미래엔 공통수학1 교과서 [다항식의 덧셈과 뺄셈] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학1 교과서 다항식의 연산: 다항식의 덧셈과 뺄셈 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요! 여러분의 수학 실력을 쑥쑥 올려줄 수학쟁이 선생님입니다. 😊

오늘은 공통수학1의 첫 대단원, 다항식에서 다항식의 덧셈과 뺄셈에 대해 함께 공부해 볼 거예요. 중학교 때 배운 내용에서 조금 더 발전된 형태라 처음에는 낯설 수 있지만, 차근차근 따라오면 금방 익숙해질 수 있을 거예요. 그럼, 교과서 12페이지부터 14페이지까지 모든 문제를 정복하러 가볼까요?

✨ 다항식의 덧셈과 뺄셈 핵심 포인트 ✨

이 단원을 관통하는 가장 중요한 개념들을 먼저 정리해 볼게요. 이것만 알아도 절반은 성공!

• 다항식의 정리: 다항식을 계산하기 편하게 특정 문자에 대해 차수가 높은 항부터 낮은 항 순서로 정리하는 것을 내림차순, 반대로 낮은 항부터 높은 항 순서로 정리하는 것을 오름차순이라고 해요. 보통은 내림차순으로 정리하는 것이 일반적이랍니다.
• 동류항: 문자와 차수가 똑같은 항을 말해요. 다항식의 덧셈과 뺄셈은 바로 이 동류항끼리 계수를 더하고 빼는 것이 전부랍니다. $3x^2$와 $-x^2$는 동류항이지만, $3x^2$와 $3x$는 동류항이 아니에요!
• 다항식의 덧셈과 뺄셈:
  • 덧셈: 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 계산하면 끝!
  • 뺄셈: 빼는 식의 각 항의 부호를 모두 바꾸어 더해준다는 것이 핵심이에요. $A - B = A + (-B)$ 와 같죠. 부호 실수에 특히 주의해야 해요!
• 다항식 덧셈의 연산 법칙:
  • 교환법칙: $A+B = B+A$ (순서를 바꿔 더해도 결과는 같아요.)
  • 결합법칙: $(A+B)+C = A+(B+C)$ (어디를 먼저 계산해도 결과는 같아요.)

📖 교과서 문제 풀이 📖

자, 이제 본격적으로 교과서 문제를 하나씩 풀어봅시다. 풀이 과정을 꼼꼼히 보면서 원리를 이해하는 데 집중해 주세요!

📘 교과서 12페이지

p.12 문제 1

다항식 $-6-2y^3+3x^4-x^2y^2+5xy$에 대하여 다음에 답하시오.
(1) $x$에 대하여 내림차순으로 정리하시오.
(2) $y$에 대하여 내림차순으로 정리하시오.

[풀이]

다항식을 특정 문자에 대해 정리할 때는 그 문자를 '주인공'으로 생각하고, 나머지 문자나 숫자는 계수의 일부로 취급하면 쉬워요.

(1) $x$에 대하여 내림차순으로 정리하기

$x$의 차수가 가장 높은 항부터 순서대로 나열하면 됩니다.

• $x$의 4차항: $3x^4$
• $x$의 2차항: $-x^2y^2$
• $x$의 1차항: $5xy$
• $x$가 없는 항 (상수항 취급): $-2y^3 - 6$

이것들을 순서대로 쓰면 정답은...
답: $3x^4 - x^2y^2 + 5xy - 2y^3 - 6$

(2) $y$에 대하여 내림차순으로 정리하기

이번엔 $y$가 주인공이에요. $y$의 차수가 높은 항부터 찾아볼까요?

• $y$의 3차항: $-2y^3$
• $y$의 2차항: $-x^2y^2$
• $y$의 1차항: $5xy$
• $y$가 없는 항 (상수항 취급): $3x^4 - 6$

순서대로 정리하면...
답: $-2y^3 - x^2y^2 + 5xy + 3x^4 - 6$

선생님 팁!
한 문자에 대해 정리할 때, 같은 차수의 항이 여러 개 있다면 그 문자만 빼고 괄호로 묶어 계수처럼 표현하기도 해요. 예를 들어 (2)번 답에서 $y$에 대해 1차항이 $5xy$와 만약 $+2y$가 더 있었다면 $(5x+2)y$와 같이 묶어줄 수 있습니다.

p.12 문제 2

다음 두 다항식 $A$와 $B$에 대하여 $A+B$와 $A-B$를 계산하시오.
(1) $A=3x^3+2x-1, B=2x^3-x^2-x+1$
(2) $A=x^2+3xy+5y^2, B=6x^2-9xy-y^2$

[풀이]

(1)

$A+B$ 계산:

$A+B = (3x^3+2x-1) + (2x^3-x^2-x+1)$

괄호를 풀고 동류항끼리 모아볼게요.

$= 3x^3 + 2x - 1 + 2x^3 - x^2 - x + 1$

$= (3+2)x^3 - x^2 + (2-1)x + (-1+1)$

$= 5x^3 - x^2 + x$

$A-B$ 계산:

$A-B = (3x^3+2x-1) - (2x^3-x^2-x+1)$

뺄셈은 빼는 식의 모든 항의 부호를 바꿔서 더해주는 것이 안전해요!

$= 3x^3+2x-1 - 2x^3 + x^2 + x - 1$

$= (3-2)x^3 + x^2 + (2+1)x + (-1-1)$

$= x^3 + x^2 + 3x - 2$

답: $A+B = 5x^3 - x^2 + x$, $A-B = x^3 + x^2 + 3x - 2$

---

(2)

$A+B$ 계산:

$A+B = (x^2+3xy+5y^2) + (6x^2-9xy-y^2)$

$= (1+6)x^2 + (3-9)xy + (5-1)y^2$

$= 7x^2 - 6xy + 4y^2$

$A-B$ 계산:

$A-B = (x^2+3xy+5y^2) - (6x^2-9xy-y^2)$

$= x^2+3xy+5y^2 - 6x^2 + 9xy + y^2$

$= (1-6)x^2 + (3+9)xy + (5+1)y^2$

$= -5x^2 + 12xy + 6y^2$

답: $A+B = 7x^2 - 6xy + 4y^2$, $A-B = -5x^2 + 12xy + 6y^2$

📘 교과서 13페이지

p.13 함께하기

세 다항식 $A=x^2-xy+2y^2$, $B=-3xy+y^2$, $C=4xy$에 대하여 다음 활동을 해 보자.
1. $A+B$와 $B+A$를 계산하고, 그 결과를 비교해 보자.
2. $(A+B)+C$와 $A+(B+C)$를 계산하고, 그 결과를 비교해 보자.

[풀이]

이 활동은 다항식의 덧셈에서도 수의 덧셈처럼 교환법칙과 결합법칙이 성립하는지 확인해보는 과정이에요.

1. 교환법칙 확인 ($A+B = B+A$)

$A+B = (x^2-xy+2y^2) + (-3xy+y^2) = x^2 - 4xy + 3y^2$

$B+A = (-3xy+y^2) + (x^2-xy+2y^2) = x^2 - 4xy + 3y^2$

결과 비교: 두 결과가 $x^2-4xy+3y^2$로 완전히 똑같네요! 따라서 다항식의 덧셈에서 교환법칙이 성립함을 알 수 있습니다.

2. 결합법칙 확인 ($(A+B)+C = A+(B+C)$)

먼저 $(A+B)+C$를 계산해볼게요.

$A+B = x^2-4xy+3y^2$ (위에서 계산했죠?)

$(A+B)+C = (x^2-4xy+3y^2) + (4xy) = x^2 + (-4+4)xy + 3y^2 = x^2 + 3y^2$

이제 $A+(B+C)$를 계산해볼게요.

$B+C = (-3xy+y^2) + (4xy) = xy+y^2$

$A+(B+C) = (x^2-xy+2y^2) + (xy+y^2) = x^2 + (-1+1)xy + (2+1)y^2 = x^2+3y^2$

결과 비교: 두 결과 모두 $x^2+3y^2$으로 똑같습니다. 따라서 다항식의 덧셈에서 결합법칙도 성립함을 확인할 수 있습니다.

p.13 문제 3

세 다항식 $A=x^3-2x^2+5, B=-x^2+3x+1, C=x^3-5x^2+4x$에 대하여 다음을 계산하시오.
(1) $A-(B+C)$
(2) $(A-2B)-(C+A)$

[풀이]

복잡한 연산일수록 괄호 안부터 차근차근 계산하는 것이 중요해요.

(1) $A-(B+C)$

1단계: 괄호 안의 $B+C$부터 계산합니다.

$B+C = (-x^2+3x+1) + (x^3-5x^2+4x)$

$= x^3 + (-1-5)x^2 + (3+4)x + 1$

$= x^3 - 6x^2 + 7x + 1$

2단계: $A$에서 위에서 구한 결과를 뺍니다.

$A-(B+C) = (x^3-2x^2+5) - (x^3 - 6x^2 + 7x + 1)$

$= x^3-2x^2+5 - x^3 + 6x^2 - 7x - 1$

$= (1-1)x^3 + (-2+6)x^2 - 7x + (5-1)$

$= 4x^2 - 7x + 4$

답: $4x^2 - 7x + 4$

---

(2) $(A-2B)-(C+A)$

1단계: 첫 번째 괄호 안의 $A-2B$를 계산합니다.

$2B = 2(-x^2+3x+1) = -2x^2+6x+2$

$A-2B = (x^3-2x^2+5) - (-2x^2+6x+2)$

$= x^3-2x^2+5 + 2x^2-6x-2$

$= x^3 - 6x + 3$

2단계: 두 번째 괄호 안의 $C+A$를 계산합니다.

$C+A = (x^3-5x^2+4x) + (x^3-2x^2+5)$

$= (1+1)x^3 + (-5-2)x^2 + 4x + 5$

$= 2x^3 - 7x^2 + 4x + 5$

3단계: 1단계 결과에서 2단계 결과를 뺍니다.

$(A-2B)-(C+A) = (x^3 - 6x + 3) - (2x^3 - 7x^2 + 4x + 5)$

$= x^3 - 6x + 3 - 2x^3 + 7x^2 - 4x - 5$

$= (1-2)x^3 + 7x^2 + (-6-4)x + (3-5)$

$= -x^3 + 7x^2 - 10x - 2$

답: $-x^3 + 7x^2 - 10x - 2$

📘 교과서 14페이지

p.14 문제 4 [경제]

어느 공장에서 상품 $Q$개를 생산할 때 드는 비용 $C$원과 판매할 때 생기는 수입 $R$원이 다음과 같다.

$$ C = 0.025Q^2 + 125Q + 15000 $$

$$ R = -0.1Q^2 + 300Q $$

이때 이 공장이 얻는 이익을 $Q$에 대한 식으로 나타내시오. (단, (이익) = (수입) - (비용))

[풀이]

문제에서 친절하게 이익을 구하는 공식을 알려줬네요. 이익은 수입에서 비용을 뺀 것이니, 식을 그대로 세워서 계산하면 됩니다.

이익 = $R - C$

주어진 다항식 $R$과 $C$를 대입해 봅시다. 뺄셈을 할 때는 반드시 괄호를 사용해야 실수를 줄일 수 있어요!

이익 $= (-0.1Q^2 + 300Q) - (0.025Q^2 + 125Q + 15000)$

이제 괄호를 풀고 동류항끼리 정리해볼까요?

$= -0.1Q^2 + 300Q - 0.025Q^2 - 125Q - 15000$

$= (-0.1 - 0.025)Q^2 + (300 - 125)Q - 15000$

$= -0.125Q^2 + 175Q - 15000$

답: $-0.125Q^2 + 175Q - 15000$

p.14 생각 넓히기 [문제해결, 추론]

다음 그림과 같은 정사각뿔대의 부피를 고대 바빌로니아 사람들은 $A$와 같이 대략적으로 계산했지만, 비슷한 시기 이집트 사람들은 $B$와 같이 정확히 계산했다고 한다.

$$ A = \frac{1}{2}(a^2+b^2)h $$

$$ B = \frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)h $$

활동 $A-B$를 계산한 결과를 식으로 나타내 보자.

[풀이]

두 계산법의 차이를 알아보는 문제네요. 다항식의 뺄셈을 문자를 사용해 계산하는 것과 같아요. 먼저 각 식을 전개해서 정리한 후 빼는 것이 편합니다.

1단계: 식 A와 B를 전개합니다.

$A = \frac{1}{2}a^2h + \frac{1}{2}b^2h$

$B = \frac{1}{3}a^2h + \frac{1}{3}abh + \frac{1}{3}b^2h$

2단계: $A-B$를 계산합니다. 분수 계산을 위해 통분을 해야겠죠? 최소공배수인 6으로 통분해 볼게요.

$A = \frac{3}{6}a^2h + \frac{3}{6}b^2h$

$B = \frac{2}{6}a^2h + \frac{2}{6}abh + \frac{2}{6}b^2h$

$A-B = \left(\frac{3}{6}a^2h + \frac{3}{6}b^2h\right) - \left(\frac{2}{6}a^2h + \frac{2}{6}abh + \frac{2}{6}b^2h\right)$

$= \left(\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right)a^2h - \frac{2}{6}abh + \left(\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right)b^2h$

$= \frac{1}{6}a^2h - \frac{2}{6}abh + \frac{1}{6}b^2h$

3단계: 공통인수 $\frac{1}{6}h$로 묶어서 식을 간단히 합니다.

$= \frac{1}{6}h(a^2 - 2ab + b^2)$

어? 괄호 안의 식이 익숙한 곱셈 공식이네요!

$= \frac{1}{6}h(a-b)^2$

답: $A-B = \frac{1}{6}h(a-b)^2$

결과 분석: $h$는 높이, $a$와 $b$는 길이이므로 모두 양수입니다. $(a-b)^2$은 $a$와 $b$가 다르다면 항상 양수이죠. 따라서 $A-B$는 항상 0보다 크거나 같습니다. 이것은 바빌로니아의 계산법이 이집트의 정확한 계산법보다 항상 약간 더 큰 값을 주었다는 것을 의미하네요!

개념 확장 및 연관성

다항식의 덧셈과 뺄셈은 단순히 식을 계산하는 것을 넘어, 앞으로 배울 모든 수학 분야의 기초 체력과 같아요.

• 방정식과 함수: 복잡한 방정식 $f(x) - g(x) = 0$을 풀거나, 두 함수의 차이 $y = f(x) - g(x)$를 새로운 함수로 정의하고 분석할 때 기본적으로 사용돼요.
• 미적분: 함수를 미분하거나 적분할 때, 각 항을 따로따로 계산한 뒤 더하거나 빼는 원리가 바로 다항식의 연산 규칙에서 온 것이랍니다.
• 물리학: 물체의 위치, 속도, 가속도 등을 나타내는 식들을 더하고 빼서 새로운 물리량을 계산할 때 다항식 연산은 필수적이에요.
• 컴퓨터 과학: 알고리즘의 시간 복잡도(Big-O 표기법)를 계산하거나, 컴퓨터 그래픽에서 도형의 위치를 변환하는 행렬 계산 등에서도 다항식의 원리가 숨어있답니다.

오개념 방지 및 심화 팁

선생님이 지켜본 결과, 학생들이 가장 많이 하는 실수는 바로 이런 것들이었어요! 꼭 주의하세요.

1. 뺄셈 부호 분배 실수: $A-(B+C)$를 풀 때 $A-B+C$로 계산하는 실수가 가장 흔해요. 괄호 앞에 마이너스가 있으면 괄호 안의 모든 항의 부호를 반대로 바꿔야 합니다. $A-B-C$가 맞는 계산이죠. 항상 괄호를 먼저 풀고 계산하는 습관을 들이세요!
2. 동류항 착각: $2xy$와 $3x^2y$처럼 문자는 같지만 차수가 다르면 동류항이 아니에요. 문자의 종류와 각 문자의 차수까지 완벽하게 같아야 동류항입니다.
3. 내림차순 정리: 특정 문자에 대해 내림차순으로 정리할 때, 그 문자가 없는 항들은 모두 '상수항'으로 취급해서 맨 뒤에 모아주면 됩니다.
4. 심화 팁 - 세로셈 활용: 문자의 종류가 많고 복잡한 다항식을 더하거나 뺄 때는, 동류항끼리 줄을 맞춰 세로로 쓰는 '세로셈' 방식을 이용하면 실수를 크게 줄일 수 있답니다. (예제 1 풀이 참고)

마무리하며

오늘 다항식의 덧셈과 뺄셈에 대해 배워봤는데, 어떠셨나요? 핵심은 '동류항끼리' 계산한다는 것, 그리고 뺄셈은 '부호를 바꿔서 더한다'는 것이었죠.

이 내용은 앞으로 배울 다항식의 곱셈과 나눗셈, 그리고 더 나아가 고차방정식과 함수를 이해하는 데 가장 기본이 되는 중요한 발판입니다. 오늘 배운 내용을 확실히 다져놓으면 앞으로의 수학 공부가 훨씬 수월해질 거예요.

틀린 문제가 있다면 왜 틀렸는지 꼭 다시 확인하고, 스스로 백지에 문제를 풀어보는 연습을 해보세요. 여러분의 수학 자신감, 수학쟁이 선생님이 항상 응원하겠습니다! 다음 시간에는 '다항식의 곱셈과 나눗셈'으로 만나요! 💪