도 가능해요. 어떤 경우든 답은 같습니다.)

(1) $f^{-1}(7)$
역함수는 거꾸로 가는 대응이죠? $f^{-1}(7)$은 '어떤 x값을 넣어야 7이 나올까?'라는 질문과 같아요. 위 그림에서 7에 대응되는 x값은 3이므로, $f^{-1}(7) = 3$입니다.

(2) $(f^{-1} \circ f)(4)$
함수 $f$와 그 역함수 $f^{-1}$를 합성하면? 바로 항등함수가 됩니다. 즉, 넣은 값이 그대로 나와요! 따라서 계산할 필요 없이 $(f^{-1} \circ f)(4) = 4$입니다.
(확인: $f(4)=3$이고 $f^{-1}(3)=4$이므로 $(f^{-1} \circ f)(4) = f^{-1}(f(4)) = f^{-1}(3) = 4$가 맞죠?)

(3) $(f \circ f^{-1})(3)$
(2)와 마찬가지로, 합성 순서가 바뀌어도 항등함수인 것은 똑같아요. 따라서 $(f \circ f^{-1})(3) = 3$입니다.

(4) $(f^{-1})^{-1}(2)$
역함수의 역함수는? 다시 원래 함수로 돌아옵니다! 즉, $(f^{-1})^{-1} = f$와 같아요. 따라서 $(f^{-1})^{-1}(2) = f(2)$를 구하면 됩니다. 위 그림에서 $f(2)=5$입니다.

p.115 문제 2

다음 함수의 역함수를 구하시오.

(1) $y = -3x + 1$

(2) $y = \frac{1}{4}x + 2$

[풀이]

역함수를 구하는 3단계를 차근차근 따라가 봅시다! 두 함수 모두 일차함수이므로 일대일 대응이라 역함수가 존재해요.

(1) $y = -3x + 1$

1단계: x에 관하여 풀기
y를 이항하고, x항을 좌변으로 옮기면, $3x = -y + 1$
양변을 3으로 나누면, $x = -\frac{1}{3}y + \frac{1}{3}$

2단계: x와 y를 서로 바꾸기
$y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$

따라서, 구하는 역함수는 $y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ 입니다.

---

(2) $y = \frac{1}{4}x + 2$

1단계: x에 관하여 풀기
먼저 2를 이항하면, $y - 2 = \frac{1}{4}x$
양변에 4를 곱하면, $4(y-2) = x$, 즉 $x = 4y - 8$

2단계: x와 y를 서로 바꾸기
$y = 4x - 8$

따라서, 구하는 역함수는 $y = 4x - 8$ 입니다.

p.115 문제 3

$(g \circ f)(x) = 2x - 5$일 때, $(f^{-1} \circ g^{-1})(3)$의 값을 구하시오.

[풀이]

이 문제는 합성함수의 역함수에 대한 중요한 성질을 알고 있는지 묻고 있어요.
바로 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ 라는 것이죠. 마치 신발을 신고 양말을 신을 수 없듯이, 합성의 역과정은 순서가 반대가 된답니다!

따라서 우리가 구해야 할 $(f^{-1} \circ g^{-1})(3)$은 $(g \circ f)^{-1}(3)$과 같아요.
$h(x) = (g \circ f)(x) = 2x-5$ 라고 해봅시다. 우리가 구할 값은 $h^{-1}(3)$입니다.

$h^{-1}(3) = k$ 라고 두면, 역함수의 정의에 의해 $h(k) = 3$이 성립해야 해요.
$h(k) = 2k - 5 = 3$
$2k = 8$
$k=4$

따라서 구하는 값은 4입니다.

p.116 문제 4

다음 함수와 그 역함수의 그래프를 그리시오.

(1) $y = 5x - 2$

(2) $y = -\frac{1}{3}x + 3$

[풀이]

함수와 그 역함수의 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이라는 사실! 이것만 알면 쉽게 그릴 수 있어요.

(1) $y = 5x - 2$
먼저 역함수를 구하면 $x = 5y - 2 \implies 5y = x+2 \implies y = \frac{1}{5}x + \frac{2}{5}$ 입니다.
두 함수의 그래프와 직선 $y=x$를 함께 그리면 다음과 같아요.

파란색 직선($y=5x-2$)과 빨간색 직선($y=\frac{1}{5}x + \frac{2}{5}$)이 녹색 점선($y=x$)을 기준으로 정확히 접히는 것을 볼 수 있죠?

---

(2) $y = -\frac{1}{3}x + 3$
역함수를 구하면 $x = -\frac{1}{3}y + 3 \implies x-3 = -\frac{1}{3}y \implies y = -3x+9$ 입니다.
두 함수의 그래프와 직선 $y=x$를 함께 그리면 다음과 같아요.

p.116 문제 5 (과학 문제)

화씨온도($y$ °F)는 섭씨온도($x$ °C)를 이용하여 $y=\frac{9}{5}x+32$ 로 나타낼 수 있다.

(1) 이 함수의 역함수를 구해 보자.

(2) 화씨온도 95°F는 섭씨온도로 몇 °C인지 구해 보자.

[풀이]

섭씨를 화씨로 바꾸는 함수가 주어졌으니, 화씨를 섭씨로 바꾸는 함수는 바로 이 함수의 역함수가 되겠죠!

(1) 역함수 구하기
주어진 함수 $y = \frac{9}{5}x + 32$의 역함수를 구해봅시다.
먼저 x에 관해 정리해요.
$y - 32 = \frac{9}{5}x$
양변에 $\frac{5}{9}$를 곱해주면,
$\frac{5}{9}(y-32) = x$

이제 x와 y를 서로 바꾸면 역함수가 완성돼요.
$y = \frac{5}{9}(x-32)$
이것이 바로 화씨온도(x)를 섭씨온도(y)로 바꾸는 식이랍니다.

(2) 화씨 95°F를 섭씨로 변환하기
(1)에서 구한 역함수에 화씨온도인 $x=95$를 대입하면 됩니다.
$y = \frac{5}{9}(95-32)$
$y = \frac{5}{9}(63)$
$y = 5 \times 7 = 35$

따라서 화씨 95°F는 섭씨 35°C입니다.

개념 확장 및 연관성 🔎

오늘 배운 역함수는 앞으로 수학을 공부하는 데 아주 중요한 역할을 해요.

• 로그함수와 지수함수: 고2 때 배우게 될 로그함수는 지수함수의 역함수랍니다. 이 관계를 이해하면 두 함수의 그래프와 성질을 훨씬 쉽게 파악할 수 있어요.
• 암호학: 간단한 암호를 만들고 해독하는 과정은 함수와 역함수의 관계로 설명할 수 있어요. 평문을 암호문으로 바꾸는 과정이 함수(암호화)라면, 암호문을 다시 평문으로 바꾸는 과정은 그 함수의 역함수(복호화)를 이용하는 것이죠.
• 컴퓨터 프로그래밍: 어떤 작업을 수행하는 함수가 있다면, 그 작업을 원래대로 되돌리는 'undo' 기능은 역함수의 개념으로 생각할 수 있습니다.

오개념 방지 및 심화 팁 ⚠️

역함수를 공부할 때 학생들이 가장 많이 헷갈리는 부분들을 짚어줄게요!

• $f^{-1}(x)$ vs $\frac{1}{f(x)}$: 이건 정말 중요해요! $f^{-1}(x)$는 $f(x)$의 역함수를 의미하고, $[f(x)]^{-1}$ 또는 $\frac{1}{f(x)}$은 $f(x)$의 역수를 의미해요. 지수의 -1과 역함수의 -1은 의미가 완전히 다르니 절대 혼동하면 안 돼요!
• 모든 함수에 역함수가 있을까?: 아니에요! 오직 일대일 대응 함수만 역함수를 가질 수 있어요. 예를 들어, $y=x^2$과 같은 이차함수는 $x=2$일 때와 $x=-2$일 때 모두 $y=4$라는 같은 값을 가지죠. 이러면 거꾸로 4에서 출발할 때 2로 가야 할지, -2로 가야 할지 정할 수 없어서 함수가 되지 않아요. (그래프에서 가로선을 그었을 때 두 점 이상에서 만나면 역함수가 없어요!)
• 함수와 역함수의 교점: 함수 $y=f(x)$와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 교점은 대부분 직선 $y=x$ 위에 존재해요. 그래서 두 그래프의 교점을 찾을 때, 복잡하게 역함수를 직접 구해서 연립하기보다는, 원래 함수 $y=f(x)$와 $y=x$를 연립해서 푸는 것이 훨씬 간단하고 효율적이랍니다. (단, 감소함수인 경우엔 $y=x$ 밖에서도 교점이 생길 수 있으니 주의해야 해요!)

마무리하며 💡

오늘은 '역함수'에 대해 배워봤습니다. 어떤 함수의 작용을 거꾸로 되돌리는 역함수는 일대일 대응일 때만 존재한다는 점, 그리고 원래 함수와 역함수의 그래프는 직선 $y=x$에 대해 아름다운 대칭을 이룬다는 점이 가장 중요한 포인트였어요.

다음 시간에는 유리식으로 정의된 '유리함수'와 무리식으로 정의된 '무리함수'에 대해 배우게 될 거예요. 오늘 배운 함수의 기본 성질과 그래프에 대한 이해가 바탕이 되면 다음 내용도 훨씬 수월하게 정복할 수 있을 겁니다. 수학은 이렇게 개념들이 서로 연결되고 확장되는 학문이에요. 꾸준히 따라오다 보면 어느새 수학 실력이 쑥쑥 늘어있는 자신을 발견하게 될 거예요. 오늘도 정말 수고 많았습니다! 💪