미래엔 공통수학1 교과서 [다항식의 곱셈과 나눗셈] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학1 교과서 [다항식의 곱셈과 나눗셈] 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 📚

오늘은 공통수학1의 '다항식의 곱셈과 나눗셈'에 대해 함께 공부해 볼 거예요. 다항식의 연산은 앞으로 배울 모든 수학의 기초가 되는 아주 중요한 부분이랍니다. 특히 곱셈 공식과 나눗셈 원리는 방정식, 함수 등 여러 단원에서 계속해서 사용되니, 이번 기회에 확실하게 다져놓도록 해요!

💡 [다항식의 곱셈과 나눗셈] 핵심 포인트

이 단원에서는 다음 두 가지를 완벽하게 마스터하는 것이 목표입니다!

1. 다항식의 곱셈: 분배법칙과 곱셈 공식

다항식의 곱셈은 기본적으로 분배법칙을 이용하여 전개하는 것이 핵심이에요. 모든 항을 하나하나 곱한 다음, 동류항끼리 정리하면 되죠. 하지만 매번 이렇게 전개하기는 번거롭기 때문에, 자주 나오는 형태는 곱셈 공식으로 암기해두면 시간을 크게 절약할 수 있답니다.

• 분배법칙: $ (A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD $
• 곱셈 공식 (필수 암기! ⭐)
  • $ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca $
  • $ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $
  • $ (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 $
  • $ (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 $
  • $ (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 $

2. 다항식의 나눗셈: 자연수의 나눗셈과 같은 원리

다항식의 나눗셈은 우리가 초등학교 때 배운 자연수의 나눗셈과 원리가 같아요. 각 다항식을 내림차순으로 정리한 후, 최고차항부터 맞춰서 몫을 구해나가면 된답니다.

다항식 A를 다항식 B($B \ne 0$)로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R이라고 하면 다음과 같은 중요한 관계식이 성립해요.

$$ A = BQ + R $$

여기서 가장 중요한 규칙! 나머지 R의 차수는 나누는 식 B의 차수보다 반드시 낮아야 한다는 점, 절대 잊지 마세요!

📖 교과서 문제 풀이 (p.15~19)

p.15 생각 열기

오른쪽 그림과 같은 체육 시설 배치도에서, 전체 넓이를 두 가지 방법으로 나타내고 등식이 성립함을 설명해 봅시다.

1. 체육 시설 전체의 넓이를 (가로)×(세로)로 나타내기

2. 축구장, 테니스장, 야구장, 주차장의 넓이의 합으로 나타내기

3. 위 결과를 이용해 $ (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by $가 성립함을 설명하기

💡 풀이 과정

이 문제는 다항식의 곱셈이 이루어지는 원리를 직사각형 넓이를 통해 시각적으로 보여주는 좋은 예시예요.

1. 체육 시설 전체의 넓이 구하기

전체 시설은 하나의 큰 직사각형으로 볼 수 있어요.
가로 길이는 $ (x+y) $이고, 세로 길이는 $ (a+b) $입니다.
따라서 전체 넓이는 (가로) × (세로) 이므로,

$$ (a+b)(x+y) $$

입니다.

2. 각 시설 넓이의 합 구하기

이번에는 각 구역의 넓이를 따로따로 구해서 더해볼게요.

• 축구장 넓이: $ ax $
• 야구장 넓이: $ ay $
• 테니스장 넓이: $ bx $
• 주차장 넓이: $ by $

이 네 넓이를 모두 더하면 $ ax+ay+bx+by $ 입니다.

3. 등식 성립 설명하기

1번에서 구한 전체 넓이와 2번에서 구한 각 부분의 넓이 합은 당연히 같아야겠죠? 결국 같은 도형의 넓이를 다른 방법으로 구한 것이니까요.

따라서 다음 등식이 성립합니다.

$$ (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by $$

이것이 바로 다항식의 곱셈에서 사용하는 분배법칙의 원리랍니다! 괄호 안의 각 항들을 서로 한 번씩 모두 곱해주는 것과 같아요.

p.16 문제 1

다음 식을 전개하시오.

(1) $ (x-1)(x^2-x+1) $

(2) $ (x^2+2xy+3y^2)(-x+2y) $

💡 풀이 과정

(1) $ (x-1)(x^2-x+1) $

분배법칙을 이용해서 차근차근 전개해 봅시다.
먼저 $x$를 $ (x^2-x+1) $의 각 항에 곱해주고, 그 다음 $-1$을 각 항에 곱해주는 거예요.

$$ \begin{align*} (x-1)(x^2-x+1) & = x(x^2-x+1) - 1(x^2-x+1) \\ & = (x^3 - x^2 + x) - (x^2 - x + 1) \\ & = x^3 - x^2 + x - x^2 + x - 1 \end{align*} $$

이제 동류항끼리 모아서 정리하면 됩니다.

$$ x^3 + (-x^2 - x^2) + (x+x) - 1 = \mathbf{x^3 - 2x^2 + 2x - 1} $$

[선생님 팁!] 많은 학생들이 이 문제를 곱셈 공식 $ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 $과 헷갈려요. 공식이 되려면 가운데 항이 $+x$여야 하는데, 이 문제는 $-x$죠? 이렇게 공식과 비슷하지만 다른 형태의 문제는 공식을 바로 적용하면 안 되고, 직접 전개해야 실수를 줄일 수 있답니다!

(2) $ (x^2+2xy+3y^2)(-x+2y) $

이것도 마찬가지로 분배법칙을 이용해 전개합니다. 뒤의 괄호에 있는 $-x$와 $+2y$를 앞의 괄호에 하나씩 곱해볼게요.

$$ \begin{align*} (x^2+2xy+3y^2)(-x+2y) & = -x(x^2+2xy+3y^2) \\ & \qquad + 2y(x^2+2xy+3y^2) \\ & = (-x^3 - 2x^2y - 3xy^2) \\ & \qquad + (2x^2y + 4xy^2 + 6y^3) \end{align*} $$

이제 동류항끼리 정리해볼까요?

$$ -x^3 + (-2x^2y + 2x^2y) + (-3xy^2 + 4xy^2) + 6y^3 = \mathbf{-x^3 + xy^2 + 6y^3} $$

항이 많아서 복잡해 보이지만, 동류항을 잘 찾아서 계산하면 깔끔하게 정리된답니다! 연습이 중요해요.

p.16 문제 2

다음 식을 전개하시오.

(1) $ (a-b)^3 $

(2) $ (a-b)(a^2+ab+b^2) $

💡 풀이 과정

이 문제들은 곱셈 공식을 확인하는 문제예요. 공식을 외웠다면 바로 답을 쓸 수 있고, 아직 못 외웠다면 이번 기회에 직접 전개해보면서 공식을 유도해보세요!

(1) $ (a-b)^3 $

$ (a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2 = (a-b)(a^2-2ab+b^2) $ 로 생각하고 전개할 수 있어요.

$$ \begin{align*} (a-b)(a^2-2ab+b^2) &= a(a^2-2ab+b^2) - b(a^2-2ab+b^2) \\ &= (a^3 - 2a^2b + ab^2) - (a^2b - 2ab^2 + b^3) \\ &= a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 \\ &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \end{align*} $$

따라서 정답은 $ \mathbf{a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3} $ 입니다. 이건 공식으로 꼭 외워두세요!

(2) $ (a-b)(a^2+ab+b^2) $

이것도 분배법칙으로 전개해볼게요.

$$ \begin{align*} (a-b)(a^2+ab+b^2) &= a(a^2+ab+b^2) - b(a^2+ab+b^2) \\ &= (a^3 + a^2b + ab^2) - (a^2b + ab^2 + b^3) \\ &= a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 \\ &= a^3 - b^3 \end{align*} $$

가운데 항들이 모두 사라지고 깔끔하게 정리되죠? 정답은 $ \mathbf{a^3 - b^3} $ 입니다. 세제곱의 차 공식도 정말 중요하니 꼭 기억해주세요!

p.16 문제 3

다음 식을 전개하시오.

(1) $ (a-b+2c)^2 $

(2) $ (2a-b)^3 $

(3) $ (x-2)(x^2+2x+4) $

(4) $ (2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2) $

💡 풀이 과정

곱셈 공식을 활용하는 문제들이네요! 어떤 공식을 적용해야 할지 파악하는 것이 중요합니다.

(1) $ (a-b+2c)^2 $

항이 3개인 완전제곱식이니 $ (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx $ 공식을 이용해요.
여기서는 $ x=a, y=-b, z=2c $ 라고 생각하면 됩니다.

$$ \begin{align*} (a-b+2c)^2 &= (a)^2 + (-b)^2 + (2c)^2 \\ & \qquad + 2(a)(-b) + 2(-b)(2c) + 2(2c)(a) \\ &= \mathbf{a^2+b^2+4c^2-2ab-4bc+4ca} \end{align*} $$

(2) $ (2a-b)^3 $

$ (x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^2-y^3 $ 공식을 이용합니다. $ x=2a, y=b $를 대입하면,

$$ \begin{align*} (2a-b)^3 &= (2a)^3 - 3(2a)^2(b) + 3(2a)(b)^2 - b^3 \\ &= \mathbf{8a^3 - 12a^2b + 6ab^2 - b^3} \end{align*} $$

(3) $ (x-2)(x^2+2x+4) $

이 식은 $ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 $ 공식 형태와 똑같죠? $ a=x, b=2 $ 입니다.

$$ (x-2)(x^2+x \cdot 2+2^2) = x^3 - 2^3 = \mathbf{x^3 - 8} $$

(4) $ (2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2) $

이 식은 $ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 $ 공식 형태입니다. $ 4x^2=(2x)^2 $, $ 6xy=(2x)(3y) $, $ 9y^2=(3y)^2 $ 이므로, $ a=2x, b=3y $ 로 볼 수 있어요.

$$ (2x+3y)((2x)^2-(2x)(3y)+(3y)^2) = (2x)^3 + (3y)^3 = \mathbf{8x^3 + 27y^3} $$

p.17 문제 4

$ x-y=-2 $이고 $ xy=5 $일 때, $ x^3-y^3 $의 값을 구하시오.

💡 풀이 과정

이 문제는 곱셈 공식의 변형을 이용하는 대표적인 문제 유형이에요. $ x^3-y^3 $을 구하기 위해 우리가 아는 $x-y$와 $xy$의 값을 활용해야 합니다.

곱셈 공식 $ (x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 $ 에서 출발해볼게요.

공식을 $ x^3 - y^3 $에 대해 정리하면,

$$ (x-y)^3 = (x^3 - y^3) - 3xy(x-y) $$

$$ \implies x^3 - y^3 = (x-y)^3 + 3xy(x-y) $$

이제 주어진 값인 $ x-y=-2 $와 $ xy=5 $를 이 식에 대입하면 됩니다.

$$ \begin{align*} x^3 - y^3 &= (-2)^3 + 3(5)(-2) \\ &= -8 - 30 \\ &= \mathbf{-38} \end{align*} $$

곱셈 공식을 이렇게 변형해서 사용하는 능력은 정말 중요하니 꼭 익숙해지도록 하세요!

p.18 문제 5

다항식 A를 다항식 B로 나누었을 때의 몫 Q와 나머지 R을 구하고, $ A=BQ+R $의 꼴로 나타내시오.

(1) $ A=3x^3 - 5x^2 - 2x + 1 $, $ B=x-2 $

(2) $ A=2x^3 - 5x^2 + 3 $, $ B=x^2 - 3x - 1 $

💡 풀이 과정

다항식의 나눗셈은 세로셈으로 계산하는 것이 가장 정확해요. 차근차근 따라와 보세요.

(1) $ (3x^3 - 5x^2 - 2x + 1) \div (x-2) $

           $3x^2 + x$
       _______
$x-2$ | $3x^3 - 5x^2 - 2x + 1$
      $-(3x^3 - 6x^2)$
       ----------
              $x^2 - 2x$
            $-(x^2 - 2x)$
            ----------
                        $1$

나눗셈 결과, 몫 Q는 $ 3x^2+x $이고 나머지 R은 $1$입니다.
이를 $ A=BQ+R $ 꼴로 나타내면 다음과 같습니다.

$$ 3x^3 - 5x^2 - 2x + 1 = (x-2)(3x^2+x) + 1 $$

(2) $ (2x^3 - 5x^2 + 3) \div (x^2 - 3x - 1) $

나누는 식에 없는 항은 0으로 생각하고 자리를 비워두면 계산하기 편해요. ($2x^3 - 5x^2 + 0x + 3$)

                       $2x + 1$
              _____________
$x^2-3x-1$ | $2x^3 - 5x^2 + 0x + 3$
             $-(2x^3 - 6x^2 - 2x)$
              --------------
                       $x^2 + 2x + 3$
                    $-(x^2 - 3x - 1)$
                    -------------
                              $5x + 4$

나눗셈 결과, 몫 Q는 $ 2x+1 $이고 나머지 R은 $ 5x+4 $입니다.
이를 $ A=BQ+R $ 꼴로 나타내면 다음과 같습니다.

$$ 2x^3 - 5x^2 + 3 = (x^2-3x-1)(2x+1) + 5x+4 $$

p.19 생각 넓히기

칠판에 $ x^3+3x = (x+1)(x^2-x+1)+3x-1 $ 이라는 등식이 쓰여 있습니다. 이 등식을 보고 은혜와 민호가 다음과 같이 이야기합니다.

은혜: "$ x^3+3x $를 $ x+1 $로 나누었을 때의 나머지는 $ 3x-1 $이구나."

민호: "$ x^3+3x $를 $ x^2-x+1 $로 나누었을 때의 나머지가 $ 3x-1 $이구나."

활동: 누구의 말이 틀렸는지 찾고, 그 이유를 설명해 보자.

💡 풀이 과정

이 문제는 다항식의 나눗셈에서 '나머지의 조건'을 정확히 알고 있는지 확인하는 아주 중요한 문제예요.

먼저 주어진 등식 $ x^3+3x = (x+1)(x^2-x+1)+3x-1 $이 성립하는지 확인해볼까요?
우변을 전개하면 $ (x^3+1) + (3x-1) = x^3+3x $ 이므로 등식 자체는 맞습니다.

이제 두 학생의 말을 분석해봅시다. 이 등식은 $ A=BQ+R $ 꼴로 해석할 수 있습니다.

1. 은혜의 주장 분석

은혜는 나누는 식 B를 $ x+1 $로 보았습니다. 이때 몫은 $ x^2-x+1 $이고 나머지는 $ 3x-1 $이라고 해석한 것이죠.

• 나누는 식: $ B = x+1 $ (1차식)
• 나머지: $ R = 3x-1 $ (1차식)

여기가 바로 문제점입니다! 다항식의 나눗셈에서 나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 반드시 낮아야 합니다.
1차식으로 나누었으므로 나머지는 1차보다 낮은 상수항(0차)이 나와야 해요. 따라서 은혜의 말은 틀렸습니다.

2. 민호의 주장 분석

민호는 나누는 식 B를 $ x^2-x+1 $로 보았습니다. 이때 몫은 $ x+1 $이고 나머지는 $ 3x-1 $로 해석했습니다.

• 나누는 식: $ B = x^2-x+1 $ (2차식)
• 나머지: $ R = 3x-1 $ (1차식)

나누는 식이 2차식이고 나머지가 1차식이므로, '나머지의 차수 < 나누는 식의 차수'라는 조건을 만족합니다. 따라서 민호의 말은 맞습니다.

결론: 은혜의 말이 틀렸습니다. 그 이유는 1차식으로 나눈 나머지는 상수가 되어야 하는데, 나머지가 1차식이라고 잘못 해석했기 때문입니다.

🔍 개념 확장 및 연관성

오늘 배운 다항식의 곱셈과 나눗셈은 수학의 여러 분야로 뻗어 나가는 기초 체력과도 같아요.

• 방정식과 함수: 3차, 4차 방정식의 해를 찾거나 함수의 그래프를 분석할 때, 다항식의 곱셈(인수분해)과 나눗셈(조립제법)은 필수적인 도구입니다.
• 미분과 적분 (수학II): 함수의 변화율이나 넓이를 구할 때도 다항함수를 기본으로 다루게 되는데, 이때 다항식 연산 능력은 기본적으로 갖추어야 할 소양입니다.
• 과학 및 공학: 물체의 운동 경로를 나타내는 물리 공식, 신호 처리, 데이터 분석 등 수많은 공학 분야에서 현상을 수학적 모델로 표현할 때 다항식이 사용됩니다. 다항식 연산은 이러한 모델을 해석하고 응용하는 첫걸음이죠.

⚠️ 오개념 방지 및 심화 팁

다항식 연산에서 학생들이 자주 하는 실수를 짚어보고, 심화 학습을 위한 팁을 드릴게요!

1. 부호 실수 조심: 괄호를 풀 때 마이너스(-) 부호를 분배하는 과정에서 실수가 잦습니다. $ -(A-B) = -A+B $ 처럼 모든 항에 부호가 적용된다는 것을 항상 기억하세요.
2. 곱셈 공식 암기는 필수, 이해는 기본: 공식을 무작정 외우기보다 '생각 열기' 문제처럼 넓이를 이용하거나 직접 여러 번 전개해보며 공식이 왜 그렇게 되는지 이해하면 훨씬 오래 기억에 남고 응용력도 길러집니다.
3. 나머지의 차수 확인!: '생각 넓히기' 문제처럼, $ A=BQ+R $ 꼴을 볼 때 항상 R의 차수가 B의 차수보다 낮은지 확인하는 습관을 들이세요. 이것은 서술형 문제의 함정으로 자주 등장합니다.
4. 복잡한 식은 치환 활용: $ (x^2+2x-1)(x^2+2x+3) $ 처럼 공통 부분이 보이면, $ X = x^2+2x $ 로 치환해서 $ (X-1)(X+3) $으로 간단히 만든 후 전개하고 다시 원래 식을 대입하면 실수를 줄일 수 있습니다.

🏁 마무리하며

오늘은 다항식의 곱셈과 나눗셈에 대해 배워보았습니다. 곱셈은 분배법칙과 곱셈 공식, 나눗셈은 세로셈과 $A=BQ+R$ 관계식이 핵심이었죠. 특히 나눗셈에서 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작아야 한다는 조건은 앞으로 배울 '나머지정리'의 핵심 아이디어로 연결되니 꼭 기억해주세요.

다항식의 연산은 조금 귀찮게 느껴질 수 있지만, 이 과정을 능숙하게 해내야만 더 복잡하고 재미있는 수학의 세계를 탐험할 수 있답니다. 꾸준한 연습만이 살길! 오늘도 정말 수고 많으셨습니다. 다음 시간에는 '나머지정리와 인수분해'로 만나겠습니다!