미래엔 공통수학2 교과서 [무리함수] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학 교과서 함수와 그래프 2-2. 무리함수 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 🥳 다들 유리함수는 정복하셨나요? 유리함수의 핵심이 점근선이었다면, 이번에 배울 무리함수의 핵심은 바로 '시작점'과 '방향'이랍니다. 무리함수는 정의역과 치역의 개념을 확실히 이해하는 것이 정말 중요해요. 그럼, 저와 함께 무리함수의 세계로 떠나볼까요? 교과서 127페이지부터 131페이지까지, 모든 문제를 꼼꼼하게 풀어보겠습니다!

📘 무리함수 핵심 포인트

무리함수 단원을 공부하기 전에, 이 세 가지만큼은 꼭 기억해 주세요!

1. 정의역과 치역: 무리함수의 가장 중요한 특징! 근호(√) 안의 값은 항상 0 이상이어야 해요. 즉, $y=\sqrt{f(x)}$ 에서 $f(x) \ge 0$ 이 바로 정의역이 됩니다. 그리고 근호(√)의 값 자체도 항상 0 이상이므로, 이를 통해 치역의 범위를 알 수 있죠.
2. 기본 그래프의 형태와 평행이동: 무리함수의 그래프는 $y = a\sqrt{b(x-p)} + q$ 꼴로 정리할 수 있어요. 이 그래프는 $y = a\sqrt{bx}$의 그래프를 x축 방향으로 $p$만큼, y축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것이랍니다. 그래프의 시작점은 $(p, q)$가 되고, $a$와 $b$의 부호에 따라 4가지 방향으로 뻗어 나가게 됩니다.
3. 역함수 관계: 무리함수 $y=\sqrt{x}$ ($x \ge 0$)는 이차함수 $y=x^2$ ($x \ge 0$)의 역함수 관계에 있어요. 그래서 두 그래프는 직선 $y=x$에 대해 대칭이라는 사실! 이 관계를 이해하면 그래프를 더 깊이 있게 파악할 수 있습니다.

📚 교과서 문제 풀이 (p.127 ~ p.131)

p.127 문제 1

다음 무리식의 값이 실수가 되도록 하는 $x$의 값의 범위를 구하시오.

(1) $\sqrt{2x-3}+1$

(2) $\frac{x}{\sqrt{4-x}}$

🔍 상세 풀이

무리식의 값이 실수가 되기 위한 조건! 딱 두 가지만 기억하면 돼요.

1. 근호(√) 안의 식의 값은 0 이상이어야 한다. ($ \ge 0 $)
2. (분수일 경우) 분모는 0이 아니어야 한다.

이 원칙만 적용하면 문제는 아주 쉽게 해결됩니다.

(1) $\sqrt{2x-3}+1$

근호 안의 식은 $2x-3$이네요. 이 값이 0 이상이어야 하므로,

$$2x-3 \ge 0$$

이 부등식을 풀면,

$$2x \ge 3$$

$$x \ge \frac{3}{2}$$

따라서, 이 무리식의 값이 실수가 되기 위한 $x$의 값의 범위는 $x \ge \frac{3}{2}$ 입니다.

(2) $\frac{x}{\sqrt{4-x}}$

이 식은 분수 형태이므로 두 가지 조건을 모두 따져봐야 해요.

조건 1: (근호 안) $\ge 0$
근호 안의 식 $4-x$는 0 이상이어야 합니다.
$4-x \ge 0 \implies x \le 4$

조건 2: (분모) $\ne 0$
분모인 $\sqrt{4-x}$가 0이 되면 안 됩니다.
$\sqrt{4-x} \ne 0 \implies 4-x \ne 0 \implies x \ne 4$

두 조건을 동시에 만족시켜야 하므로, $x \le 4$ 와 $x \ne 4$ 의 공통 범위를 찾으면 됩니다.
따라서 최종적인 $x$의 값의 범위는 $x < 4$ 입니다.

p.128 문제 2

다음 식을 간단히 하시오.

(1) $(\sqrt{x+3}+\sqrt{x})(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})$

(2) $\frac{2}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}$

🔍 상세 풀이

무리식의 계산은 곱셈 공식, 특히 합차 공식을 이용한 분모의 유리화가 핵심이죠. 중학교 때 배운 내용을 다시 한번 떠올려 봅시다!

(1) $(\sqrt{x+3}+\sqrt{x})(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})$

이 식은 합차 공식 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$을 바로 적용할 수 있는 형태입니다.

$$(\sqrt{x+3}+\sqrt{x})(\sqrt{x+3}-\sqrt{x}) = (\sqrt{x+3})^2 - (\sqrt{x})^2$$

근호를 제곱하면 근호가 사라지므로,

$$= (x+3) - x = 3$$

따라서 정답은 3 입니다.

(2) $\frac{2}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}$

분모에 근호가 있으니 유리화를 해야겠죠? 분모의 켤레식인 $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}$을 분자와 분모에 똑같이 곱해줍니다.

$$\frac{2}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}} = \frac{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}$$

분모에 합차 공식을 적용하면,

$$= \frac{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{(\sqrt{x+1})^2 - (\sqrt{x-1})^2} = \frac{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{(x+1) - (x-1)}$$

$$= \frac{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{2} = \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}$$

따라서 간단히 한 식은 $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}$ 입니다.

p.128 문제 3

다음 함수의 정의역을 구하시오.

(1) $y = -\sqrt{x+4}$

(2) $y = \sqrt{5-2x}-1$

🔍 상세 풀이

무리함수의 정의역은 어떻게 구한다고요? 네, 맞아요! 근호 안의 식이 0 이상($\ge 0$)이 되도록 하는 $x$의 범위를 구하면 됩니다.

(1) $y = -\sqrt{x+4}$

근호 안의 식은 $x+4$ 입니다. 이 값이 0 이상이어야 하므로,

$$x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$$

따라서 정의역은 $\{x | x \ge -4\}$ 입니다.

(2) $y = \sqrt{5-2x}-1$

근호 안의 식은 $5-2x$ 입니다. 이 값이 0 이상이어야 하므로,

$$5-2x \ge 0 \implies 5 \ge 2x \implies \frac{5}{2} \ge x$$

따라서 정의역은 $\{x | x \le \frac{5}{2}\}$ 입니다.

p.129 문제 4

함수 $y=\sqrt{x}$의 그래프를 대칭이동하여 다음 함수의 그래프를 그리시오.

(1) $y = -\sqrt{x}$

(2) $y = \sqrt{-x}$

(3) $y = -\sqrt{-x}$

🔍 상세 풀이

대칭이동의 기본 원리를 기억하고 있나요?

• x축 대칭: $y$ 대신 $-y$를 대입 $\implies y = f(x)$가 $y = -f(x)$로!
• y축 대칭: $x$ 대신 $-x$를 대입 $\implies y = f(x)$가 $y = f(-x)$로!
• 원점 대칭: $x$ 대신 $-x$, $y$ 대신 $-y$를 대입 $\implies y = f(x)$가 $y = -f(-x)$로!

기본 그래프 $y=\sqrt{x}$를 기준으로 각 함수가 어떻게 변하는지 살펴봅시다.

기본 그래프: $y=\sqrt{x}$

(1) $y = -\sqrt{x}$ (x축 대칭)

(2) $y = \sqrt{-x}$ (y축 대칭)

(3) $y = -\sqrt{-x}$ (원점 대칭)

(1) $y = -\sqrt{x}$

(2) $y = \sqrt{-x}$

(3) $y = -\sqrt{-x}$

p.130 문제 5

다음 함수의 그래프를 그리고, 정의역과 치역을 구하시오.

(1) $y = \sqrt{-(x-5)}+1$

(2) $y = -\sqrt{5(x+2)}-1$

🔍 상세 풀이

평행이동 문제네요! 무리함수 $y=a\sqrt{b(x-p)}+q$의 그래프는

• 시작점: $(p, q)$
• 기본 형태: $y=a\sqrt{bx}$

이 두 가지만 알면 그래프를 그릴 수 있습니다.

(1) $y = \sqrt{-(x-5)}+1$

이 함수는 $y=\sqrt{-x}$의 그래프를 x축 방향으로 5만큼, y축 방향으로 1만큼 평행이동한 것입니다.

• 시작점: $(5, 1)$
• 방향: $y=\sqrt{-x}$ 형태이므로, 시작점에서 왼쪽 위로 뻗어 나갑니다.
• 정의역: $-(x-5) \ge 0 \implies x-5 \le 0 \implies x \le 5$. 정의역은 $\{x|x \le 5\}$.
• 치역: $\sqrt{-(x-5)} \ge 0$ 이므로, $y = \sqrt{-(x-5)}+1 \ge 1$. 치역은 $\{y|y \ge 1\}$.

(2) $y = -\sqrt{5(x+2)}-1$

이 함수는 $y=-\sqrt{5x}$의 그래프를 x축 방향으로 -2만큼, y축 방향으로 -1만큼 평행이동한 것입니다.

• 시작점: $(-2, -1)$
• 방향: $y=-\sqrt{5x}$ 형태이므로, 시작점에서 오른쪽 아래로 뻗어 나갑니다.
• 정의역: $5(x+2) \ge 0 \implies x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$. 정의역은 $\{x|x \ge -2\}$.
• 치역: $\sqrt{5(x+2)} \ge 0$ 이므로, $-\sqrt{5(x+2)} \le 0$. 따라서 $y = -\sqrt{5(x+2)}-1 \le -1$. 치역은 $\{y|y \le -1\}$.

p.131 예제 2

무리함수 $y=\sqrt{2x+8}+2$의 그래프를 그리고, 정의역과 치역을 구하시오.

🔍 상세 풀이

이 문제는 그래프를 그리기 위해 식을 표준형으로 바꾸는 연습이에요.

먼저 주어진 식 $y=\sqrt{2x+8}+2$를 $y=\sqrt{a(x-p)}+q$ 꼴로 바꿉니다. 근호 안의 $x$의 계수인 2로 묶어주면 됩니다.

$$y = \sqrt{2(x+4)}+2$$

이제 분석해볼까요?

• 기본 형태: $y=\sqrt{2x}$
• 평행이동: $y=\sqrt{2x}$의 그래프를 x축 방향으로 -4만큼, y축 방향으로 2만큼 평행이동.
• 시작점: $(-4, 2)$
• 방향: $y=\sqrt{2x}$ 형태이므로, 시작점에서 오른쪽 위로 뻗어 나갑니다.
• 정의역: $2x+8 \ge 0 \implies 2x \ge -8 \implies x \ge -4$. 정의역은 $\{x|x \ge -4\}$.
• 치역: $\sqrt{2x+8} \ge 0$ 이므로, $y = \sqrt{2x+8}+2 \ge 2$. 치역은 $\{y|y \ge 2\}$.

p.131 문제 7

다음 함수의 그래프를 그리고, 정의역과 치역을 구하시오.

(1) $y=\sqrt{-3x+3}-2$

(2) $y=-\sqrt{-x+4}+5$

🔍 상세 풀이

예제 2와 같은 방법으로 표준형으로 바꿔서 시작점과 방향을 찾아봅시다!

(1) $y=\sqrt{-3x+3}-2$

$$y = \sqrt{-3(x-1)}-2$$

• 시작점: $(1, -2)$
• 방향: $y=\sqrt{-3x}$ 형태이므로, 시작점에서 왼쪽 위로 뻗어 나갑니다.
• 정의역: $-3x+3 \ge 0 \implies 3 \ge 3x \implies 1 \ge x$. 정의역은 $\{x|x \le 1\}$.
• 치역: $\sqrt{-3x+3} \ge 0$ 이므로, $y=\sqrt{-3x+3}-2 \ge -2$. 치역은 $\{y|y \ge -2\}$.

(2) $y=-\sqrt{-x+4}+5$

$$y = -\sqrt{-(x-4)}+5$$

• 시작점: $(4, 5)$
• 방향: $y=-\sqrt{-x}$ 형태이므로, 시작점에서 왼쪽 아래로 뻗어 나갑니다.
• 정의역: $-x+4 \ge 0 \implies 4 \ge x$. 정의역은 $\{x|x \le 4\}$.
• 치역: $\sqrt{-x+4} \ge 0 \implies -\sqrt{-x+4} \le 0$. 따라서 $y=-\sqrt{-x+4}+5 \le 5$. 치역은 $\{y|y \le 5\}$.

🌱 개념 확장 및 연관성

무리함수는 단순히 그래프를 그리는 것에서 끝나지 않아요. 여러 분야에서 중요하게 활용된답니다.

• 물리학: 물체가 포물선 운동을 할 때, 특정 높이에 도달하는 시간이나 수평 도달 거리를 계산하는 과정에서 무리함수 형태의 식이 나타납니다. 진자의 주기를 구하는 공식($T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$)에도 무리식이 등장하죠.
• 기하학: 원의 방정식 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$을 $y$에 대해 풀면 $y = b \pm \sqrt{r^2-(x-a)^2}$가 되어, 반원의 그래프를 무리함수로 표현할 수 있습니다. 이는 두 도형의 위치 관계나 교점을 찾을 때 유용하게 쓰입니다.
• 경제학: 한계효용이 체감하는 현상, 즉 소비가 늘어날수록 만족도의 증가 폭이 점점 줄어드는 것을 모델링할 때 무리함수가 사용되기도 합니다.

⚠️ 오개념 방지 및 심화 팁

무리함수에서 학생들이 가장 많이 헷갈려하는 부분들을 짚어드릴게요!

• 실수 No.1: 정의역
  무리함수 문제를 풀 때 가장 먼저, 그리고 무조건 확인해야 할 것은 정의역입니다. (근호 안) $\ge 0$ 조건을 빠뜨리면 전혀 다른 답이 나올 수 있어요. 습관처럼 확인하는 자세가 필요합니다!
• 그래프의 방향 헷갈릴 때
  $y=a\sqrt{b(x-p)}+q$에서 시작점 $(p, q)$를 찍은 뒤, 어느 사분면 방향으로 뻗어 나가는지 헷갈린다면, $a$와 $b$의 부호를 보세요.
  • $a>0$ (위로), $b>0$ (오른쪽으로) $\implies$ 제1사분면 방향
  • $a>0$ (위로), $b<0$ (왼쪽으로) $\implies$ 제2사분면 방향
  • $a<0$ (아래로), $b<0$ (왼쪽으로) $\implies$ 제3사분면 방향
  • $a<0$ (아래로), $b>0$ (오른쪽으로) $\implies$ 제4사분면 방향
• 무리함수와 직선의 위치 관계
  무리함수와 직선의 교점 개수를 찾을 때, 단순히 판별식만 사용하면 함정에 빠질 수 있어요. 무리함수는 정의역이 제한된 '반쪽짜리' 그래프이기 때문이죠. 반드시 그래프를 그려서 교점의 개수를 확인하는 것이 가장 안전하고 정확한 방법입니다. 판별식은 보조 수단으로만 활용하세요!

✨ 마무리하며

오늘 우리는 무리식의 기본 계산부터 무리함수의 그래프, 그리고 평행이동까지 살펴보았습니다. 무리함수의 핵심은 시작점을 찾고, 그래프가 뻗어 나가는 방향을 결정하는 것입니다. 이 두 가지만 확실히 잡으면 무리함수는 더 이상 어려운 단원이 아닐 거예요.

특히, 정의역($\sqrt{\text{안}} \ge 0$)을 항상 먼저 생각하는 습관을 들이는 것이 중요합니다. 다음 시간에는 지금까지 배운 여러 함수들을 종합적으로 평가하는 대단원 평가 문제를 풀어보게 될 거예요. 오늘 배운 내용들을 잘 복습해서 다음 시간에도 자신 있게 문제를 해결해봅시다. 여러분은 잘할 수 있어요! 파이팅! 💪