미래엔 공통수학2 교과서 [함수와 그래프 - 유리함수와 무리함수] 중단원 마무리 문제 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학2 교과서 [함수와 그래프 - 유리함수와 무리함수] 중단원 마무리 문제 모든 문제 상세 풀이

수학쟁이 선생님입니다! 😊 다들 함수 공부는 잘 되어가고 있나요? 오늘은 '함수와 그래프' 대단원의 마지막 중단원, 유리함수와 무리함수의 중단원 마무리 문제를 풀어보겠습니다. 함수의 그래프를 그리는 것은 함수의 성질을 직관적으로 이해하는 데 정말 중요합니다. 특히 유리함수의 점근선, 무리함수의 시작점과 정의역/치역은 시험에 꼭 나오는 단골손님이죠! 오늘 문제들을 꼼꼼하게 풀면서 개념을 확실히 다져봅시다. 준비되셨죠? 🔥

📝 유리함수와 무리함수 핵심 포인트

문제를 풀기 전에, 이 단원에서 가장 중요한 개념들을 다시 한번 짚어보겠습니다!

• 유리함수 $y = \frac{k}{x-p} + q$ ($k \neq 0$)
  • $y = \frac{k}{x}$의 그래프를 x축 방향으로 $p$만큼, y축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 그래프입니다.
  • 점근선: $x=p$, $y=q$ (가장 중요합니다! ⭐⭐⭐)
  • 정의역: $x \neq p$인 모든 실수입니다.
  • 치역: $y \neq q$인 모든 실수입니다.
  • 점 $(p, q)$에 대하여 대칭인 한 쌍의 곡선입니다.
  • 일반형 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$는 표준형으로 바꿔서 생각해야 합니다!


• 무리함수 $y = \sqrt{a(x-p)} + q$ ($a \neq 0$)
  • $y = \sqrt{ax}$의 그래프를 x축 방향으로 $p$만큼, y축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 그래프입니다.
  • 시작점: $(p, q)$ (그래프의 출발점입니다! ⭐⭐⭐)
  • 정의역: 근호 안의 값이 0 이상이어야 합니다. 즉, $a(x-p) \ge 0$ 입니다.
  • 치역: 근호 앞의 부호와 $q$값에 따라 결정됩니다. $y \ge q$ 또는 $y \le q$ 입니다.
  • 그래프의 모양은 $a$의 부호와 근호 앞의 부호에 따라 4가지 방향으로 그려진다는 것을 기억해야 합니다!

📚 교과서 문제 풀이 (p.133 ~ p.134)

p.133 | 01 다음 식을 계산하시오.

(1) $\frac{4x-5}{x^2+2x} - \frac{1}{x+2}$

(2) $\frac{x}{x^2-9} \div \frac{3x^2+x}{x-3}$

🔍 상세 풀이

유리식의 계산은 분수 계산과 원리가 같습니다. 통분과 인수분해가 핵심이죠!

(1) 분모를 먼저 인수분해해서 통분할 준비를 합시다.

$$ \begin{align*} \frac{4x-5}{x^2+2x} - \frac{1}{x+2} &= \frac{4x-5}{x(x+2)} - \frac{1}{x+2} \\ &= \frac{4x-5}{x(x+2)} - \frac{1 \cdot x}{x(x+2)} \quad \textit{<- 최소공배수 $x(x+2)$로 통분} \\ &= \frac{(4x-5) - x}{x(x+2)} \\ &= \frac{3x-5}{x(x+2)} \end{align*} $$

따라서 정답은 $\frac{3x-5}{x(x+2)}$ 입니다.

(2) 나눗셈은 역수를 곱하는 것으로 바꾸고, 각 식을 인수분해해서 약분하면 됩니다.

$$ \begin{align*} \frac{x}{x^2-9} \div \frac{3x^2+x}{x-3} &= \frac{x}{(x-3)(x+3)} \div \frac{x(3x+1)}{x-3} \\ &= \frac{x}{(x-3)(x+3)} \times \frac{x-3}{x(3x+1)} \quad \textit{<- 나눗셈을 곱셈으로!} \\ &= \frac{1}{(x+3)(3x+1)} \end{align*} $$

따라서 정답은 $\frac{1}{(x+3)(3x+1)}$ 입니다.

p.133 | 02 다음 함수의 그래프를 그리고, 정의역과 치역, 점근선을 구하시오.

(1) $y = \frac{4}{x-1} - 3$

(2) $y = \frac{2x+3}{x+4}$

🔍 상세 풀이

유리함수의 그래프는 점근선이 가장 중요한 단서입니다! 점근선을 먼저 찾고 그래프를 그려봅시다.

(1) $y = \frac{4}{x-1} - 3$

• 이 함수는 $y = \frac{4}{x}$의 그래프를 x축 방향으로 1만큼, y축 방향으로 -3만큼 평행이동한 것입니다.
• 점근선: $x=1, y=-3$
• 정의역: $x \neq 1$인 모든 실수
• 치역: $y \neq -3$인 모든 실수
• 그래프는 k=4 > 0 이므로 점근선을 기준으로 1, 3 사분면 방향에 그려집니다.

(2) $y = \frac{2x+3}{x+4}$

일반형이므로, 먼저 표준형으로 바꿔주겠습니다.

$$ y = \frac{2(x+4) - 8 + 3}{x+4} = \frac{2(x+4) - 5}{x+4} = \frac{-5}{x+4} + 2 $$

• 이 함수는 $y = \frac{-5}{x}$의 그래프를 x축 방향으로 -4만큼, y축 방향으로 2만큼 평행이동한 것입니다.
• 점근선: $x=-4, y=2$
• 정의역: $x \neq -4$인 모든 실수
• 치역: $y \neq 2$인 모든 실수
• 그래프는 k=-5 < 0 이므로 점근선을 기준으로 2, 4 사분면 방향에 그려집니다.

p.133 | 03 다음 식을 간단히 하시오.

(1) $(1+\sqrt{x-5})(1-\sqrt{x-5})$

(2) $\frac{3}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}}$

🔍 상세 풀이

무리식 계산의 핵심은 곱셈 공식과 분모의 유리화입니다. 잊지 않으셨죠?

(1) 합차 공식을 이용하면 간단합니다!

$$ (1+\sqrt{x-5})(1-\sqrt{x-5}) = 1^2 - (\sqrt{x-5})^2 = 1 - (x-5) = 1 - x + 5 = 6 - x $$

따라서 정답은 $6-x$ 입니다.

(2) 분모의 켤레식을 분모와 분자에 곱해서 유리화합시다.

$$ \begin{align*} \frac{3}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}} &= \frac{3(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1})}{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1})} \\ &= \frac{3(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1})}{(\sqrt{x+2})^2 - (\sqrt{x-1})^2} \\ &= \frac{3(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1})}{(x+2) - (x-1)} \\ &= \frac{3(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1})}{3} \\ &= \sqrt{x+2} + \sqrt{x-1} \end{align*} $$

따라서 정답은 $\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1}$ 입니다.

p.133 | 04 다음 함수의 그래프를 그리고, 정의역과 치역을 구하시오.

(1) $y = \sqrt{2x-4} + 3$

(2) $y = -\sqrt{3x+9} - 2$

🔍 상세 풀이

무리함수는 시작점을 찾고 그래프의 방향을 결정하는 것이 순서입니다!

(1) $y = \sqrt{2x-4} + 3 = \sqrt{2(x-2)} + 3$

• 이 함수는 $y = \sqrt{2x}$의 그래프를 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 3만큼 평행이동한 것입니다.
• 시작점: $(2, 3)$
• 정의역: $2x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$
• 치역: $\sqrt{2x-4} \ge 0$ 이므로 $y \ge 3$
• 그래프는 시작점에서 오른쪽 위로 뻗어 나가는 모양입니다.

(2) $y = -\sqrt{3x+9} - 2 = -\sqrt{3(x+3)} - 2$

• 이 함수는 $y = -\sqrt{3x}$의 그래프를 x축 방향으로 -3만큼, y축 방향으로 -2만큼 평행이동한 것입니다.
• 시작점: $(-3, -2)$
• 정의역: $3x+9 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$
• 치역: $-\sqrt{3x+9} \le 0$ 이므로 $y \le -2$
• 그래프는 시작점에서 오른쪽 아래로 뻗어 나가는 모양입니다.

p.134 | 05 함수 $y = \frac{-x+1}{x+3}$의 그래프를 x축의 방향으로 $m$만큼, y축의 방향으로 $n$만큼 평행이동하면 함수 $y = \frac{-3x-2}{x+2}$의 그래프와 일치한다고 할 때, 상수 $m$과 $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하시오.

🔍 상세 풀이

평행이동 문제는 각 함수를 표준형 $y=\frac{k}{x-p}+q$로 바꿔서 점근선의 이동을 비교하면 쉽게 풀 수 있습니다.

1. 첫 번째 함수 정리하기

$$ y = \frac{-x+1}{x+3} = \frac{-(x+3)+3+1}{x+3} = \frac{4}{x+3} - 1 $$

이 함수의 점근선은 $x=-3, y=-1$입니다.

2. 두 번째 함수 정리하기

$$ y = \frac{-3x-2}{x+2} = \frac{-3(x+2)+6-2}{x+2} = \frac{4}{x+2} - 3 $$

이 함수의 점근선은 $x=-2, y=-3$입니다. (두 함수의 k값이 4로 같으니 평행이동으로 겹칠 수 있겠군요!)

3. 점근선 이동 비교하기

• x축 방향 평행이동: 점근선 $x=-3$이 $x=-2$로 이동했으므로, $x$축 방향으로 $m$만큼 평행이동은 $-3 + m = -2 \Rightarrow m=1$ 입니다.
• y축 방향 평행이동: 점근선 $y=-1$이 $y=-3$으로 이동했으므로, $y$축 방향으로 $n$만큼 평행이동은 $-1 + n = -3 \Rightarrow n=-2$ 입니다.

따라서 $m=1, n=-2$이므로, $m+n = 1 + (-2) = -1$ 입니다.

p.134 | 06 함수 $y = \frac{ax+b}{x+c}$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 상수 $a, b, c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오.

🔍 상세 풀이

그래프의 핵심 정보를 정확히 파악하는 것이 중요합니다.

1. 점근선 정보 이용하기: 점근선의 교점이 `(-2, -3)`이므로, 점근선은 $x=-2, y=-3$입니다.

2. 점근선으로 식 세우기: 함수 $y = \frac{ax+b}{x+c}$의 점근선은 $x=-c, y=a$입니다.

• $x = -c = -2 \Rightarrow c=2$
• $y = a = -3 \Rightarrow a=-3$

따라서 함수식은 $y = \frac{-3x+b}{x+2}$ 가 됩니다.

3. 지나는 점 대입하기: 그래프가 점 `(1, -2)`를 지나므로, 이 점을 식에 대입합니다.

$$ -2 = \frac{-3(1)+b}{1+2} \Rightarrow -2 = \frac{-3+b}{3} $$

$$ -6 = -3+b \Rightarrow b=-3 $$

4. 최종 값 구하기: $a=-3, b=-3, c=2$ 이므로, $a+b+c = (-3)+(-3)+2=-4$ 입니다.

p.134 | 07 (서술형) 함수 $f(x) = \frac{ax+b}{x+1}$에 대하여 $y=f(x)$의 그래프가 점 $(3,1)$을 지나고 $f=f^{-1}$일 때, 상수 $a$와 $b$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

🔍 상세 풀이 (서술형)

이 문제는 두 가지 중요한 단서를 주고 있습니다. 하나는 지나는 점, 다른 하나는 원래 함수와 역함수가 같다는 조건입니다. 차근차근 해결해보겠습니다.

1단계: 점 (3,1)을 지나는 조건 이용하기

함수 $y=f(x)$가 점 $(3,1)$을 지나므로, $x=3$일 때 $y=1$입니다. 식에 대입하면,

$$ f(3) = \frac{3a+b}{3+1} = 1 $$

$$ 3a+b = 4 \quad \cdots ① $$

2단계: $f=f^{-1}$ 조건 이용하기

함수와 그 역함수가 같다는 것은, $y=f(x)$의 그래프가 직선 $y=x$에 대하여 대칭이라는 의미입니다. 유리함수 그래프는 점근선의 교점에 대해 점대칭이므로, $f=f^{-1}$가 성립하려면 점근선의 교점이 반드시 직선 $y=x$ 위에 있어야 합니다.

함수 $f(x) = \frac{ax+b}{x+1}$의 점근선은 $x=-1, y=a$입니다.

따라서 점근선의 교점은 $(-1, a)$가 되고, 이 점이 $y=x$ 위에 있으므로,

$$ a = -1 $$

3단계: a, b 값 구하기

$a=-1$을 1단계에서 구한 식 ①에 대입하면,

$$ 3(-1) + b = 4 \Rightarrow -3 + b = 4 \Rightarrow b=7 $$

따라서, 구하는 상수의 값은 $a=-1, b=7$입니다.

p.134 | 08 함수 $y=\sqrt{ax}$의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 그래프가 점 $(-1, 8)$을 지날 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

🔍 상세 풀이

평행이동한 식을 먼저 구하고, 지나는 점의 좌표를 대입하면 됩니다!

1. 평행이동한 식 구하기

$y=\sqrt{ax}$의 그래프를 x축 방향으로 -2만큼, y축 방향으로 5만큼 평행이동하면,

$x$ 대신 $x-(-2)=x+2$를, $y$ 대신 $y-5$를 대입해야 합니다.

$$ y-5 = \sqrt{a(x+2)} $$

$$ y = \sqrt{a(x+2)} + 5 $$

2. 점의 좌표 대입하기

이 그래프가 점 $(-1, 8)$을 지나므로, $x=-1, y=8$을 대입하면,

$$ 8 = \sqrt{a(-1+2)} + 5 $$

$$ 3 = \sqrt{a(1)} \Rightarrow 3 = \sqrt{a} $$

양변을 제곱하면,

$$ a=9 $$

따라서 상수 $a$의 값은 9입니다.

p.134 | 09 함수 $f(x) = -\sqrt{ax+b}+c$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, $f(-5)$의 값을 구하시오. (단, a, b, c는 상수)

🔍 상세 풀이

그래프의 핵심 정보를 정확하게 파악하는 것이 중요하죠.

1. 그래프 정보 확인

• 함수 $f(x) = -\sqrt{ax+b}+c$의 시작점이 `(4, 2)` 입니다.
• y절편, 즉 점 `(0, -2)`를 지납니다.

2. 함수 식 세우기

시작점이 $(4, 2)$이므로, 함수식을 $y = -\sqrt{a(x-4)} + 2$ 꼴로 놓을 수 있습니다. 여기서 $c=2$라는 것을 바로 알 수 있습니다.

이 그래프가 y절편인 점 $(0, -2)$를 지나므로 식에 대입하면,

$$ -2 = -\sqrt{a(0-4)} + 2 $$

$$ -4 = -\sqrt{-4a} $$

$$ 4 = \sqrt{-4a} $$

양변을 제곱하면 $16 = -4a \Rightarrow a = -4$입니다.

이제 $b$를 구해야 합니다. $f(x) = -\sqrt{ax+b}+c$와 $y=-\sqrt{-4(x-4)}+2$를 비교하면,

$$ ax+b = -4(x-4) = -4x+16 $$

따라서 $a=-4, b=16$ 입니다.

완전한 함수식은 $f(x) = -\sqrt{-4x+16} + 2$가 됩니다.

3. 함숫값 구하기

문제에서 요구하는 $f(-5)$의 값을 구하겠습니다.

$$ f(-5) = -\sqrt{-4(-5)+16} + 2 = -\sqrt{20+16} + 2 = -\sqrt{36} + 2 = -6 + 2 = -4 $$

따라서 정답은 $-4$ 입니다.

p.134 | 10 (서술형) 함수 $f(x) = \frac{2x+b}{x-a}$가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 a와 b에 대하여 a+b의 값을 구하시오.

(가) $x \neq 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f^{-1}(x) = f(x-4)-4$이다.

(나) 함수 $y=f(x)$의 그래프를 평행이동하면 함수 $y=\frac{3}{x}$의 그래프와 일치한다.

🔍 상세 풀이 (서술형)

두 가지 조건을 잘 조합해서 미지수 a, b를 찾는 문제입니다. 특히 (가) 조건에서 함수의 평행이동과 역함수의 관계를 잘 이해해야 합니다.

1단계: 조건 (나) 활용하기

함수 $f(x)$를 표준형으로 바꿔서 k값을 찾겠습니다.

$$ f(x) = \frac{2x+b}{x-a} = \frac{2(x-a)+2a+b}{x-a} = \frac{2a+b}{x-a} + 2 $$

이 그래프가 $y=\frac{3}{x}$을 평행이동한 것이므로, 분자의 값(k)이 같아야 합니다.

$$ 2a+b = 3 \quad \cdots ① $$

2단계: 조건 (가) 활용하기

함수의 변환과 점근선의 이동 관계를 이용합시다.

• $f(x)$의 점근선: $x=a, y=2$
• $f^{-1}(x)$의 점근선: 원래 함수의 점근선이 $y=x$에 대해 대칭 이동되므로, $x=2, y=a$입니다.
• $f(x-4)-4$의 점근선: $f(x)$의 점근선을 x축으로 4만큼, y축으로 -4만큼 이동시킨 것이므로, $x = a+4, y = 2-4 = -2$입니다.

$f^{-1}(x) = f(x-4)-4$ 이므로 두 함수의 점근선은 서로 같아야 합니다.

$$ x=2 = a+4 \Rightarrow a = -2 $$

$$ y=a = -2 $$

두 식 모두에서 $a=-2$로 일관된 결과를 얻었습니다.

3단계: a, b 값 구하고 최종 답 구하기

$a=-2$를 식 ①에 대입하면,

$$ 2(-2)+b = 3 \Rightarrow -4+b = 3 \Rightarrow b=7 $$

따라서 $a=-2, b=7$이므로 $a+b = -2+7 = 5$ 입니다.

p.134 | 11 (서술형) 함수 $f(x) = \sqrt{x-5}+k$의 그래프와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

🔍 상세 풀이 (서술형)

함수와 그 역함수의 교점 문제입니다. 주어진 함수 $f(x) = \sqrt{x-5}+k$는 증가함수이므로, 그 역함수와의 교점은 반드시 직선 $y=x$ 위에 존재합니다. 따라서 이 문제는 $y=f(x)$와 $y=x$가 서로 다른 두 점에서 만나는 조건을 찾는 것과 같습니다.

1단계: 교점 방정식을 세우고 이차방정식으로 변환하기

두 그래프의 교점을 찾기 위해 $f(x)=x$ 방정식을 세웁니다.

$$ \sqrt{x-5}+k = x \Rightarrow \sqrt{x-5} = x-k $$

양변을 제곱하여 정리하기 전에, 무리방정식의 해는 반드시 원래 식을 만족해야 함을 기억해야 합니다. (정의역 $x \ge 5$, $x-k \ge 0$)

양변을 제곱하여 정리하면,

$$ x-5 = (x-k)^2 \Rightarrow x-5 = x^2-2kx+k^2 $$

$$ x^2 - (2k+1)x + (k^2+5) = 0 $$

2단계: 판별식과 그래프를 이용해 조건 찾기

이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로, 판별식 $D>0$ 이어야 합니다.

$$ D = (-(2k+1))^2 - 4(k^2+5) = 4k^2+4k+1-4k^2-20 = 4k-19 $$

$$ D > 0 \Rightarrow 4k-19 > 0 \Rightarrow k > \frac{19}{4} $$

또한, 함수 $y=\sqrt{x-5}+k$의 그래프는 점 $(5,k)$에서 시작하여 오른쪽 위로 향합니다. 이 그래프가 직선 $y=x$와 서로 다른 두 점에서 만나려면, 시작점 $(5,k)$가 직선 $y=x$보다 아래에 있거나 만나야 합니다. 즉, $y$좌표인 $k$가 $x$좌표인 $5$보다 작거나 같아야 합니다.

$$ k \le 5 $$

3단계: 최종 범위 구하기

2단계에서 구한 두 조건을 모두 만족해야 합니다.

• 판별식 조건: $k > \frac{19}{4}$
• 그래프 시작점 조건: $k \le 5$

따라서, 두 조건을 종합한 실수 $k$의 값의 범위는 다음과 같습니다.

$$ \frac{19}{4} < k \le 5 $$

🤔 오개념 방지 및 심화 팁

• 유리함수 점근선: $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ 에서 점근선은 $x = -\frac{d}{c}$, $y=\frac{a}{c}$ 입니다. 분모를 0으로 만드는 x값, x계수의 비율! 절대 잊지 마세요.
• 무리함수 정의역: 무리함수 문제를 풀 때 가장 먼저 할 일은 정의역을 확인하는 것입니다. 근호 안은 항상 0 이상! ($ \ge 0 $) 이 조건을 빼먹어서 틀리는 경우가 정말 많습니다.
• 방정식과 함수: '두 그래프의 교점의 x좌표'는 '두 식을 연립한 방정식의 실근'과 같다는 원리는 정말 중요합니다. 유리/무리함수 뿐만 아니라 모든 함수에서 통용되는 핵심 원리입니다.

🎉 마무리하며

오늘 유리함수와 무리함수의 중단원 마무리 문제를 모두 풀어보았습니다. 어떠셨나요? 그래프를 그리고, 점근선이나 시작점을 찾는 과정이 이제는 익숙해졌으면 좋겠습니다. 함수는 '그래프'라는 시각적인 도구를 통해 이해할 때 그 의미가 훨씬 명확해집니다. 귀찮더라도 꼭 손으로 직접 그래프를 그려보는 습관을 들이도록 합시다.

이 단원의 내용은 고2, 고3 때 배우는 미적분에서 함수의 극한, 연속 등을 이해하는 데 기초가 되는 아주 중요한 부분입니다. 지금 단단히 해두면 나중에 정말 큰 도움이 될 것입니다. 다들 정말 수고 많으셨고, 다음 포스팅에서 또 만나겠습니다! 파이팅! 💪