미래엔 공통수학 교과서 [나머지정리와 인수분해] - 01 항등식 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학 교과서 [나머지정리와 인수분해] - 01 항등식 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 고등학교 수학의 여정, 잘 따라오고 있나요? 다항식의 연산에 이어, 오늘은 방정식의 세계에서 아주 중요한 개념인 '항등식'에 대해 깊이 파고들어 볼 거예요. 항등식은 앞으로 배울 나머지정리, 인수분해, 심지어는 함수와 미적분까지 이어지는 핵심적인 다리 역할을 한답니다. 오늘은 미래엔 공통수학 교과서 24쪽부터 25쪽까지의 '항등식' 파트 모든 문제를 함께 풀어보며 그 성질과 활용법을 완벽하게 마스터해 봅시다!

[항등식] 핵심 포인트 짚고 가기

본격적인 문제 풀이에 앞서, 항등식의 핵심 개념을 다시 한번 정리해볼까요?

• 항등식이란? 등식에 포함된 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식을 말해요. 반대로 특정 값에 대해서만 성립하는 등식은 '방정식'이라고 하죠.
• 항등식의 성질:
  • $ax^2 + bx + c = 0$이 $x$에 대한 항등식이면, 계수는 모두 0이어야 해요. 즉, $a=0, b=0, c=0$ 입니다.
  • $ax^2 + bx + c = a'x^2 + b'x + c'$가 $x$에 대한 항등식이면, 양변의 같은 차수 항의 계수가 서로 같아야 해요. 즉, $a=a', b=b', c=c'$ 입니다.
• 미정계수법: 항등식의 성질을 이용하여 정해지지 않은 계수(미정계수)를 구하는 방법이에요.
  1. 계수비교법: 양변을 전개하고 동류항끼리 정리한 후, 계수를 비교하는 방법.
  2. 수치대입법: 문자에 적당한 수를 대입하여 계수에 대한 방정식을 세워 푸는 방법.

교과서 문제 풀이 (p.24 ~ p.25)

p. 24, 예제 1

등식 $ax^2+bx+c=0$이 $x$에 대한 항등식이면 $a=b=c=0$임을 증명하시오.

💡 상세 풀이

항등식의 가장 기본적인 성질을 증명하는 문제예요. 항등식은 '$x$에 어떤 값을 대입해도 항상 성립한다'는 정의를 이용하는 것이 핵심입니다.

증명 과정

주어진 등식 $ax^2+bx+c=0$이 $x$에 대한 항등식이므로, $x$에 어떤 값을 대입하여도 등식은 항상 성립해야 합니다.
계산을 간단하게 할 수 있는 특별한 값들을 대입해 봅시다.

1. $x=0$ 대입하기:
   $a(0)^2 + b(0) + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = 0$
2. $x=1$ 대입하기:
   $a(1)^2 + b(1) + c = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 0$
3. $x=-1$ 대입하기:
   $a(-1)^2 + b(-1) + c = 0 \quad \Rightarrow \quad a - b + c = 0$

1번에서 구한 $c=0$을 2번과 3번 식에 대입하면 다음과 같은 연립방정식을 얻습니다.

$\begin{cases} a + b = 0 \\ a - b = 0 \end{cases}$

두 식을 더하면 $2a = 0$이므로 $a=0$입니다.
$a=0$을 $a+b=0$에 대입하면 $b=0$입니다.

따라서, $a=0, b=0, c=0$ 입니다.

p. 25, 문제 1

등식 $ax^2+bx+c = a'x^2+b'x+c'$이 $x$에 대한 항등식이면 $a=a', b=b', c=c'$이 성립함을 증명하시오.

💡 상세 풀이

이 문제는 예제 1에서 증명한 성질을 바로 이용할 수 있어요. 한쪽 변을 0으로 만들어주는 것이 포인트입니다.

증명 과정

주어진 등식 $ax^2+bx+c = a'x^2+b'x+c'$의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리합니다.

$(ax^2 - a'x^2) + (bx - b'x) + (c - c') = 0$

$(a-a')x^2 + (b-b')x + (c-c') = 0$

이 등식은 $x$에 대한 항등식입니다. 예제 1의 결과에 따르면, $Ax^2+Bx+C=0$이 항등식이면 $A=0, B=0, C=0$이어야 합니다.
따라서 각 항의 계수는 모두 0이 되어야 합니다.

$a-a' = 0 \quad \Rightarrow \quad a=a'$

$b-b' = 0 \quad \Rightarrow \quad b=b'$

$c-c' = 0 \quad \Rightarrow \quad c=c'$

그러므로 $a=a', b=b', c=c'$가 성립합니다.

p. 25, 예제 2

등식 $a(x-1)^2+b(x-1)+c = x^2+5x$가 $x$에 대한 항등식이 되도록 상수 $a, b, c$의 값을 정하시오.

💡 상세 풀이

미정계수를 구하는 대표적인 문제예요. 계수비교법과 수치대입법 두 가지 방법으로 모두 풀어볼게요!

방법 1: 계수비교법

좌변을 전개하여 $x$에 대한 내림차순으로 정리합니다.

$\begin{align*} a(x-1)^2+b(x-1)+c &= a(x^2-2x+1)+b(x-1)+c \\ &= ax^2-2ax+a+bx-b+c \\ &= ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c) \end{align*}$

이 식이 $x^2+5x$와 같아야 하므로, 양변의 계수를 비교합니다.

• $x^2$의 계수: $a = 1$
• $x$의 계수: $-2a+b = 5$
• 상수항: $a-b+c = 0$

$a=1$을 두 번째 식에 대입하면 $-2(1)+b=5$, 따라서 $b=7$입니다.
$a=1, b=7$을 세 번째 식에 대입하면 $1-7+c=0$, 따라서 $c=6$입니다.

방법 2: 수치대입법

좌변에 $(x-1)$이라는 공통 인수가 있으므로 $x=1$을 대입하면 식이 매우 간단해져요. 이런 형태는 수치대입법이 더 효율적일 수 있습니다.

항등식이므로 $x$에 어떤 값을 대입해도 성립합니다.

• $x=1$ 대입:
  $a(0)^2+b(0)+c = 1^2+5(1) \quad \Rightarrow \quad c=6$
• $x=0$ 대입:
  $a(-1)^2+b(-1)+c = 0^2+5(0) \quad \Rightarrow \quad a-b+c=0$
  $c=6$이므로 $a-b+6=0$, 즉 $a-b=-6$
• $x=2$ 대입:
  $a(1)^2+b(1)+c = 2^2+5(2) \quad \Rightarrow \quad a+b+c=14$
  $c=6$이므로 $a+b+6=14$, 즉 $a+b=8$

이제 $a-b=-6$과 $a+b=8$을 연립하여 풀면, 두 식을 더해서 $2a=2 \Rightarrow a=1$이고, $b=7$입니다.

두 방법 모두 결과는 $a=1, b=7, c=6$으로 같습니다.

p. 25, 문제 2

다음 등식이 $x$에 대한 항등식이 되도록 상수 $a, b, c$의 값을 정하시오.

(1) $ax^2+bx+1 = (2x-1)(x+1)+c$

(2) $2x(x-1)+ax(x+1)+b(x+1)(x-1) = cx^2+3ax-1$

💡 상세 풀이

각 문제의 형태에 더 유리한 방법을 선택해서 풀어봅시다.

(1) 계수비교법으로 풀기

우변을 전개하여 정리하는 것이 간단해 보입니다.

$(2x-1)(x+1)+c = 2x^2 + 2x - x - 1 + c = 2x^2 + x + (c-1)$

좌변 $ax^2+bx+1$과 계수를 비교합니다.

• $x^2$의 계수: $a = 2$
• $x$의 계수: $b = 1$
• 상수항: $1 = c-1 \Rightarrow c = 2$

따라서 정답은 $a=2, b=1, c=2$ 입니다.

(2) 수치대입법으로 풀기

이 문제는 $x(x+1)$, $(x+1)(x-1)$과 같은 인수들이 있어 $x=0, x=1, x=-1$을 대입하면 식이 매우 간단해집니다.

주어진 등식 $2x(x-1)+ax(x+1)+b(x+1)(x-1) = cx^2+3ax-1$에 값을 대입해봅시다.

• $x=0$ 대입:
  $0 + 0 + b(1)(-1) = 0 + 0 - 1 \quad \Rightarrow \quad -b = -1 \quad \Rightarrow \quad b=1$
• $x=1$ 대입:
  $0 + a(1)(2) + 0 = c(1)^2 + 3a(1) - 1 \quad \Rightarrow \quad 2a = c+3a-1 \quad \Rightarrow \quad c = -a+1$
• $x=-1$ 대입:
  $2(-1)(-2) + 0 + 0 = c(-1)^2 + 3a(-1) - 1 \quad \Rightarrow \quad 4 = c-3a-1 \quad \Rightarrow \quad c = 3a+5$

이제 $c$에 대한 두 식을 연립하여 $a$를 구합니다.

$-a+1 = 3a+5 \quad \Rightarrow \quad 4a = -4 \quad \Rightarrow \quad a=-1$

$a=-1$을 $c=-a+1$에 대입하면 $c = -(-1)+1 = 2$입니다.

따라서 정답은 $a=-1, b=1, c=2$ 입니다.

p. 25, 생각 넓히기

'연속하는 세 자연수의 곱에 가운데 수를 더하면 가운데 수의 세제곱과 같다.'는 것을 등식으로 나타내어 확인하려고 한다.

활동 1: 연속하는 세 자연수의 가운데 수를 $x$로 놓고 위의 문장을 식으로 나타내 보자.

활동 2: 활동 1의 등식이 항등식인 이유를 설명해 보자.

💡 상세 풀이

문장으로 된 수학적 관계를 식으로 표현하고, 그 식이 항등식임을 보이는 문제입니다.

활동 1: 문장을 식으로 나타내기

연속하는 세 자연수의 가운데 수를 $x$라고 하면, 세 자연수는 각각 $x-1, x, x+1$ 입니다. (단, $x$는 2 이상의 자연수)

문제의 설명에 따라 식을 세워봅시다.

• 연속하는 세 자연수의 곱: $(x-1)x(x+1)$
• 가운데 수를 더하면: $(x-1)x(x+1) + x$
• 가운데 수의 세제곱과 같다: $= x^3$

따라서 문장을 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

$(x-1)x(x+1) + x = x^3$

활동 2: 항등식임을 설명하기

활동 1에서 세운 등식이 항등식인지 확인하려면, 좌변을 전개하고 정리하여 우변과 완전히 똑같은 형태가 되는지 보면 됩니다.

좌변을 전개해 보겠습니다.

$\begin{align*} (x-1)x(x+1) + x &= x(x-1)(x+1) + x \\ &= x(x^2 - 1) + x \\ &= (x^3 - x) + x \\ &= x^3 \end{align*}$

좌변을 정리하니 $x^3$이 되어 우변과 완전히 같아졌습니다. 즉, $x^3 = x^3$ 이라는 등식이 되었네요.
이 등식은 $x$에 어떤 값을 대입하더라도 항상 참이 됩니다. 따라서 주어진 문장을 식으로 나타낸 등식은 $x$에 대한 항등식입니다.

개념 확장 및 연관성

오늘 배운 항등식의 개념은 앞으로 배울 내용들의 든든한 발판이 됩니다.

• 나머지 정리: 다항식 $f(x)$를 $(x-a)$로 나눌 때의 나머지가 $f(a)$라는 것을 증명할 때, $f(x) = (x-a)Q(x) + R$ 이라는 항등식을 세우고 $x=a$를 대입하는 수치대입법의 원리를 사용합니다.
• 다항식의 인수분해: 어떤 식이 다른 식들의 곱으로 표현된다는 것 자체가 항등식 관계를 의미합니다.
• 부분분수 분해: 분수식을 계산할 때, 복잡한 분수를 간단한 분수들의 합으로 쪼개는 과정에서 항등식과 미정계수법이 핵심적으로 사용됩니다. (이 내용은 공통수학2에서 더 자세히 다뤄요!)

오개념 방지 및 심화 팁

항등식을 공부할 때 학생들이 자주 헷갈리는 부분을 짚어드릴게요.

• 항등식 vs 방정식: "모든 $x$에 대하여 성립", "$x$의 값에 관계없이 항상 성립", "임의의 $x$에 대하여 성립" 과 같은 표현이 나오면 항등식 문제입니다. 이런 표현 없이 그냥 "등식을 풀어라"라고 하면 특정 $x$값을 찾는 방정식 문제입니다. 문제의 표현을 잘 읽는 습관이 중요해요!
• 계수비교법 vs 수치대입법: 어떤 방법을 써도 답은 같지만, 문제의 형태에 따라 유리한 방법이 있어요. 식이 이미 내림차순으로 정리되어 있거나 전개가 쉽다면 '계수비교법'이, $(x-1), (x+2)$처럼 괄호로 묶인 인수가 많다면 괄호 안을 0으로 만드는 값을 대입하는 '수치대입법'이 편리합니다.
• 수치대입법의 숫자 선택: 아무 숫자나 대입해도 되지만, 계산이 가장 간단해지는 값을 선택하는 것이 센스! 보통 괄호 안을 0으로 만드는 값이나, $0, 1, -1$ 등을 우선적으로 고려하면 좋습니다.

마무리하며

오늘 우리는 항등식의 뜻과 성질, 그리고 미정계수를 구하는 두 가지 강력한 도구인 계수비교법과 수치대입법에 대해 배웠습니다. 항등식은 단순히 하나의 개념으로 끝나지 않고, 앞으로 배울 수학의 여러 영역에서 계속해서 나타날 중요한 아이디어입니다. 특히 다음 시간에 배울 '나머지정리'는 항등식의 성질을 그대로 가져와 활용하는 단원이니, 오늘 배운 내용을 꼭 복습하고 자신의 것으로 만들어 주세요. 오늘도 수고 많으셨습니다. 다음 시간에 더 재미있는 수학 이야기로 만나요!