미래엔 공통수학2 교과서 [유리함수] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학2 교과서 [함수와 그래프] - 유리함수 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 👨‍🏫

오늘은 공통수학2의 세 번째 대단원, '함수와 그래프'의 첫 번째 중단원인 '유리함수와 무리함수' 그중에서도 유리함수 파트를 함께 정복해 보려고 합니다. 유리함수는 분수 형태로 표현되는 함수로, 우리 주변의 다양한 현상을 설명하는 데 유용하게 쓰인답니다. 특히 그래프의 특징을 잘 파악하는 것이 중요해요. 오늘 122쪽부터 126쪽까지 모든 문제를 꼼꼼하게 풀어보면서 유리함수의 개념을 확실히 다져봅시다. 그럼, 시작할까요?

유리함수 핵심 포인트 짚고 가기! 🚀

유리함수 단원을 마스터하기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념들을 정리해 볼게요!

• 유리식: 두 다항식 $A$, $B$에 대하여 $B \neq 0$일 때, $\frac{A}{B}$ 꼴의 식을 유리식이라고 해요. 다항식도 분모가 1인 유리식이랍니다.
• 유리함수: $y=f(x)$에서 $f(x)$가 $x$에 대한 유리식일 때, 이 함수를 유리함수라고 해요. 유리함수의 정의역은 특별한 언급이 없으면 분모가 0이 되지 않도록 하는 실수 전체의 집합이에요.
• 유리함수 $y = \frac{k}{x}$ (k≠0)의 그래프 (기본형)
  • 점근선: 그래프가 한없이 가까워지는 직선. x축($y=0$)과 y축($x=0$)이 점근선이에요.
  • 대칭성: 원점(0, 0), 직선 $y=x$, 직선 $y=-x$에 대하여 대칭이에요.
  • k의 부호: $k>0$이면 제1, 3사분면에, $k<0$이면 제2, 4사분면에 그래프가 그려져요.
  • $|k|$의 크기: $|k|$가 커질수록 그래프는 원점에서 멀어져요.
• 유리함수 $y = \frac{k}{x-p} + q$의 그래프 (표준형)
  • $y=\frac{k}{x}$의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 것이에요.
  • 정의역: $\{x | x \neq p인 실수\}$, 치역: $\{y | y \neq q인 실수\}$
  • 점근선: 두 직선 $x=p$, $y=q$
  • 대칭성: 점 $(p, q)$에 대하여 대칭이에요.
• 유리함수 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$의 그래프 (일반형)
  • 그냥 그리기 어려우니, 나눗셈을 통해 $y = \frac{k}{x-p} + q$ 꼴로 변형해야 해요.
  • 점근선 공식: $x = -\frac{d}{c}$, $y = \frac{a}{c}$

교과서 문제 풀이 (122p ~ 126p)

자, 이제 본격적으로 교과서 문제를 하나씩 풀어봅시다!

p.122 생각 열기

우리나라의 전통 유기는 1200℃가 넘는 고온에서 구리와 주석을 섞은 합금으로 만든 놋그릇이다.

◆ 구리 $x$ kg에 주석 3 kg을 섞은 합금으로 유기를 만들 때, 이 합금에서 구리의 비율을 $x$에 대한 식으로 나타내 보자.

문제를 차근차근 분석해 볼게요. 구리의 '비율'을 구하는 문제네요. 비율은 (특정 성분의 양) / (전체 양)으로 구하죠?

1. 전체 합금의 무게: 구리의 무게 $x$ kg과 주석의 무게 3 kg을 더하면 돼요.

$(x+3)$ kg

2. 구리의 무게: 문제에서 $x$ kg이라고 주어졌어요.

3. 구리의 비율: (구리의 무게) / (전체 합금의 무게) 이므로,

$\frac{x}{x+3}$

따라서 구리의 비율은 $\frac{x}{x+3}$ 입니다. 이렇게 분모에 변수 $x$가 포함된 식을 바로 유리식이라고 한답니다!

p.122 문제 1

다음에서 다항식이 아닌 유리식을 모두 찾으시오.

$\frac{2}{x+5}$, $\frac{x-2}{3}$, $\frac{1}{4}-\frac{1}{x}$, $\frac{2x-1}{x^2+x}$, $x^2+\frac{1}{2}$

다항식이 아닌 유리식을 찾으라는 말은, 쉽게 말해 '분모에 문자가 포함된 분수식'을 찾으라는 뜻이에요.

• $\frac{2}{x+5}$: 분모에 $x+5$가 있으므로 다항식이 아닌 유리식입니다. (O)
• $\frac{x-2}{3}$: 이 식은 $\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$ 와 같아요. 분모에 문자가 없으므로 다항식입니다.
• $\frac{1}{4}-\frac{1}{x}$: $\frac{1}{x}$ 항의 분모에 $x$가 있으므로 다항식이 아닌 유리식입니다. (O)
• $\frac{2x-1}{x^2+x}$: 분모에 $x^2+x$가 있으므로 다항식이 아닌 유리식입니다. (O)
• $x^2+\frac{1}{2}$: 분모에 문자가 없으므로 다항식입니다.

따라서 정답은 $\frac{2}{x+5}$, $\frac{1}{4}-\frac{1}{x}$, $\frac{2x-1}{x^2+x}$ 입니다.

p.123 예제 1

다음 식을 계산하시오.

(1) $\frac{2}{x}+\frac{1}{x-1}$

(2) $\frac{x-1}{x^{2}+x}\div\frac{x^{2}-1}{x}$

유리식의 계산은 유리수(분수) 계산과 원리가 같아요. 덧셈/뺄셈은 통분, 곱셈/나눗셈은 약분!

(1) 덧셈이므로 통분부터!

두 분모 $x$와 $x-1$의 최소공배수는 $x(x-1)$이죠. 각 분자에 필요한 식을 곱해줍니다.

$\begin{align*} \frac{2}{x}+\frac{1}{x-1} &= \frac{2(x-1)}{x(x-1)} + \frac{1 \cdot x}{x(x-1)} \\ &= \frac{2x-2+x}{x(x-1)} \\ &= \frac{3x-2}{x(x-1)} \end{align*}$

정답: $\frac{3x-2}{x(x-1)}$

(2) 나눗셈은 역수를 곱하는 것! 그리고 인수분해!

나눗셈을 곱셈으로 바꾸고, 약분할 수 있도록 각 식을 인수분해하는 것이 핵심입니다.

$\begin{align*} \frac{x-1}{x^{2}+x}\div\frac{x^{2}-1}{x} &= \frac{x-1}{x(x+1)} \times \frac{x}{x^2-1} \\ &= \frac{x-1}{x(x+1)} \times \frac{x}{(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{\color{red}{x-1}}{\color{red}{x}(x+1)} \times \frac{\color{red}{x}}{(\color{red}{x-1})(x+1)} \\ &= \frac{1}{(x+1)^2} \end{align*}$

정답: $\frac{1}{(x+1)^2}$

p.123 문제 2

다음 식을 계산하시오.

(1) $\frac{3x}{x^{2}-1}-\frac{2}{x+1}$

(2) $\frac{x+2}{x^{2}+3x}\times\frac{x+3}{x^{2}-4}$

예제 1과 같은 방식으로 풀어볼게요.

(1) 뺄셈이므로 통분!

먼저 분모 $x^2-1$을 인수분해하면 $(x-1)(x+1)$이므로, 최소공배수는 $(x-1)(x+1)$입니다.

$\begin{align*} \frac{3x}{x^{2}-1}-\frac{2}{x+1} &= \frac{3x}{(x-1)(x+1)} - \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{3x-2(x-1)}{(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{3x-2x+2}{(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{x+2}{(x-1)(x+1)} \end{align*}$

정답: $\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}$

(2) 곱셈이므로 인수분해 후 약분!

$\begin{align*} \frac{x+2}{x^{2}+3x}\times\frac{x+3}{x^{2}-4} &= \frac{x+2}{x(x+3)} \times \frac{x+3}{(x-2)(x+2)} \\ &= \frac{\color{red}{x+2}}{x(\color{red}{x+3})} \times \frac{\color{red}{x+3}}{(x-2)(\color{red}{x+2})} \\ &= \frac{1}{x(x-2)} \end{align*}$

정답: $\frac{1}{x(x-2)}$

p.123 문제 3

다음 함수의 정의역을 구하시오.

(1) $y=\frac{4x+3}{x-5}$

(2) $y=\frac{2-x}{3x+1}$

유리함수의 정의역은 다른 말이 없다면 '분모가 0이 되지 않는 모든 실수'의 집합입니다. 이것만 기억하면 아주 쉬워요!

(1) 분모가 $x-5$이므로, $x-5 \neq 0$ 이어야 합니다. 따라서 $x \neq 5$ 입니다.
정의역: $\{x | x \neq 5 \text{인 실수}\}$

(2) 분모가 $3x+1$이므로, $3x+1 \neq 0$ 이어야 합니다. 따라서 $x \neq -\frac{1}{3}$ 입니다.
정의역: $\{x | x \neq -\frac{1}{3} \text{인 실수}\}$

p.125 문제 4

다음 함수의 그래프를 그리시오.

(1) $y=\frac{3}{x}$     (2) $y=-\frac{3}{x}$

(3) $y=\frac{1}{4x}$     (4) $y=-\frac{1}{4x}$

기본형 $y=\frac{k}{x}$ 그래프 그리기 문제입니다. 핵심은 k의 부호와 점근선(x축, y축)이에요!

(1) $y=\frac{3}{x}$ ($k=3 > 0$ 이므로 제 1, 3사분면)

(2) $y=-\frac{3}{x}$ ($k=-3 < 0$ 이므로 제 2, 4사분면)

(3) $y=\frac{1}{4x}$ ($k=1/4 > 0$ 이므로 제 1, 3사분면)

(4) $y=-\frac{1}{4x}$ ($k=-1/4 < 0$ 이므로 제 2, 4사분면)

p.125 문제 5

다음 함수의 그래프를 그리고, 점근선을 구하시오.

(1) $y=\frac{2}{x-1}-5$

(2) $y=-\frac{6}{x+3}-2$

표준형 $y = \frac{k}{x-p} + q$ 그래프는 기본형 그래프를 평행이동한 것이에요. 점근선이 $x=p, y=q$로 이동하는 것이 포인트!

(1) $y=\frac{2}{x-1}-5$

이 그래프는 $y=\frac{2}{x}$의 그래프를 x축 방향으로 1만큼, y축 방향으로 -5만큼 평행이동한 것입니다.

• 점근선: $x=1, y=-5$

(2) $y=-\frac{6}{x+3}-2$

이 그래프는 $y=-\frac{6}{x}$의 그래프를 x축 방향으로 -3만큼, y축 방향으로 -2만큼 평행이동한 것입니다.

• 점근선: $x=-3, y=-2$

p.126 예제 2

함수 $y=\frac{2x-1}{x+1}$의 그래프를 그리고, 점근선을 구하시오.

일반형 그래프는 바로 그리기 어려워요. 분자를 분모로 나누어 표준형 $y = \frac{k}{x-p} + q$ 꼴로 바꿔주는 작업이 필요합니다.

1. 일반형을 표준형으로 변환

분자 $2x-1$을 분모 $x+1$로 나눠볼게요. 분자에 분모 모양을 억지로 만들어주는 게 팁!

$y = \frac{2x-1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 2 - 1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 3}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x+1} - \frac{3}{x+1} = -\frac{3}{x+1} + 2$

2. 그래프 정보 파악 및 그리기

변환된 식 $y=-\frac{3}{x-(-1)}+2$를 보니, 이 그래프는 $y=-\frac{3}{x}$의 그래프를 x축 방향으로 -1만큼, y축 방향으로 2만큼 평행이동한 것이네요.

• 점근선: $x=-1, y=2$

p.126 문제 6

다음 함수의 그래프를 그리고, 점근선을 구하시오.

(1) $y=\frac{2x}{x-3}$

(2) $y=\frac{-3x+1}{x-1}$

예제 2처럼 일반형을 표준형으로 바꿔서 풀어봅시다!

(1) $y=\frac{2x}{x-3}$

$y = \frac{2(x-3)+6}{x-3} = \frac{6}{x-3} + 2$

$y=\frac{6}{x}$의 그래프를 x축으로 3만큼, y축으로 2만큼 평행이동한 그래프입니다.

• 점근선: $x=3, y=2$

(2) $y=\frac{-3x+1}{x-1}$

$y = \frac{-3(x-1)-3+1}{x-1} = \frac{-2}{x-1} - 3$

$y=-\frac{2}{x}$의 그래프를 x축으로 1만큼, y축으로 -3만큼 평행이동한 그래프입니다.

• 점근선: $x=1, y=-3$

개념 확장 및 연관성: 유리함수는 어디에 쓰일까? 🌍

유리함수는 단순히 수학 문제에만 등장하는 것이 아니라, 다양한 과학 및 사회 현상을 설명하는 강력한 도구랍니다.

• 물리학: 기체의 압력과 부피의 관계를 나타내는 보일의 법칙 ($P \propto \frac{1}{V}$ ), 두 물체 사이의 거리가 멀어질수록 중력이 약해지는 만유인력의 법칙 ($F \propto \frac{1}{r^2}$) 등이 모두 유리함수(반비례 관계)로 표현됩니다.
• 경제학: 기업이 상품을 생산할 때 드는 평균 비용을 계산하는 데 사용돼요. 총비용을 생산량으로 나눈 평균 비용 함수는 보통 유리함수 형태를 띤답니다. 이를 통해 가장 효율적인 생산량을 결정할 수 있죠.
• 공학: 전기 회로에서 저항과 전류의 관계 (옴의 법칙, $I = \frac{V}{R}$) 역시 유리함수의 한 예입니다.

오개념 방지 및 심화 팁! 💡

🚨 오개념 주의!

• $y=\frac{k}{x-p}+q$에서 x축 평행이동은 $-p$가 아니라 $p$만큼이에요! $x-p=0$이 되는 $x=p$가 새로운 점근선이라고 생각하면 헷갈리지 않아요.
• $y=\frac{ax+b}{cx+d}$의 수직 점근선은 $y=\frac{a}{c}$입니다. $y=a$로 착각하는 실수를 자주 하니 주의하세요!

✨ 심화 학습 팁!

• 유리함수 $y=\frac{k}{x-p}+q$는 점근선의 교점인 점 $(p, q)$에 대하여 점대칭입니다.
• 또한, 이 점 $(p, q)$를 지나고 기울기가 1과 -1인 두 직선, 즉 $y-q = \pm(x-p)$에 대하여 선대칭이기도 하답니다. 이 성질을 알면 복잡한 문제를 더 쉽게 해결할 수 있어요.
• 그래프를 더 정확하게 그리고 싶을 땐 x절편(y=0일 때의 x값)과 y절편(x=0일 때의 y값)을 구해서 표시하면 큰 도움이 됩니다!

마무리하며

오늘 우리는 유리식의 계산부터 유리함수의 그래프 그리기까지 정말 중요한 내용들을 공부했어요. 유리함수 그래프의 핵심은 뭐니 뭐니 해도 점근선과 $k$값의 부호라는 것, 잊지 마세요! 이 두 가지만 정확히 파악하면 어떤 유리함수 그래프도 자신 있게 그릴 수 있을 거예요.

다음 시간에는 오늘 배운 유리함수의 '짝꿍'이라고 할 수 있는 무리함수에 대해 배워보도록 하겠습니다. 오늘 배운 내용이 다음 시간의 튼튼한 발판이 될 테니, 꼭 복습하는 시간을 가지길 바라요. 수고 많으셨습니다! 😊