미래엔 공통수학2 [함수와 그래프] 대단원 평가 문제 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학2 교과서 함수와 그래프 대단원 평가 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요! 여러분의 수학 실력을 쑥쑥 올려줄 수학쟁이 선생님입니다. 😊 오늘은 공통수학2의 큰 산맥 중 하나인 '함수와 그래프' 단원의 대단원 평가 문제를 함께 정복해 보려고 해요. 함수는 앞으로 배울 미적분의 기초가 되는 아주 중요한 단원이니, 이번 기회에 확실하게 개념을 다지고 문제 해결 능력까지 키워봅시다. 준비됐나요? 그럼 출발! 🚀

'함수와 그래프' 대단원 핵심 포인트

이 단원을 완벽하게 마스터하기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념들을 먼저 정리해 볼게요.

• 함수의 기본: 정의역, 공역, 치역의 뜻을 정확히 구분하고, 두 함수가 같을 조건($f=g$)을 이해해야 해요.
• 여러 가지 함수: 일대일 함수, 일대일 대응, 항등함수, 상수함수의 정의와 그래프 특징을 완벽하게 숙지해야 합니다. 특히, 역함수가 존재할 조건이 '일대일 대응'이라는 점! 잊지 마세요.
• 합성함수: 두 개 이상의 함수를 연결하는 과정($g \circ f$)을 이해하고, 함숫값을 정확하게 계산할 수 있어야 합니다. 합성 순서에 따라 결과가 달라질 수 있다는 점($g \circ f \neq f \circ g$)도 중요해요.
• 역함수: 역함수의 정의($y=f(x) \iff x=f^{-1}(y)$)와 역함수를 구하는 방법을 익혀야 합니다. 함수 $y=f(x)$와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $y=x$에 대해 대칭이라는 사실은 그래프 문제의 단골 출제 포인트!
• 유리함수: $y = \frac{k}{x-p} + q$ 꼴로 변형하여 그래프를 그리는 것이 핵심! 점근선($x=p, y=q$)을 먼저 찾고, 그래프의 모양(k의 부호)을 결정하면 쉽게 그릴 수 있어요.
• 무리함수: $y = a\sqrt{b(x-p)} + q$ 꼴로 변형하여 그래프의 시작점 $(p, q)$과 뻗어나가는 방향(a, b의 부호)을 파악하는 것이 중요합니다. 정의역과 치역을 꼼꼼히 따지는 습관을 들여야 해요.

교과서 문제 풀이 (p.136-138)

p.136 | 01번

두 집합 $X=\{1,2,3,4,5\}$와 $Y=\{y|y\text{는 정수}\}$에 대하여 함수 $f:X \to Y$가 $f(x)=(x^2\text{을 7로 나누었을 때의 나머지})$일 때, 함수 $f$의 치역의 모든 원소의 합은?

① 3 ② 4 ③ 6 ④ 7 ⑤ 5

상세 풀이

함수 $f(x)$는 정의역 $X$의 원소 $x$를 제곱한 후 7로 나눈 나머지를 함숫값으로 정의하고 있어요. 정의역의 각 원소에 대한 함숫값을 차례대로 구해봅시다.

• $x=1$일 때, $f(1) = 1^2 \div 7 = 1 \div 7$의 나머지는 $1$입니다.
• $x=2$일 때, $f(2) = 2^2 \div 7 = 4 \div 7$의 나머지는 $4$입니다.
• $x=3$일 때, $f(3) = 3^2 \div 7 = 9 \div 7$의 나머지는 $2$입니다.
• $x=4$일 때, $f(4) = 4^2 \div 7 = 16 \div 7$의 나머지는 $2$입니다. ($16=7\times2+2$)
• $x=5$일 때, $f(5) = 5^2 \div 7 = 25 \div 7$의 나머지는 $4$입니다. ($25=7\times3+4$)

함숫값들을 모아보면 $\{1, 4, 2, 2, 4\}$가 되네요. 치역은 함숫값 전체의 집합이므로, 중복된 원소를 한 번만 써서 나타내면 $\{1, 2, 4\}$입니다.

따라서 치역의 모든 원소의 합은 $1+2+4=7$입니다.

답: ④ 7

p.136 | 02번

정의역이 $\{-1, 3\}$인 두 함수 $f(x)=-x^2+3x-2$, $g(x)=ax+b$에 대하여 $f=g$가 성립한다. 이때 상수 $a$와 $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.

상세 풀이

두 함수가 서로 같을 조건($f=g$)은 '정의역과 공역이 같고, 정의역의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x)=g(x)$가 성립한다'는 것이죠. 문제에서 정의역은 $\{-1, 3\}$으로 주어졌으므로, 우리는 다음 두 등식을 만족시키면 됩니다.

$f(-1)=g(-1)$ 이고 $f(3)=g(3)$

먼저 $f(x)$의 함숫값을 계산해봅시다.

$f(-1) = -(-1)^2 + 3(-1) - 2 = -1 - 3 - 2 = -6$
$f(3) = -(3)^2 + 3(3) - 2 = -9 + 9 - 2 = -2$

이제 $g(x)$에 대입하여 $a, b$에 대한 연립방정식을 세웁니다.

$g(-1) = a(-1)+b = -a+b = -6 \quad \cdots ①$
$g(3) = a(3)+b = 3a+b = -2 \quad \cdots ②$

②에서 ①을 빼면,

$(3a+b) - (-a+b) = -2 - (-6)$
$4a = 4 \implies a=1$

$a=1$을 ①에 대입하면,

$-1+b = -6 \implies b=-5$

따라서 $a=1, b=-5$이므로, 구하는 값은 $a+b = 1+(-5) = -4$ 입니다.

답: -4

p.136 | 03번

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=2|x-1|+ax-6$이 일대일대응이 되도록 하는 자연수 $a$의 최솟값은?

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

상세 풀이

절댓값 기호를 포함한 함수이므로, 절댓값 안의 식이 0이 되는 $x=1$을 기준으로 범위를 나누어 함수를 정리해야 합니다.

1) $x \ge 1$일 때

$|x-1| = x-1$ 이므로,

$f(x) = 2(x-1) + ax - 6 = 2x - 2 + ax - 6 = (a+2)x - 8$

2) $x < 1$일 때

$|x-1| = -(x-1)$ 이므로,

$f(x) = -2(x-1) + ax - 6 = -2x + 2 + ax - 6 = (a-2)x - 4$

함수 $f(x)$가 일대일대응이 되려면 그래프가 꺾이는 지점 없이 계속 증가하거나 계속 감소해야 합니다. 즉, 두 직선의 기울기의 부호가 같아야 합니다.

따라서 두 구간의 기울기 $(a+2)$와 $(a-2)$의 곱이 0보다 커야 합니다.

$(a+2)(a-2) > 0$

이 이차부등식을 풀면 $a^2 - 4 > 0$, 즉 $a^2 > 4$가 됩니다.

해는 $a < -2$ 또는 $a > 2$ 입니다.

문제에서 '자연수 $a$의 최솟값'을 구하라고 했으므로, $a>2$를 만족하는 가장 작은 자연수는 3입니다.

답: ③ 3

p.136 | 04번

집합 $X=\{1, 2, 3, 4\}$에 대하여 함수 $f:X \to X$는 항등함수이고 함수 $g:X \to X$는 상수함수이다. $g(2)=4$일 때, $f(3)+g(1)$의 값을 구하시오.

상세 풀이

문제의 핵심 용어인 항등함수와 상수함수의 정의를 알면 쉽게 풀 수 있는 문제입니다.

• 항등함수: 정의역의 각 원소가 자기 자신에게 대응하는 함수입니다. 즉, $f(x)=x$ 입니다.
• 상수함수: 정의역의 모든 원소가 공역의 단 하나의 원소에 대응하는 함수입니다. 즉, $g(x)=c$ (상수) 입니다.

문제의 조건에 따라 값을 구해봅시다.

1. $f$는 항등함수이므로, $f(3)=3$ 입니다.

2. $g$는 상수함수이고 $g(2)=4$이므로, 정의역의 모든 원소에 대해 함숫값은 4입니다. 따라서 $g(1)=4$ 입니다.

구하고자 하는 값은 $f(3)+g(1) = 3+4=7$ 입니다.

답: 7

p.136 | 05번

집합 $X=\{0, 2, 4, 6\}$에 대하여 함수 $f:X \to X$가 $f(x)=\begin{cases} x+2 & (x \le 4) \\ 0 & (x=6) \end{cases}$이다. $f^2=f \circ f, f^3=f \circ f^2, \cdots, f^{n+1}=f \circ f^n$으로 나타낼 때 $f^{26}(6)+f^{27}(0)$의 값은?

① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10

상세 풀이

합성함수를 여러 번 반복하는 문제네요. 이런 문제는 반드시 규칙성이 나타나게 되어 있습니다. 차근차근 함숫값을 구해보며 규칙을 찾아봅시다.

1. $f^n(6)$의 규칙 찾기

• $f^1(6) = f(6) = 0$
• $f^2(6) = f(f(6)) = f(0) = 0+2 = 2$
• $f^3(6) = f(f^2(6)) = f(2) = 2+2 = 4$
• $f^4(6) = f(f^3(6)) = f(4) = 4+2 = 6$
• $f^5(6) = f(f^4(6)) = f(6) = 0$

함숫값이 $0, 2, 4, 6$ 순서로 반복되고, 주기는 4입니다. $f^{26}(6)$의 값을 구해야 하므로, $26 \div 4 = 6 \cdots 2$ 입니다. 나머지가 2이므로, 2번째 값과 같습니다. 따라서 $f^{26}(6) = f^2(6) = 2$입니다.

2. $f^n(0)$의 규칙 찾기

• $f^1(0) = f(0) = 2$
• $f^2(0) = f(f(0)) = f(2) = 2+2 = 4$
• $f^3(0) = f(f^2(0)) = f(4) = 4+2 = 6$
• $f^4(0) = f(f^3(0)) = f(6) = 0$
• $f^5(0) = f(f^4(0)) = f(0) = 2$

함숫값이 $2, 4, 6, 0$ 순서로 반복되고, 여기도 주기가 4입니다. $f^{27}(0)$의 값을 구해야 하므로, $27 \div 4 = 6 \cdots 3$ 입니다. 나머지가 3이므로, 3번째 값과 같습니다. 따라서 $f^{27}(0) = f^3(0) = 6$입니다.

3. 최종 값 계산

따라서 $f^{26}(6)+f^{27}(0) = 2+6=8$ 입니다.

답: ④ 8

p.136 | 06번

함수 $f(x)=\frac{1}{4}x+2$에 대하여 $f^{-1}(6)$의 값은?

① 8 ② 10 ③ 12 ④ 14 ⑤ 16

상세 풀이

역함수의 값을 구하는 문제입니다. 역함수를 직접 구해서 풀 수도 있고, 역함수의 정의를 이용해서 풀 수도 있어요.

방법 1: 역함수의 정의 이용하기

$f^{-1}(6) = k$라고 둡시다. 역함수의 정의에 의해 $f(k) = 6$이 성립합니다. 이제 이 식을 이용해서 $k$값을 구하면 됩니다.

$f(k) = \frac{1}{4}k + 2 = 6$

$\frac{1}{4}k = 4$

$k = 16$

따라서 $f^{-1}(6) = 16$입니다.

방법 2: 역함수 직접 구하기

$y=\frac{1}{4}x+2$에서 $x$와 $y$를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{1}{4}y+2$

이 식을 $y$에 관해 정리합니다.

$x-2 = \frac{1}{4}y \implies y = 4(x-2) = 4x-8$

따라서 역함수는 $f^{-1}(x) = 4x-8$ 입니다. 여기에 $x=6$을 대입하면,

$f^{-1}(6) = 4(6) - 8 = 24 - 8 = 16$

두 방법 모두 결과는 같죠? 특정 함숫값을 구하는 문제는 보통 방법 1이 더 빠르고 간단합니다!

답: ⑤ 16

p.136 | 07번

일차함수 $f(x)$에 대하여 $f^{-1}(2)=-1$이고 $(f \circ f)(-1)=11$일 때, $f(3)$의 값은?

상세 풀이

일차함수 $f(x)=ax+b$라고 두고 주어진 조건을 이용해서 $a$와 $b$를 찾는 문제입니다.

1. $f^{-1}(2)=-1$에서 역함수의 정의에 따라 $f(-1)=2$라는 것을 알 수 있습니다. $f(x)=ax+b$에 대입하면,

$f(-1) = a(-1)+b = -a+b = 2 \quad \cdots ①$

2. $(f \circ f)(-1)=11$은 $f(f(-1))=11$을 의미합니다. 위에서 $f(-1)=2$라고 구했으므로, 이 식은 $f(2)=11$이 됩니다. $f(x)=ax+b$에 대입하면,

$f(2) = a(2)+b = 2a+b = 11 \quad \cdots ②$

3. 이제 ①과 ②를 연립하여 $a, b$를 구합니다.

② - ①:

$(2a+b) - (-a+b) = 11-2$
$3a = 9 \implies a = 3$

$a=3$을 ①에 대입하면:

$-3+b=2 \implies b=5$

따라서 일차함수는 $f(x)=3x+5$입니다.

4. 마지막으로 문제에서 요구하는 $f(3)$의 값을 구합니다.

$f(3) = 3(3)+5 = 9+5 = 14$

답: ② 14

p.136 | 08번

집합 $X=\{1, 2, 3, 4, 5\}$에 대하여 함수 $f:X \to X$의 역함수가 존재하고 $f(2)=4, f^{-1}(3)=f(5)=1, (f \circ f)(1)=2$일 때, $f^{-1}(2)+(f \circ f)(4)$의 값을 구하시오.

상세 풀이

주어진 조건들을 하나씩 해석해서 함수 $f$의 대응 관계를 퍼즐처럼 맞춰나가는 문제입니다. 역함수가 존재하므로 $f$는 일대일대응이라는 사실이 가장 큰 힌트입니다!

주어진 조건들을 정리해볼게요.

• $f(2)=4 \implies f^{-1}(4)=2$
• $f^{-1}(3)=1 \implies f(1)=3$
• $f(5)=1 \implies f^{-1}(1)=5$
• $(f \circ f)(1)=2 \implies f(f(1))=2$. 위에서 $f(1)=3$이므로, $f(3)=2$가 됩니다. $\implies f^{-1}(2)=3$

지금까지 알아낸 대응 관계를 정리하면:

$f(1)=3, \quad f(2)=4, \quad f(3)=2, \quad f(5)=1$

함수 $f$는 $X=\{1, 2, 3, 4, 5\}$에서 $X$로의 일대일대응이므로, 정의역과 치역의 원소가 하나씩 빠짐없이 짝을 이뤄야 합니다. 정의역에서 사용되지 않은 원소는 4이고, 치역에서 사용되지 않은 원소는 5입니다. 따라서 나머지 대응은 $f(4)=5$일 수밖에 없습니다.

이제 문제에서 요구하는 값을 계산해 봅시다.

$f^{-1}(2) + (f \circ f)(4)$

위에서 $f^{-1}(2)=3$임을 알아냈습니다.

$(f \circ f)(4) = f(f(4))$를 계산해야 합니다. $f(4)=5$이므로, $f(5)$를 구하면 됩니다. 조건에서 $f(5)=1$이라고 주어졌죠.

따라서 $(f \circ f)(4) = 1$ 입니다.

최종적으로 구하는 값은 $3+1=4$ 입니다.

답: 4

p.137 | 09번

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f$에 대하여 $f(6x+1)=-2x+7$이 성립할 때, 역함수는 $f^{-1}(x)=ax+b$이다. 이때 상수 $a$와 $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.

상세 풀이

$f(6x+1)$ 형태가 주어졌을 때 $f(x)$를 구하는 유형의 문제입니다. 치환을 이용하면 해결할 수 있습니다.

1. $f(x)$ 구하기

$t = 6x+1$로 치환합시다. 이 식을 $x$에 대해 정리하면 $6x = t-1 \implies x = \frac{t-1}{6}$ 입니다. 이제 원래 식 $f(6x+1)=-2x+7$에 대입합니다.

$f(t) = -2\left(\frac{t-1}{6}\right) + 7 = -\frac{t-1}{3} + 7 = -\frac{1}{3}t + \frac{1}{3} + \frac{21}{3} = -\frac{1}{3}t + \frac{22}{3}$

변수 $t$를 $x$로 바꾸면 우리가 원하는 함수 $f(x)$를 얻을 수 있습니다.

$f(x) = -\frac{1}{3}x + \frac{22}{3}$

2. 역함수 $f^{-1}(x)$ 구하기

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{22}{3}$ 에서 $x$와 $y$를 서로 바꿉니다.

$x = -\frac{1}{3}y + \frac{22}{3}$

이 식을 $y$에 대해 정리합니다.

$3x = -y + 22 \implies y = -3x + 22$

따라서 역함수는 $f^{-1}(x) = -3x + 22$ 입니다.

3. $a, b$ 값 구하고 $ab$ 계산하기

$f^{-1}(x)=ax+b$ 와 비교하면 $a=-3, b=22$ 입니다. 그러므로 $ab = (-3) \times 22 = -66$ 입니다.

답: -66

p.137 | 10번

함수 $y=\frac{ax+b}{x+c}$의 그래프가 점 $(2, 3)$에 대하여 대칭이고 점 $(5, 4)$를 지난다. 이때 상수 $a, b, c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오.

상세 풀이

유리함수의 가장 중요한 특징은 점근선의 교점에 대해 점대칭이라는 것입니다. 이 성질을 이용하면 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다.

1. 점근선 찾기

주어진 함수 $y=\frac{ax+b}{x+c}$를 표준형 $y=\frac{k}{x-p}+q$ 꼴로 변형해 봅시다.

$y = \frac{a(x+c)-ac+b}{x+c} = \frac{-ac+b}{x+c} + a$

이 함수의 점근선은 $x=-c$와 $y=a$입니다. 따라서 점근선의 교점, 즉 대칭점은 $(-c, a)$ 입니다.

2. $a, c$ 값 구하기

문제에서 그래프가 점 $(2, 3)$에 대하여 대칭이라고 했으므로, 점근선의 교점이 $(2, 3)$입니다.

$-c = 2 \implies c = -2$
$a = 3$

3. $b$ 값 구하기

구한 $a, c$ 값을 원래 함수식에 대입하면 $y=\frac{3x+b}{x-2}$가 됩니다. 이 함수가 점 $(5, 4)$를 지나므로, $x=5, y=4$를 대입하여 $b$를 구합니다.

$4 = \frac{3(5)+b}{5-2} = \frac{15+b}{3}$

$12 = 15+b \implies b = -3$

4. $a+b+c$ 계산하기

따라서 $a=3, b=-3, c=-2$ 이므로 $a+b+c = 3 + (-3) + (-2) = -2$ 입니다.

답: -2

p.137 | 11번

함수 $y=\frac{k}{x}(k>0)$의 그래프가 직선 $y=-x+8$과 두 점 P, Q에서 만난다. 삼각형 OPQ의 넓이가 20일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오 (단, O는 원점).

상세 풀이

이 문제는 여러 가지 방법으로 풀 수 있지만, 대칭성과 도형의 넓이를 이용하는 것이 가장 효율적입니다. 직선 $y=-x+8$은 기울기가 -1이고, 유리함수 $y=k/x$는 직선 $y=x$에 대해 대칭이죠. 두 그래프의 교점 P, Q 또한 직선 $y=x$에 대해 대칭입니다.

1. 보조 도형 설정 및 넓이 계산

직선 $y=-x+8$의 x절편과 y절편을 각각 A, B라고 합시다.

• x절편 (y=0): $0 = -x+8 \implies x=8$. 즉, A(8, 0).
• y절편 (x=0): $y=8$. 즉, B(0, 8).

원점 O와 점 A, B를 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB의 넓이는 다음과 같습니다.

$\text{Area}(\triangle OAB) = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32$

2. 넓이 관계를 이용한 풀이

문제에서 $\triangle OPQ$의 넓이가 20이라고 주어졌습니다. $\triangle OAB$의 넓이는 $\triangle OAP$, $\triangle OBQ$, $\triangle OPQ$의 넓이 합으로 볼 수 있습니다. (아래 그림 참조)

두 그래프의 대칭성 때문에 $\triangle OAP$와 $\triangle OBQ$의 넓이는 같습니다.

$\text{Area}(\triangle OAB) = \text{Area}(\triangle OAP) + \text{Area}(\triangle OBQ) + \text{Area}(\triangle OPQ)$
$32 = 2 \times \text{Area}(\triangle OAP) + 20$
$12 = 2 \times \text{Area}(\triangle OAP) \implies \text{Area}(\triangle OAP) = 6$

3. 점 P의 좌표와 상수 k 구하기

점 P의 좌표를 $(x_1, y_1)$이라고 합시다. $\triangle OAP$의 밑변을 OA로 보면, 밑변의 길이는 8이고 높이는 점 P의 y좌표인 $y_1$입니다.

$\text{Area}(\triangle OAP) = \frac{1}{2} \times 8 \times y_1 = 4y_1 = 6 \implies y_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

점 P는 직선 $y=-x+8$ 위의 점이므로, $y_1 = 3/2$를 대입하여 $x_1$을 구합니다.

$\frac{3}{2} = -x_1 + 8 \implies x_1 = 8 - \frac{3}{2} = \frac{13}{2}$

따라서 점 P의 좌표는 $(\frac{13}{2}, \frac{3}{2})$입니다. 이 점은 함수 $y=k/x$ 위의 점이기도 하므로, 대입하여 $k$를 구합니다.

$k = x_1 y_1 = \frac{13}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{39}{4}$

답: 39/4

p.137 | 12번

다음에서 함수 $y=-\sqrt{3x+6}+3$에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

① 정의역은 $\{x|x \ge -2\}$이다.
② 치역은 $\{y|y \le 3\}$이다.
③ 그래프는 함수 $y=-\sqrt{3x}$의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.
④ 그래프는 제4사분면을 지나지 않는다.
⑤ 역함수는 $y=\frac{1}{3}x^2-2x+1(x \le 3)$이다.

상세 풀이

무리함수의 특징을 하나씩 분석하는 문제입니다. 먼저 주어진 함수를 표준형으로 바꾸어 시작점과 그래프의 모양을 파악합시다.

$y=-\sqrt{3x+6}+3 = -\sqrt{3(x+2)}+3$

이 그래프는 $y=-\sqrt{3x}$의 그래프를 x축 방향으로 -2만큼, y축 방향으로 3만큼 평행이동한 것입니다. 따라서 그래프의 시작점은 $(-2, 3)$이고, $x$의 계수가 양수($+3$), 근호 앞의 계수가 음수($-1$)이므로 그래프는 시작점에서 오른쪽 아래로 뻗어 나가는 모양입니다.

이제 보기들을 하나씩 확인해봅시다.

① 정의역: 근호 안의 값이 0 이상이어야 하므로, $3x+6 \ge 0 \implies 3x \ge -6 \implies x \ge -2$. (참)

② 치역: 시작점의 y좌표가 3이고 그래프는 아래로 향하므로, $y \le 3$. (참)

③ 평행이동: 표준형으로 변형한 결과와 일치합니다. (참)

④ 사분면: 그래프가 어느 사분면을 지나는지 확인하기 위해 x절편과 y절편을 구해봅니다.

• y절편 (x=0 대입): $y = -\sqrt{3(0)+6}+3 = 3-\sqrt{6}$. $\sqrt{4}<\sqrt{6}<\sqrt{9}$이므로 $2 < \sqrt{6} < 3$입니다. 따라서 $y=3-\sqrt{6}$은 양수($0 < y < 1$). 그래프는 $(0, 3-\sqrt{6})$을 지납니다.
• x절편 (y=0 대입): $0 = -\sqrt{3x+6}+3 \implies \sqrt{3x+6}=3$. 양변을 제곱하면 $3x+6=9 \implies 3x=3 \implies x=1$. 그래프는 $(1, 0)$을 지납니다.

그래프는 시작점 $(-2, 3)$에서 출발하여 $(0, 3-\sqrt{6})$과 $(1,0)$을 지나 오른쪽 아래로 계속 뻗어 나갑니다. $x>1$인 영역에서는 함숫값이 음수가 되므로, 제4사분면($x>0, y<0$)을 지납니다. 따라서 이 보기는 (거짓)입니다.

⑤ 역함수: $y = -\sqrt{3x+6}+3$에서 $x$와 $y$를 바꿉니다. ($x \leftrightarrow y$)

$x = -\sqrt{3y+6}+3$

원래 함수의 정의역은 $x \ge -2$, 치역은 $y \le 3$이므로 역함수의 정의역은 $x \le 3$, 치역은 $y \ge -2$가 됩니다. 이제 $y$에 관해 정리합니다.

$x-3 = -\sqrt{3y+6} \implies -(x-3) = \sqrt{3y+6} \implies (3-x)^2 = 3y+6$

$x^2-6x+9 = 3y+6 \implies 3y = x^2-6x+3 \implies y = \frac{1}{3}x^2-2x+1$

역함수의 정의역은 $x \le 3$이므로, 보기의 설명은 (참)입니다.

따라서 옳지 않은 것은 ④번입니다.

답: ④

p.137 | 13번

함수 $y=a\sqrt{x+b}+c$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 상수 $a, b, c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오.

상세 풀이

무리함수의 그래프를 보고 식을 추정하는 문제입니다. 그래프의 시작점과 지나는 다른 한 점을 이용하면 됩니다.

1. 시작점으로 $b, c$ 값 찾기

주어진 그래프의 시작점은 $(-4, -6)$입니다. 함수 $y=a\sqrt{x+b}+c$의 표준형은 $y=a\sqrt{1(x-(-b))}+c$로 볼 수 있으므로, 시작점의 좌표는 $(-b, c)$입니다.

따라서, $-b=-4 \implies b=4$ 이고, $c=-6$ 입니다.

2. 지나는 점으로 $a$ 값 찾기

이제 함수식은 $y=a\sqrt{x+4}-6$이 됩니다. 그래프를 보면 이 함수는 점 $(0, -2)$를 지나는 것을 알 수 있습니다. 이 점의 좌표를 식에 대입하여 $a$를 구합니다.

$-2 = a\sqrt{0+4} - 6$
$-2 = a\sqrt{4} - 6$
$-2 = 2a - 6$
$4 = 2a \implies a = 2$

3. $a+b+c$ 계산하기

$a=2, b=4, c=-6$이므로, $a+b+c = 2+4+(-6) = 0$입니다.

답: 0

p.137 | 14번

공기의 온도가 $x$℃일 때, 공기 중에서 소리의 전달 속도를 $y$ m/s라 하면 $x$와 $y$ 사이에 $y=20\sqrt{273+x}$인 관계가 성립한다고 한다. 소리의 전달 속도가 340 m/s일 때, 공기의 온도를 구하시오.

상세 풀이

주어진 관계식에 값을 대입하여 미지수를 구하는 간단한 문제입니다.

소리의 전달 속도 $y=340$ m/s일 때의 공기 온도 $x$를 구하면 됩니다. 주어진 식 $y=20\sqrt{273+x}$에 $y=340$을 대입합니다.

$340 = 20\sqrt{273+x}$

양변을 20으로 나누어 식을 간단히 합니다.

$\frac{340}{20} = \sqrt{273+x} \implies 17 = \sqrt{273+x}$

양변을 제곱하여 근호를 없애줍니다.

$17^2 = 273+x$
$289 = 273+x$

따라서 $x = 289 - 273 = 16$ 입니다.

공기의 온도는 16℃입니다.

답: 16

p.138 | 15번 (서술형)

두 함수 $f(x)=-3x+4$와 $g(x)=kx+5$에 대하여 $f \circ g = g \circ f$가 성립할 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

상세 풀이

합성함수에서 교환법칙($f \circ g = g \circ f$)이 성립할 조건을 묻는 문제입니다. 좌변과 우변을 각각 계산한 후, 두 식이 같다고 놓고 계수를 비교하면 됩니다.

1. $f \circ g$ 계산

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(kx+5)$

$f(x)$의 $x$ 자리에 $kx+5$를 대입합니다.

$f(kx+5) = -3(kx+5) + 4 = -3kx - 15 + 4 = -3kx - 11$

2. $g \circ f$ 계산

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(-3x+4)$

$g(x)$의 $x$ 자리에 $-3x+4$를 대입합니다.

$g(-3x+4) = k(-3x+4) + 5 = -3kx + 4k + 5$

3. 두 식을 같다고 놓고 $k$값 구하기

$f \circ g = g \circ f$ 이므로,

$-3kx - 11 = -3kx + 4k + 5$

이 식이 모든 $x$에 대해 성립하는 항등식이므로, 양변의 계수와 상수항이 같아야 합니다. 일차항의 계수 $-3k$는 이미 같으므로, 상수항을 비교합니다.

$-11 = 4k+5$
$-16 = 4k \implies k = -4$

답: -4

p.138 | 16번 (서술형)

함수 $f(x)=\frac{ax}{3x+b}$의 그래프와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프가 모두 점 $(1, 2)$를 지날 때, $f^{-1}(4)$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 상수)

상세 풀이

함수와 역함수의 관계를 정확히 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다.

1. 주어진 조건으로 $a, b$ 값 찾기

• "함수 $f(x)$의 그래프가 점 $(1,2)$를 지난다": 이 조건은 $f(1)=2$를 의미합니다.
• "역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프가 점 $(1,2)$를 지난다": 이 조건은 $f^{-1}(1)=2$를 의미하며, 역함수의 정의에 따라 $f(2)=1$과 같은 의미입니다.

이제 두 조건 $f(1)=2$와 $f(2)=1$을 이용하여 $a, b$를 구해봅시다.

(i) $f(1)=2$ 대입:

$f(1) = \frac{a(1)}{3(1)+b} = \frac{a}{3+b} = 2 \implies a = 2(3+b) = 6+2b \quad \cdots ①$

(ii) $f(2)=1$ 대입:

$f(2) = \frac{a(2)}{3(2)+b} = \frac{2a}{6+b} = 1 \implies 2a = 6+b \quad \cdots ②$

①식을 ②식에 대입하여 연립방정식을 풉니다.

$2(6+2b) = 6+b \implies 12+4b = 6+b \implies 3b = -6 \implies b=-2$

$b=-2$를 ①식에 대입하면 $a=6+2(-2)=2$ 입니다.

따라서 함수 $f(x) = \frac{2x}{3x-2}$ 입니다.

2. $f^{-1}(4)$의 값 구하기

$f^{-1}(4)=k$라고 둡시다. 그러면 $f(k)=4$가 됩니다. 이 식을 풀어서 $k$를 구합니다.

$f(k) = \frac{2k}{3k-2} = 4$
$2k = 4(3k-2) = 12k - 8$
$8 = 10k \implies k = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

따라서 $f^{-1}(4) = \frac{4}{5}$ 입니다.

답: 4/5

p.138 | 17번 (서술형)

함수 $f(x)=\sqrt{3x-5}+1$의 그래프와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프가 만나는 두 점을 각각 P와 Q라 할 때, $\overline{PQ}$의 길이를 구하시오.

상세 풀이

함수와 그 역함수의 그래프의 교점은 대부분의 경우 직선 $y=x$ 위에 있습니다. (특히 고등학교 과정에서 다루는 증가함수는 항상 그렇습니다!) 따라서 역함수를 직접 구하지 않고, $f(x)=x$ 방정식을 풀어서 교점의 좌표를 찾는 것이 훨씬 간단합니다.

1. 교점의 x좌표 구하기

$f(x)=x$ 방정식을 풉니다.

$\sqrt{3x-5}+1 = x$

근호를 한쪽에 두고 양변을 제곱하기 위해 1을 이항합니다.

$\sqrt{3x-5} = x-1$

[주의!] 양변을 제곱하기 전에 무연근(가짜 근)이 생기지 않도록 범위를 확인해야 합니다.
1. (근호 안) $\ge 0 \implies 3x-5 \ge 0 \implies x \ge 5/3$
2. (근호 밖) $\ge 0 \implies x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
두 조건을 모두 만족하는 범위는 $x \ge 5/3$ 입니다. 나중에 구한 해가 이 범위에 속하는지 꼭 확인해야 합니다.

이제 양변을 제곱합니다.

$3x-5 = (x-1)^2 = x^2-2x+1$

이차방정식을 정리하고 풉니다.

$x^2 - 5x + 6 = 0$
$(x-2)(x-3) = 0$

따라서 $x=2$ 또는 $x=3$ 입니다. 두 값 모두 $x \ge 5/3$ 범위를 만족하므로 둘 다 교점의 x좌표가 맞습니다.

2. 두 점 P, Q의 좌표와 거리 구하기

교점은 직선 $y=x$ 위에 있으므로, 교점의 좌표는 P(2, 2)와 Q(3, 3)입니다. 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 $\overline{PQ}$의 길이를 구합니다.

$\overline{PQ} = \sqrt{(3-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

답: $\sqrt{2}$

개념 확장 및 연관성

오늘 우리가 다룬 '함수와 그래프'는 수학의 세계를 훨씬 더 넓고 깊게 이해하는 데 필수적인 도구입니다. 몇 가지 예를 들어볼까요?

• 과학과 공학: 유리함수는 기체의 압력과 부피의 관계(보일의 법칙)를 설명하고, 무리함수는 진자의 주기나 자유낙하하는 물체의 속력을 계산하는 데 사용됩니다. 함수의 개념 없이는 현대 과학을 이해하기 어렵죠.
• 컴퓨터 과학: 합성함수와 역함수의 개념은 암호학의 기본 원리입니다. 데이터를 암호화(함수)하고, 그것을 다시 원래 정보로 복호화(역함수)하는 과정에 쓰입니다. 또한, 컴퓨터 그래픽에서 객체를 변환(이동, 회전, 확대)하는 것도 행렬과 함수를 이용한답니다.
• 경제학: 수요와 공급의 관계를 함수로 나타내어 시장 가격이 결정되는 원리를 분석하고, 이윤을 최대로 하는 생산량을 찾는 데 이차함수의 최대, 최소가 활용됩니다.

이처럼 함수는 단순히 시험 문제를 풀기 위한 개념이 아니라, 세상을 분석하고 이해하는 강력한 언어랍니다!

마무리하며

휴, 정말 많은 문제를 풀었네요! 대단원 평가 문제를 풀어보니 함수 단원의 전체적인 흐름이 잡히시나요? 함수의 정의부터 시작해서 여러 종류의 함수, 합성함수와 역함수, 그리고 유리함수와 무리함수의 그래프까지. 각 개념들이 어떻게 유기적으로 연결되는지 느끼셨을 거예요.

특히 그래프를 그려서 문제에 접근하는 시각적인 방법은 복잡한 문제를 단순하게 만들어주는 아주 좋은 무기입니다. 점근선, 시작점, 대칭성 등 각 함수의 그래프가 가진 특징을 잘 기억해두세요!

오늘 고생 많으셨습니다. 틀린 문제가 있다면 다시 한번 꼼꼼히 풀어보면서 자신의 약점을 보완하는 시간을 꼭 가지길 바랍니다. 수학은 꾸준함이 실력으로 이어지는 가장 정직한 과목이니까요. 여러분의 수학 여정을 항상 응원하겠습니다! 화이팅! 🥳