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미래엔 공통수학1 교과서 [인수분해] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학1 교과서 [인수분해] 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 고1 학생 여러분, 수학 공부 열심히 하고 있나요? 오늘은 '인수분해' 소단원의 모든 문제를 함께 풀어보려고 합니다. 인수분해는 다항식의 곱셈을 거꾸로 하는 과정으로, 앞으로 배울 방정식 풀이의 가장 기본이 되는 아주 중요한 기술이에요. 중학교 때 배운 내용을 바탕으로 새로운 공식과 방법들을 배우게 될 텐데, 오늘 저와 함께 교과서 32쪽부터 35쪽까지의 문제를 정복하면서 인수분해의 달인이 되어봅시다! 자, 그럼 시작해볼까요?

[인수분해] 핵심 포인트 짚고 가기

문제를 풀기 전에, 이 단원에서 가장 중요한 핵심 개념들을 다시 한번 정리해볼까요?

  • 인수분해란? 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 말해요. 다항식의 곱셈(전개)의 역과정이라고 생각하면 쉽습니다.
  • 인수분해의 기본: 가장 먼저 할 일은 공통인수로 묶어내는 것입니다. 모든 인수분해의 시작이죠!
  • 새로운 인수분해 공식 (필수 암기!): 고등학교에서 배우는 새로운 공식들이에요. 반드시 암기해야 문제를 빠르고 정확하게 풀 수 있답니다.
    • a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
    • a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
    • a33a2b+3ab2b3=(ab)3
    • a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)
    • a3b3=(ab)(a2+ab+b2)
  • 복잡한 식의 인수분해 전략:
    1. 치환: 공통부분이 보이면 한 문자로 바꾸어 식을 간단하게 만들어요.
    2. 복이차식 (x4+ax2+b 꼴): x2=X로 치환하거나, A2B2 꼴로 변형하여 합차 공식을 이용해요.
    3. 인수정리와 조립제법: 3차 이상의 다항식은 인수정리를 이용해 인수를 찾고( f(α)=0 이면 xα 가 인수!), 조립제법으로 몫을 구하여 인수분해를 완성해요.

교과서 문제 풀이 (p.32 ~ p.35)

p. 32, 예제 1
다음 식을 인수분해 하시오.

(1) x36x2+12x8

(2) a3+8b3

💡 상세 풀이

곱셈 공식을 거꾸로 생각하여 인수분해 공식을 적용하는 문제입니다. 식의 형태를 보고 어떤 공식을 사용해야 할지 빠르게 파악하는 연습이 중요해요.

(1) x36x2+12x8 인수분해

주어진 식의 항들을 살펴보면, x38=(2)3 이 눈에 띄네요. 세제곱 공식 (ab)3=a33a2b+3ab2b3 이 아닐까 의심해 볼 수 있습니다.

a=x, b=2로 생각하고 공식을 확인해 봅시다.

x33x22+3x2223=x36x2+12x8

주어진 식과 정확히 일치하네요! 따라서 인수분해 공식에 따라 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

x36x2+12x8=(x2)3

정답은 (x2)3 입니다.


(2) a3+8b3 인수분해

이 식은 항이 두 개이고 모두 세제곱의 형태인 것을 알 수 있습니다. 8b3=(2b)3 이니까요. 따라서 A3+B3=(A+B)(A2AB+B2) 공식을 이용할 수 있습니다.

A=a, B=2b로 놓고 공식에 대입해 봅시다.

a3+8b3=a3+(2b)3=(a+2b)(a2a(2b)+(2b)2)=(a+2b)(a22ab+4b2)

정답은 (a+2b)(a22ab+4b2) 입니다.

p. 33, 문제 1
다음 식을 인수분해 하시오.

(1) x2+y2+z2+2xy2yz2zx

(2) a3+9a2b+27ab2+27b3

(3) a31

(4) 27x3+y3

💡 상세 풀이

다양한 인수분해 공식을 적용하는 연습 문제입니다. 각 식의 특징을 잘 파악해 보세요.

(1) (a+b+c)2 공식 활용

제곱 항이 3개 있고, 두 문자씩 곱한 항들이 보이니 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 공식을 떠올려야 합니다.
부호를 잘 살펴봅시다. 2yz2zx 항은 음수이고, 2xy 항은 양수네요. 이는 x,y의 부호는 같고, z의 부호가 다르다는 뜻입니다.
따라서 a=x,b=y,c=z로 생각할 수 있습니다.

(x+yz)2=x2+y2+(z)2+2xy+2y(z)+2(z)x=x2+y2+z2+2xy2yz2zx

주어진 식과 일치하므로 정답은 (x+yz)2 입니다.


(2) (a+b)3 공식 활용

a327b3=(3b)3이 보이므로, (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 공식을 확인해 봅시다. A=a,B=3b로 놓습니다.

(a+3b)3=a3+3a2(3b)+3a(3b)2+(3b)3=a3+9a2b+27ab2+27b3

주어진 식과 일치하므로 정답은 (a+3b)3 입니다.


(3) a3b3 공식 활용

a31=a313 이므로, A3B3=(AB)(A2+AB+B2) 공식을 이용합니다. A=a,B=1 입니다.

a313=(a1)(a2+a1+12)=(a1)(a2+a+1)

정답은 (a1)(a2+a+1) 입니다.


(4) a3+b3 공식 활용

27x3+y3=(3x)3+y3 이므로, A3+B3=(A+B)(A2AB+B2) 공식을 이용합니다. A=3x,B=y 입니다.

(3x)3+y3=(3x+y)((3x)2(3x)y+y2)=(3x+y)(9x23xy+y2)

정답은 (3x+y)(9x23xy+y2) 입니다.

p. 33, 예제 2
다음 식을 인수분해 하시오.

(x2+x+1)(x2+x1)8

💡 상세 풀이

복잡해 보이지만 공통부분이 반복되는 식입니다. 이럴 땐 '치환'을 이용하면 식이 아주 간단해져요!

1단계: 공통부분 치환하기

두 괄호 안에 공통으로 x2+x가 들어있네요. X=x2+x로 치환해 봅시다.

(X+1)(X1)8
2단계: 치환한 식 인수분해하기

치환한 식을 전개하고 정리하면 간단한 이차식이 됩니다.

(X+1)(X1)8=(X21)8=X29=(X+3)(X3)

합차 공식 A2B2=(A+B)(AB)를 이용했어요.

3단계: 원래의 식으로 되돌리기

인수분해가 끝났으니, 다시 X 자리에 x2+x를 대입하여 원래의 식으로 돌려놓습니다.

(x2+x+3)(x2+x3)

각 괄호 안의 이차식이 더 이상 인수분해되지 않으므로, 이것이 최종 답입니다.

정답은 (x2+x+3)(x2+x3) 입니다.

p. 33, 문제 2
다음 식을 인수분해 하시오.

(1) (x2+3x)(x2+3x1)6

(2) (a+b)2+6(a+b)+5

💡 상세 풀이

치환을 이용하는 연습 문제입니다. 공통부분을 잘 찾아보세요.

(1) (x2+3x)(x2+3x1)6 인수분해

x2+3x가 공통부분이므로 X=x2+3x로 치환합니다.

X(X1)6=X2X6=(X3)(X+2)

이제 X를 다시 x2+3x로 되돌립니다.

(x2+3x3)(x2+3x+2)

여기서 끝내면 안 돼요! 각 괄호가 더 인수분해되는지 꼭 확인해야 합니다.

x2+3x+2(x+1)(x+2)로 더 인수분해되네요.

(x+1)(x+2)(x2+3x3)

정답은 (x+1)(x+2)(x2+3x3) 입니다.


(2) (a+b)2+6(a+b)+5 인수분해

a+b가 공통부분이므로 X=a+b로 치환합니다.

X2+6X+5=(X+1)(X+5)

X를 다시 a+b로 되돌립니다.

(a+b+1)(a+b+5)

정답은 (a+b+1)(a+b+5) 입니다.

p. 34, 예제 3
다음 식을 인수분해 하시오.

(1) x43x24

(2) x4+x2+1

💡 상세 풀이

x4,x2, 상수항으로 이루어진 '복이차식'의 인수분해입니다. 두 가지 유형이 있으니 잘 비교해 보세요.

(1) x2=X로 치환하는 유형

x2=X로 치환하면 간단한 이차식이 됩니다.

x43x24=X23X4=(X4)(X+1)

이제 X를 다시 x2로 되돌리고, 더 인수분해될 때까지 계속합니다.

(x24)(x2+1)=(x+2)(x2)(x2+1)

정답은 (x+2)(x2)(x2+1) 입니다.


(2) A2B2 꼴로 변형하는 유형

x2=X로 치환하면 X2+X+1이 되어 인수분해가 되지 않습니다. 이럴 때는 식을 변형하여 A2B2 꼴을 만들어야 합니다.

x4+1을 보고 완전제곱식을 만들기 위해 가운데 항을 2x2으로 만들어 줍니다. 식이 변하지 않도록 뒤에서 x2을 빼주는 것이 핵심입니다.

x4+x2+1=(x4+2x2+1)x2=(x2+1)2x2

이제 합차 공식 A2B2=(A+B)(AB)를 이용할 수 있습니다. 여기서 A=x2+1,B=x 입니다.

(x2+1x)(x2+1+x)=(x2x+1)(x2+x+1)

내림차순으로 정리하면 정답은 (x2x+1)(x2+x+1) 입니다.

p. 34, 문제 3
다음 식을 인수분해 하시오.

(1) x413x2+36

(2) x4+2x2+9

💡 상세 풀이

복이차식 인수분해 연습 문제입니다. 두 가지 유형을 모두 연습해 봅시다.

(1) x413x2+36 인수분해

x2=X로 치환하면 인수분해가 되는 유형입니다.

X213X+36=(X4)(X9)

Xx2으로 되돌리고, 끝까지 인수분해합니다.

(x24)(x29)=(x+2)(x2)(x+3)(x3)

정답은 (x+2)(x2)(x+3)(x3) 입니다.


(2) x4+2x2+9 인수분해

x2=X로 치환하면 X2+2X+9는 인수분해가 되지 않네요. A2B2 꼴로 변형해야 합니다.

x4+9를 보고 완전제곱식 (x2+3)2=x4+6x2+9를 만듭니다. 원래 식의 가운데 항이 2x2이었으므로, 4x2을 빼주면 됩니다.

x4+2x2+9=(x4+6x2+9)4x2=(x2+3)2(2x)2

합차 공식을 이용합니다. A=x2+3,B=2x 입니다.

(x2+32x)(x2+3+2x)=(x22x+3)(x2+2x+3)

정답은 (x22x+3)(x2+2x+3) 입니다.

p. 34, 예제 4
다항식 x33x+2를 인수분해 하시오.
💡 상세 풀이

3차 다항식이므로 인수정리와 조립제법을 이용해야 합니다.

1단계: 인수정리로 인수 찾기

f(x)=x33x+2라고 할 때, f(α)=0이 되는 α를 찾아야 합니다. α의 후보는 상수항 2의 약수인 ±1,±2 입니다.

  • f(1)=133(1)+2=13+2=0

f(1)=0 이므로, f(x)(x1)을 인수로 가집니다.

2단계: 조립제법으로 몫 구하기

(x1)로 나누었을 때의 몫을 조립제법으로 구합니다. x2항의 계수가 0임을 주의하세요!

1
10-32
11-2
11-20

몫은 x2+x2이고 나머지는 0입니다.

3단계: 최종 인수분해

이제 식을 정리하고, 몫을 더 인수분해합니다.

x33x+2=(x1)(x2+x2)=(x1)(x+2)(x1)=(x1)2(x+2)

정답은 (x1)2(x+2) 입니다.

p. 35, 문제 4
다음 식을 인수분해 하시오.

(1) x37x+6

(2) x4+2x35x22x+4

💡 상세 풀이

인수정리와 조립제법을 이용하는 3차, 4차 다항식의 인수분해입니다.

(1) x37x+6 인수분해

f(x)=x37x+6으로 놓고, f(α)=0이 되는 α를 찾습니다. (상수항 6의 약수: ±1,±2,±3,±6)

f(1)=17+6=0. 따라서 (x1)이 인수입니다. 조립제법을 사용합시다.

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10-76
11-6
11-60
x37x+6=(x1)(x2+x6)=(x1)(x+3)(x2)

정답은 (x1)(x2)(x+3) 입니다.


(2) x4+2x35x22x+4 인수분해

f(x)=x4+2x35x22x+4로 놓고 f(α)=0을 찾습니다. (상수항 4의 약수: ±1,±2,±4)

f(1)=1+252+4=0. 따라서 (x1)이 인수입니다. 먼저 조립제법을 한 번 사용합니다.

1
12-5-24
13-2-4
13-2-40

이제 몫인 g(x)=x3+3x22x4를 인수분해해야 합니다. g(1)=1+3+24=0 이네요! (x+1)이 인수입니다.
앗, 계산 실수! g(1)=1+3+24=0이 아니라 g(1)=1+3+24=0 입니다. 제가 계산을 잘못했군요. 다시 확인해보겠습니다.
f(1)=125+2+4=0 이므로 (x+1)도 원래 식의 인수입니다. 따라서 몫인 g(x)=x3+3x22x4(x+1)을 인수로 가질 수 없습니다.
f(x)(x1)(x+1)=x21로 직접 나누어 보겠습니다.
(x4+2x35x22x+4)÷(x21)을 계산하면 몫은 x2+2x4입니다.

실수하기 쉬운 부분이죠? 인수를 찾을 때는 원래 식 f(x)에 대입해서 찾는 것이 더 안전합니다. f(1)=0, f(1)=0이므로 (x1)(x+1)을 모두 인수로 가집니다.

x4+2x35x22x+4=(x21)(x2+2x4)=(x1)(x+1)(x2+2x4)

x2+2x4는 더 이상 인수분해되지 않으므로, 이것이 최종 답입니다.

정답은 (x1)(x+1)(x2+2x4) 입니다.

p. 35, 문제 5
다항식 f(x)=x4+ax3+3x2+4x+2x+1을 인수로 가질 때, 상수 a의 값을 구하고, f(x)를 인수분해 하시오.
💡 상세 풀이

인수정리를 이용하여 미지수를 구하고, 그 다음 인수분해를 하는 문제입니다.

1단계: 상수 a의 값 구하기

f(x)x+1을 인수로 가진다는 것은 인수정리에 의해 f(1)=0이라는 의미입니다.

f(1)=(1)4+a(1)3+3(1)2+4(1)+2=1a+34+2=2a

f(1)=0 이므로 2a=0 입니다. 따라서 a=2 입니다.

2단계: f(x) 인수분해하기

a=2를 대입하면 f(x)=x4+2x3+3x2+4x+2 입니다. (x+1)을 인수로 가지므로 조립제법을 이용해 몫을 구합니다.

-1
12342
-1-1-2-2
11220

따라서 f(x)=(x+1)(x3+x2+2x+2) 입니다. 이제 괄호 안의 3차식을 인수분해해야 합니다. 공통인수로 묶어봅시다.

x3+x2+2x+2=x2(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x2+2)

최종적으로 f(x)를 정리하면 다음과 같습니다.

f(x)=(x+1)(x+1)(x2+2)=(x+1)2(x2+2)

정답은 a=2, f(x)=(x+1)2(x2+2) 입니다.

p. 35, 생각 넓히기
인수분해를 이용하여 999313×999+12999×10024의 값을 구하려고 한다.

활동 1 두 다항식 x313x+12x(x+3)4를 인수분해 해 보자.

활동 2 활동 1을 이용하여 999313×999+12999×10024의 값을 구해 보자.

💡 상세 풀이

복잡한 수의 계산을 문자를 이용한 인수분해로 간단하게 만드는 문제입니다. 999=x로 치환하는 아이디어가 핵심입니다.

활동 1: 다항식 인수분해하기

분자 인수분해: f(x)=x313x+12로 놓고 f(1)=113+12=0이므로 (x1)을 인수로 가집니다. 조립제법을 이용합니다.

1
10-1312
11-12
11-120

f(x)=(x1)(x2+x12)=(x1)(x+4)(x3)

분모 인수분해: x(x+3)4=x2+3x4=(x+4)(x1)

활동 2: 식의 값 구하기

x=999로 놓으면, 주어진 식은 x313x+12x(x+3)4의 형태가 됩니다. (분모의 1002999+3이므로 x(x+3)4와 같습니다.)

활동 1의 인수분해 결과를 이용하여 식을 간단히 합니다.

(x1)(x+4)(x3)(x+4)(x1)

(x1)(x+4)가 약분되므로, 식은 x3만 남습니다.

이제 x=999를 대입하면,

9993=996

정답은 996 입니다.

개념 확장 및 연관성

인수분해는 단순히 식을 곱의 형태로 바꾸는 것을 넘어, 수학의 여러 중요한 문제들을 해결하는 열쇠가 됩니다.

  • 방정식의 해 찾기: 인수분해의 가장 대표적인 활용이죠. f(x)=0 이라는 방정식을 풀 때, f(x)(xa)(xb)... 형태로 인수분해하면 해가 x=a,x=b,... 임을 바로 알 수 있습니다. 3차, 4차 방정식 풀이의 기본입니다.
  • 유리식과 무리식의 계산: 분수 형태의 다항식(유리식)을 약분하거나 통분할 때, 분자와 분모를 인수분해하면 계산이 훨씬 간단해집니다.
  • 함수의 그래프 분석: 함수의 식을 인수분해하면 그래프가 x축과 만나는 점(근)을 쉽게 찾을 수 있어, 그래프의 개형을 파악하는 데 큰 도움이 됩니다.

오개념 방지 및 심화 팁

인수분해를 할 때 학생들이 자주 하는 실수와 실력을 높이는 팁을 알려드릴게요!

  • 완전한 인수분해: 인수분해를 한 번 하고 나서, 괄호 안의 식이 더 인수분해되지 않는지 반드시 확인하는 습관을 들이세요. 예를 들어 (x24)(x29)에서 멈추면 안 되고, (x2)(x+2)(x3)(x+3)까지 끝까지 해야 합니다.
  • 부호 실수 조심: 세제곱 공식 등에서 부호를 헷갈리는 경우가 많아요. (ab)3a3b3의 공식을 정확히 구분해서 암기해야 합니다.
  • 인수정리 후보 찾기: 3차 이상 다항식 f(x)에서 f(α)=0이 되는 α를 찾을 때, 무작정 대입하지 마세요. α는 보통 (상수항의 약수)(최고차항 계수의 약수) 중에서 나온답니다. 이 범위를 알면 훨씬 효율적으로 인수를 찾을 수 있어요.

마무리하며

자, 이렇게 '인수분해' 소단원의 모든 문제를 풀어보았습니다. 곱셈 공식을 외우고, 치환, 복이차식, 인수정리 등 다양한 전략을 적용하는 연습이 필요하죠? 인수분해는 앞으로 여러분이 수학을 공부하는 내내 사용하게 될 강력한 도구입니다. 능숙하게 다룰 수 있도록 오늘 풀었던 문제들을 다시 한번 복습하고, 비슷한 유형의 문제들도 많이 풀어보시길 바랍니다.

수학은 꾸준함이 가장 중요합니다. 오늘 배운 내용이 다음 학습의 튼튼한 발판이 될 거예요. 다음 시간에는 오늘 배운 인수분해를 활용하여 다양한 방정식을 푸는 방법을 알아보겠습니다. 모두 수고 많으셨습니다!

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