미래엔 공통수학1 교과서 [나머지정리와 인수분해] 중단원 마무리 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학1 교과서 [나머지정리와 인수분해] 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 고1 학생 여러분, 수학 공부 열심히 하고 있나요? 다항식의 연산에 이어, 고등 수학의 꽃이라고 할 수 있는 '나머지정리와 인수분해' 단원을 함께 정복해볼 시간입니다. 이 단원은 앞으로 배울 방정식, 함수 등 모든 영역에서 기본적으로 사용되는 매우 중요한 개념들이니, 확실하게 이해하고 넘어가야 해요. 오늘은 미래엔 공통수학 교과서 36쪽부터 37쪽에 있는 중단원 마무리 문제를 꼼꼼하게 풀어보며 개념을 다져봅시다!

[나머지정리와 인수분해] 핵심 포인트 짚고 가기

본격적인 문제 풀이에 앞서, 이 단원의 핵심 개념들을 다시 한번 정리해볼까요?

• 항등식: 식에 포함된 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식이에요. 정해지지 않은 계수를 구하는 미정계수법에는 계수비교법과 수치대입법이 있다는 것, 꼭 기억하세요!
• 나머지정리: 다항식 $f(x)$를 일차식 $x-a$로 나누었을 때, 나머지를 직접 나누지 않고도 $f(a)$라는 함숫값으로 간단히 구할 수 있게 해주는 마법 같은 정리입니다.
• 인수정리: 나머지정리의 특별한 경우로, 나머지가 0일 때를 의미해요. 즉, $f(a)=0$이면 다항식 $f(x)$는 $x-a$를 인수로 갖는다는 뜻이죠. 고차식의 인수분해에 필수적으로 사용됩니다.
• 조립제법: 다항식을 일차식으로 나눌 때, 계수만을 이용하여 몫과 나머지를 빠르고 간편하게 구하는 방법입니다.
• 인수분해: 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 과정이죠. 곱셈 공식을 거꾸로 생각하는 것이 기본이며, 치환, 복이차식 풀이, 인수정리 이용 등 다양한 기술을 익혀야 합니다.

교과서 문제 풀이 (p.36 ~ p.37)

p. 36, 01번

다음 등식이 $x$에 대한 항등식이 되도록 상수 $a, b, c$의 값을 정하시오.

(1) $(a-2b)x^2 + (a-3)x + (c-1) = 0$

(2) $x^2 + 2x - 4 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$

💡 상세 풀이

'항등식'은 $x$에 어떤 수를 넣어도 항상 참이 되는 등식이에요. 이런 항등식의 성질을 이용해서 모르는 계수(미정계수)를 구하는 방법은 크게 두 가지가 있습니다.

(1) 계수비교법 이용하기

주어진 등식 $(a-2b)x^2 + (a-3)x + (c-1) = 0$이 $x$에 대한 항등식이 되려면, 모든 차수의 계수가 0이 되어야 합니다. 우변이 0이니까요!

• $x^2$의 계수: $a-2b = 0$
• $x$의 계수: $a-3 = 0$
• 상수항: $c-1 = 0$

위의 세 식을 연립해서 풀면 됩니다.

$a-3=0$에서 $a=3$

$a=3$을 $a-2b=0$에 대입하면 $3-2b=0$이므로 $b=\frac{3}{2}$

$c-1=0$에서 $c=1$

(2) 수치대입법과 계수비교법 활용하기

주어진 등식 $x^2 + 2x - 4 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$는 양변을 모두 전개해서 계수를 비교하는 '계수비교법'으로도 풀 수 있지만, $(x+1)$이라는 공통된 인수가 보이므로 적절한 수를 대입하는 '수치대입법'이 훨씬 편리합니다.

식을 0으로 만드는 값을 대입하는 것이 수치대입법의 핵심 꿀팁!

1단계: $x=-1$ 대입하기 (우변의 a, b항을 사라지게 만들 수 있어요)

$(-1)^2 + 2(-1) - 4 = a(-1+1)^2 + b(-1+1) + c$

$1 - 2 - 4 = a(0) + b(0) + c \quad \Rightarrow \quad c = -5$

2단계: $x=0$ 대입하기 (계산이 가장 간단한 값이죠)

$(0)^2 + 2(0) - 4 = a(0+1)^2 + b(0+1) + c$

$-4 = a + b + c$

$c=-5$를 대입하면 $-4 = a+b-5$, 즉 $a+b=1$ 이라는 관계식을 얻습니다.

3단계: 계수비교법으로 마무리

이제 최고차항인 $x^2$의 계수만 비교해봅시다. 좌변의 $x^2$ 계수는 1이고, 우변에서 $x^2$ 항은 $a(x+1)^2$에서만 나오므로 $a$입니다. 따라서 $a=1$ 입니다.

$a=1$을 2단계에서 얻은 $a+b=1$에 대입하면 $1+b=1$, 즉 $b=0$ 입니다.

최종적으로 $a=1, b=0, c=-5$ 입니다.

p. 36, 02번

다항식 $f(x) = x^3 - x^2 + 3x - 4$를 다음 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

(1) $x-2$

(2) $2x+1$

💡 상세 풀이

이 문제는 '나머지정리'를 이용하면 아주 간단하게 풀 수 있어요. 다항식 $f(x)$를 일차식 $x-a$로 나눈 나머지는 $f(a)$와 같다는 것, 기억하시죠?

(1) $x-2$로 나눈 나머지

나머지정리에 의해, 구하는 나머지는 $f(2)$와 같습니다.

$\begin{align*} f(2) &= (2)^3 - (2)^2 + 3(2) - 4 \\ &= 8 - 4 + 6 - 4 \\ &= 6 \end{align*}$

따라서 나머지는 6 입니다.

(2) $2x+1$로 나눈 나머지

마찬가지로 나머지정리를 이용합니다. 나누는 식 $2x+1$을 0으로 만드는 $x$값은 $x = -\frac{1}{2}$ 입니다. 따라서 구하는 나머지는 $f(-\frac{1}{2})$와 같습니다.

$\begin{align*} f(-\frac{1}{2}) &= (-\frac{1}{2})^3 - (-\frac{1}{2})^2 + 3(-\frac{1}{2}) - 4 \\ &= -\frac{1}{8} - \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 4 \\ &= -\frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{12}{8} - \frac{32}{8} \\ &= -\frac{47}{8} \end{align*}$

따라서 나머지는 $-\frac{47}{8}$ 입니다.

p. 36, 03번

다항식 $f(x)=x^3 + 2x^2 - 3x + a$가 $x+2$로 나누어떨어질 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

💡 상세 풀이

'나누어떨어진다'는 것은 '나머지가 0이다'라는 말과 같아요. 이 문제는 인수정리를 이용하는 대표적인 문제입니다. 인수정리는 나머지정리에서 나머지가 0인 특별한 경우죠.

다항식 $f(x)$가 $x+2$로 나누어떨어지므로, 인수정리에 의해 $f(-2)=0$이 성립해야 합니다.

$f(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 3(-2) + a = 0$

계산을 해보면,

$-8 + 2(4) + 6 + a = 0$

$-8 + 8 + 6 + a = 0$

$6 + a = 0$

따라서 $a = -6$ 입니다.

p. 36, 04번

다음 식을 인수분해 하시오.

(1) $x^2+4y^2+z^2-4xy-4yz+2zx$

(2) $27x^3 - 64y^3$

(3) $(x^2-x)^2-(x^2-x)-2$

(4) $x^3+2x^2-13x+10$

💡 상세 풀이

다양한 형태의 인수분해 문제네요. 공식을 적용하고, 치환을 이용하고, 인수정리를 활용하는 종합선물세트 같은 문제입니다!

(1) 항이 여러 개인 식의 인수분해

항이 6개이고 제곱항이 3개인 것을 보니, 곱셈 공식 $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$를 떠올려야 합니다. 부호를 잘 살펴서 $a, b, c$를 찾아봅시다.

• $x^2 \Rightarrow a=x$
• $4y^2 = (2y)^2 \text{ 또는 } (-2y)^2$
• $z^2$

$-4xy$ 와 $-4yz$ 항을 보면, $x, y$ 항과 $y, z$ 항의 곱이 음수네요. $y$에만 음수 부호를 붙이면 어떨까요? $a=x, b=-2y, c=z$로 설정해봅시다.

• $2ab = 2(x)(-2y) = -4xy$ (일치!)
• $2bc = 2(-2y)(z) = -4yz$ (일치!)
• $2ca = 2(z)(x) = 2zx$ (일치!)

모든 항이 일치하므로, 인수분해 결과는 다음과 같습니다.

$(x-2y+z)^2$

정답은 $(x-2y+z)^2$ 입니다.

(2) 세제곱의 차 공식 이용하기

이 식은 $A^3-B^3$ 형태입니다. $A=3x$, $B=4y$로 볼 수 있죠. 인수분해 공식 $A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$을 적용합니다.

$\begin{align*} 27x^3 - 64y^3 &= (3x)^3 - (4y)^3 \\ &= (3x-4y)((3x)^2 + (3x)(4y) + (4y)^2) \\ &= (3x-4y)(9x^2+12xy+16y^2) \end{align*}$

정답은 $(3x-4y)(9x^2+12xy+16y^2)$ 입니다.

(3) 공통부분 치환하기

공통부분 $x^2-x$가 보이네요. $X = x^2-x$로 치환하여 식을 간단히 만듭시다.

$(x^2-x)^2-(x^2-x)-2 = X^2 - X - 2$

이 이차식은 쉽게 인수분해됩니다.

$X^2 - X - 2 = (X-2)(X+1)$

이제 원래의 식 $x^2-x$를 $X$자리에 다시 대입합니다.

$(x^2-x-2)(x^2-x+1)$

여기서 끝내면 안 돼요! 인수분해는 더 이상 분해되지 않을 때까지 하는 것이 원칙입니다.

앞의 괄호 $(x^2-x-2)$는 $(x-2)(x+1)$로 추가 인수분해가 가능합니다. 뒤의 괄호 $(x^2-x+1)$은 더 이상 인수분해되지 않습니다.

따라서 최종 정답은 $(x-2)(x+1)(x^2-x+1)$ 입니다.

(4) 인수정리와 조립제법 이용하기

삼차식 $f(x) = x^3+2x^2-13x+10$을 인수분해 해봅시다. 인수정리를 이용해 $f(a)=0$이 되는 $a$를 찾아야 합니다. $a$는 상수항 10의 약수, 즉 $\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$ 중에 있을 가능성이 높습니다.

$x=1$을 대입해봅시다: $f(1) = 1+2-13+10 = 0$. 찾았네요! $f(1)=0$이므로 $(x-1)$을 인수로 가집니다.

이제 조립제법을 이용해 몫을 구합시다.

1	1	2	-13	10
		1	3	-10
	1	3	-10	0

몫은 $x^2+3x-10$입니다. 이 이차식은 $(x+5)(x-2)$로 인수분해됩니다.

따라서 최종 인수분해 결과는 다음과 같습니다.

$x^3+2x^2-13x+10 = (x-1)(x^2+3x-10) = (x-1)(x-2)(x+5)$

정답은 $(x-1)(x-2)(x+5)$ 입니다.

p. 37, 05번

등식 $x^3+6x^2-3x+5 = x(x+1)^2+a(x-1)^2+b(x-1)+c$ 가 $x$에 대한 항등식이 되도록 상수 $a, b, c$의 값을 정할 때, $abc$의 값을 구하시오.

💡 상세 풀이

이 문제 역시 항등식 문제입니다. 양변을 모두 전개해서 계수를 비교하기에는 너무 복잡하죠? 이럴 땐 '수치대입법'이 정답입니다. 특히 $(x-1)$ 이라는 인수가 반복해서 보이니 $x=1$을 대입하면 아주 유용하겠네요.

1단계: $x=1$ 대입하기

우변의 $a$와 $b$가 포함된 항을 0으로 만들어 $c$를 쉽게 구할 수 있습니다.

$(1)^3+6(1)^2-3(1)+5 = 1(1+1)^2+a(1-1)^2+b(1-1)+c$

$1+6-3+5 = 1(2)^2 + a(0) + b(0) + c$

$9 = 4 + c \quad \Rightarrow \quad c=5$

2단계: $x=0$ 대입하기

계산이 간단한 $x=0$을 대입하여 $a, b, c$ 사이의 관계식을 찾아봅시다.

$(0)^3+6(0)^2-3(0)+5 = 0(0+1)^2+a(0-1)^2+b(0-1)+c$

$5 = 0 + a(-1)^2 + b(-1) + c \quad \Rightarrow \quad 5 = a-b+c$

위에서 구한 $c=5$를 대입하면 $5=a-b+5$, 즉 $a-b=0$이므로 $a=b$라는 중요한 사실을 알 수 있습니다.

3단계: $x=-1$ 대입하기

이번에는 $x(x+1)^2$ 항을 0으로 만드는 $x=-1$을 대입해 봅시다.

$(-1)^3+6(-1)^2-3(-1)+5 = -1(-1+1)^2+a(-1-1)^2+b(-1-1)+c$

$-1+6+3+5 = 0 + a(-2)^2 + b(-2) + c$

$13 = 4a - 2b + c$

이제 $c=5$와 $a=b$를 이 식에 대입하여 $a$와 $b$를 구합니다.

$13 = 4a - 2a + 5 \quad \Rightarrow \quad 8 = 2a \quad \Rightarrow \quad a=4$

$a=b$이므로 $b=4$입니다. 따라서 $a=4, b=4, c=5$ 입니다.

문제에서 요구하는 $abc$의 값은 $4 \times 4 \times 5 = 80$ 입니다.

정답은 80 입니다.

p. 37, 06번 (서술형)

다항식 $f(x)$를 $x+1$로 나누었을 때의 나머지는 3이고, $2x-1$로 나누었을 때의 나머지는 $\frac{3}{2}$이다. $f(x)$를 $2x^2+x-1$로 나누었을 때의 나머지를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

💡 상세 풀이

이 문제는 나머지정리를 종합적으로 활용하는 서술형 문제입니다. 단계별로 차근차근 해결해 봅시다.

1단계: 문제의 조건을 나머지정리로 표현하기

• $f(x)$를 $x+1$로 나눈 나머지가 3이다. $\Rightarrow f(-1) = 3$
• $f(x)$를 $2x-1$로 나눈 나머지가 $\frac{3}{2}$이다. $\Rightarrow f(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

2단계: 구하고자 하는 바를 식으로 세우기

우리는 $f(x)$를 $2x^2+x-1$로 나누었을 때의 나머지를 구하고 싶습니다. 나누는 식이 2차식이므로, 나머지는 최대 1차식 또는 상수일 수 있습니다. 따라서 나머지를 $ax+b$라고 놓을 수 있습니다. (단, $a, b$는 상수)

나눗셈의 관계식으로 표현하면 다음과 같습니다. (몫은 $Q(x)$)

$f(x) = (2x^2+x-1)Q(x) + ax+b$

나누는 식 $2x^2+x-1$을 인수분해하면 $(2x-1)(x+1)$ 입니다. 따라서 식을 다시 쓸 수 있습니다.

$f(x) = (2x-1)(x+1)Q(x) + ax+b$

3단계: 미정계수 $a, b$ 구하기

2단계에서 세운 항등식에 1단계에서 얻은 함숫값들을 대입하여 $a$와 $b$를 찾습니다.

$x=-1$ 대입:

$f(-1) = (0)Q(-1) + a(-1) + b = -a+b$

$f(-1)=3$ 이므로, $-a+b=3 \cdots ①$

$x=\frac{1}{2}$ 대입:

$f(\frac{1}{2}) = (0)Q(\frac{1}{2}) + a(\frac{1}{2}) + b = \frac{1}{2}a+b$

$f(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$ 이므로, $\frac{1}{2}a+b=\frac{3}{2} \cdots ②$

이제 ①과 ②를 연립하여 $a$와 $b$를 구합니다. ①에서 ②를 빼면,

$(-a - \frac{1}{2}a) + (b-b) = 3 - \frac{3}{2}$

$-\frac{3}{2}a = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad a=-1$

$a=-1$을 ①에 대입하면 $-(-1)+b=3 \Rightarrow 1+b=3 \Rightarrow b=2$ 입니다.

따라서 구하는 나머지는 $ax+b$ 이므로 $-x+2$ 입니다.

정답은 $-x+2$ 입니다.

p. 37, 07번

다항식 $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+k$가 $x$에 대한 최고차항의 계수가 1인 이차식의 제곱으로 인수분해될 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

💡 상세 풀이

이 문제는 공통부분을 만들어 치환을 이용하는 문제입니다. 네 개의 일차식의 곱이 나올 때 자주 사용하는 전략이죠!

1단계: 공통부분이 생기도록 식을 재배열하고 전개하기

상수항의 합이 같아지도록 두 개씩 짝을 지어 전개하면 $x$의 일차항까지 같아지는 공통부분이 생깁니다.

$(1+7) = 8$, $(3+5) = 8$ 이므로, $(x+1)$과 $(x+7)$, 그리고 $(x+3)$과 $(x+5)$를 짝지어 줍니다.

$\left\{(x+1)(x+7)\right\}\left\{(x+3)(x+5)\right\} + k$

각각 전개하면,

$(x^2+8x+7)(x^2+8x+15) + k$

2단계: 치환하여 전개하기

공통부분 $x^2+8x$를 $X$로 치환합시다.

$(X+7)(X+15) + k$

이 식을 전개하면,

$X^2 + 22X + 105 + k$

3단계: 완전제곱식 조건 이용하기

문제에서 주어진 식이 "이차식의 제곱", 즉 완전제곱식 꼴이 되어야 한다고 했습니다. 우리가 치환한 $X$가 $x$에 대한 이차식이므로, $X^2 + 22X + 105 + k$ 가 $X$에 대한 완전제곱식이 되면 됩니다.

완전제곱식이 되기 위한 조건은 '(일차항 계수의 절반)의 제곱 = 상수항' 입니다.

$(\frac{22}{2})^2 = 11^2 = 121$

따라서 상수항이 121이 되어야 합니다.

$105 + k = 121$

$k = 121 - 105 = 16$

정답은 16 입니다.

p. 37, 08번

다항식 $f(x)=2x^3+3x^2-ax-1$이 $2x+1$로 나누어떨어질 때 상수 $a$의 값을 구하고 $f(x)$를 인수분해 하시오.

💡 상세 풀이

인수정리를 이용하여 상수 $a$의 값을 먼저 구하고, 그 다음 조립제법으로 인수분해를 하는 순서로 풀겠습니다.

1단계: 인수정리를 이용하여 $a$의 값 구하기

다항식 $f(x)$가 $2x+1$로 나누어떨어지므로, 인수정리에 의해 $f(-\frac{1}{2})=0$이 성립해야 합니다.

$f(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2 - a(-\frac{1}{2}) - 1 = 0$

식을 계산하면,

$2(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) + \frac{a}{2} - 1 = 0$

$-\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \frac{a}{2} - 1 = 0$

$\frac{2}{4} + \frac{a}{2} - 1 = 0$

$\frac{1}{2} + \frac{a}{2} - 1 = 0$

양변에 2를 곱하면 $1+a-2=0$, 즉 $a-1=0$ 입니다.

따라서 상수 $a$의 값은 1입니다.

2단계: 조립제법을 이용하여 $f(x)$ 인수분해하기

$a=1$이므로 $f(x) = 2x^3+3x^2-x-1$입니다. 이 다항식을 인수인 $(2x+1)$로 나누기 위해, $x = -\frac{1}{2}$을 이용하여 조립제법을 사용합시다.

$-\frac{1}{2}$	2	3	-1	-1
		-1	-1	1
	2	2	-2	0

조립제법 결과, $f(x)$는 다음과 같이 표현됩니다.

$f(x) = (x+\frac{1}{2})(2x^2+2x-2)$

우리가 원하는 인수 $(2x+1)$을 만들기 위해 뒤의 괄호에서 2를 묶어내어 앞의 괄호에 곱해줍니다.

$\begin{align*} f(x) &= (x+\frac{1}{2}) \cdot 2(x^2+x-1) \\ &= 2(x+\frac{1}{2}) \cdot (x^2+x-1) \\ &= (2x+1)(x^2+x-1) \end{align*}$

이차식 $x^2+x-1$은 더 이상 정수 범위에서 인수분해되지 않으므로, 이것이 최종 결과입니다.

따라서 $f(x)$의 인수분해 결과는 $(2x+1)(x^2+x-1)$ 입니다.

p. 37, 09번

인수분해를 이용하여 $103^3 - 9 \times 97 \times 103 - 27 \times 103$의 값을 구하시오.

💡 상세 풀이

복잡한 수의 계산은 문자를 이용해 식을 먼저 간단히 한 후 계산하면 편리합니다. 이 문제의 구조를 잘 살펴봅시다.

1단계: 적절한 문자로 치환하여 식 세우기

$103$과 $97$이라는 숫자가 보이네요. 이들의 기준이 되는 수 $100$을 $x$로 놓으면 계산이 편리할 것 같습니다. $x=100$으로 놓으면,

• $103 = x+3$
• $97 = x-3$

주어진 식을 $x$로 표현해 봅시다.

$(x+3)^3 - 9(x-3)(x+3) - 27(x+3)$

2단계: 식을 인수분해하여 간단히 하기

공통인수 $(x+3)$으로 묶어봅시다.

$(x+3) \left\{ (x+3)^2 - 9(x-3) - 27 \right\}$

이제 중괄호 안의 식을 전개하여 정리합니다.

$\begin{align*} & (x+3) \left\{ (x^2+6x+9) - (9x-27) - 27 \right\} \\ = & (x+3) (x^2+6x+9-9x+27-27) \\ = & (x+3) (x^2-3x+9) \end{align*}$

어디서 많이 본 형태 아닌가요? 바로 세제곱의 합 공식, $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ 입니다!

위 식에서 $a=x, b=3$에 해당하므로, 식은 $x^3+3^3$으로 간단해집니다.

$(x+3)(x^2-3x+9) = x^3 + 3^3 = x^3 + 27$

3단계: $x=100$을 대입하여 값 구하기

이제 간단해진 식에 $x=100$을 대입합니다.

$100^3 + 27 = 1,000,000 + 27 = 1,000,027$

정답은 1,000,027 입니다.

p. 37, 10번 (서술형)

자연수 $n$에 대하여 다항식 $x^n(x^2+ax+b)$를 $(x-2)^2$으로 나누었을 때의 나머지가 $2^n(x-2)$일 때, 상수 $a$와 $b$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

💡 상세 풀이

이 문제는 나눗셈의 관계식을 항등식으로 보고, 수치대입법과 미분(고2 과정) 또는 식의 조작을 통해 해결할 수 있는 고난도 문제입니다. 여기서는 식을 조작하는 방법으로 풀어보겠습니다.

1단계: 나눗셈 관계식 세우기

문제의 조건을 항등식으로 표현합시다. 몫을 $Q(x)$라고 하면,

$x^n(x^2+ax+b) = (x-2)^2 Q(x) + 2^n(x-2) \cdots ①$

2단계: 첫 번째 조건 찾기 (수치대입법)

항등식 ①의 양변에 $x=2$를 대입합니다.

$2^n(2^2+a(2)+b) = (2-2)^2 Q(2) + 2^n(2-2)$

$2^n(4+2a+b) = 0 + 0 = 0$

자연수 $n$에 대해 $2^n \neq 0$ 이므로, 양변을 $2^n$으로 나누면 $4+2a+b=0$ 입니다. 이 식을 $b$에 대해 정리하면 $b = -2a-4 \cdots ②$ 입니다.

3단계: 두 번째 조건 찾기 (식 조작 및 인수분해)

②에서 구한 $b=-2a-4$를 $x^2+ax+b$에 대입하여 인수분해해 봅시다.

$\begin{align*} x^2+ax+b &= x^2+ax-2a-4 \\ &= (x^2-4) + (ax-2a) \\ &= (x-2)(x+2) + a(x-2) \\ &= (x-2)(x+a+2) \end{align*}$

이 결과를 항등식 ①의 좌변에 대입합니다.

$x^n(x-2)(x+a+2) = (x-2)^2 Q(x) + 2^n(x-2)$

이 식의 모든 항은 $(x-2)$를 공통인수로 가지고 있습니다. 양변을 $(x-2)$로 나누면 새로운 항등식을 얻을 수 있습니다.

$x^n(x+a+2) = (x-2)Q(x) + 2^n \cdots ③$

이제 항등식 ③의 양변에 다시 $x=2$를 대입합니다.

$2^n(2+a+2) = (2-2)Q(2) + 2^n$

$2^n(a+4) = 2^n$

양변을 $2^n$으로 나누면 $a+4=1$, 따라서 $a=-3$ 입니다.

$a=-3$을 ②에 대입하여 $b$를 구합니다.

$b = -2(-3) - 4 = 6 - 4 = 2$

따라서 $a=-3, b=2$ 입니다.

p. 37, 11번

삼각형의 세 변의 길이 $a, b, c$에 대하여 $a^3 - ab^2 - b^2c + a^2c + c^3 + ac^2 = 0$ 이 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 말하시오.

💡 상세 풀이

문자가 여러 개이고 차수가 높은 복잡한 식을 인수분해할 때는, 차수가 가장 낮은 한 문자에 대해 내림차순으로 정리하는 것이 기본 전략입니다.

1단계: 한 문자에 대해 내림차순으로 정리하기

주어진 식에서 각 문자의 최고차항을 살펴봅시다.

• $a$: 3차 ($a^3$)
• $b$: 2차 ($-ab^2, -b^2c$)
• $c$: 3차 ($c^3$)

차수가 가장 낮은 문자는 $b$이므로, $b$에 대해 내림차순으로 정리하겠습니다.

$a^3 - ab^2 - b^2c + a^2c + c^3 + ac^2 = 0$

$(-a-c)b^2 + (a^3+a^2c+ac^2+c^3) = 0$

2단계: 각 부분을 인수분해하기

괄호로 묶인 각 부분을 인수분해해 봅시다.

• 첫 번째 항: $-(a+c)b^2$
• 두 번째 항: $a^3+a^2c+ac^2+c^3 = a^2(a+c)+c^2(a+c) = (a+c)(a^2+c^2)$

정리된 식에 대입하면 다음과 같습니다.

$-(a+c)b^2 + (a+c)(a^2+c^2) = 0$

3단계: 공통인수로 묶어 최종 인수분해하기

공통인수 $(a+c)$가 보이네요. 묶어줍시다.

$(a+c)(-b^2 + a^2 + c^2) = 0$

4단계: 삼각형의 종류 판단하기

$a, b, c$는 삼각형의 세 변의 길이이므로 모두 양수입니다. 따라서 $a+c > 0$ 이므로 절대 0이 될 수 없습니다.

그러므로 곱해서 0이 되려면 다른 인수인 $(-b^2+a^2+c^2)$가 반드시 0이어야 합니다.

$a^2 + c^2 - b^2 = 0$

이 식을 정리하면,

$a^2 + c^2 = b^2$

이것은 피타고라스 정리입니다! 따라서 이 삼각형은 빗변의 길이가 $b$인 직각삼각형입니다.

정답은 빗변의 길이가 $b$인 직각삼각형 입니다.

개념 확장 및 연관성

오늘 배운 나머지정리와 인수분해는 정말 중요합니다. 왜냐하면 앞으로 배울 거의 모든 수학 단원에서 이 개념들이 활용되기 때문이에요.

• 방정식의 풀이: 3차, 4차 방정식의 해를 구할 때 인수정리와 조립제법은 필수적인 도구입니다. 근을 찾는다는 것은 곧 다항식을 인수분해하는 것과 같습니다.
• 함수의 그래프: 함수의 그래프가 x축과 만나는 점(x절편)을 찾는 것은 방정식의 실근을 구하는 것과 같아요. 인수분해를 통해 x절편을 쉽게 찾을 수 있고, 이는 함수의 그래프를 그리는 데 결정적인 역할을 합니다.
• 미분과 적분 (고2 과정): 다항함수의 도함수를 구하고, 그 도함수가 0이 되는 지점을 찾아 극값을 판별할 때, 결국 방정식 풀이와 인수분해 능력이 요구됩니다.

오개념 방지 및 심화 팁

학생들이 자주 실수하는 부분과 심화 학습 팁을 알려드릴게요!

• 조립제법의 함정: 조립제법은 나누는 식이 $(x-a)$ 꼴일 때만 사용할 수 있다는 점을 잊지 마세요. 만약 $(2x-1)$과 같은 식으로 나눌 때는 조립제법을 쓰고 나서 몫을 2로 한번 더 나누어주어야 한다는 사실! 꼭 기억하세요.
• 인수분해는 끝까지: 문제 4번의 (3)번처럼, 치환 후 인수분해를 하고 나서 원래 식을 대입한 후에 추가로 더 인수분해가 되는지 반드시 확인하는 습관을 들여야 합니다.
• 켤레근의 성질: 계수가 '실수'인 방정식에서 한 허근이 $p+qi$이면, 다른 한 근은 반드시 켤레복소수인 $p-qi$라는 성질은 문제 풀이 시간을 단축시켜주는 매우 강력한 도구입니다. 꼭 기억해두세요.

마무리하며

오늘 '나머지정리와 인수분해' 중단원 마무리 문제를 함께 풀어봤습니다. 항등식의 원리를 이해하고, 나머지정리와 인수정리를 자유자재로 활용하며, 복잡한 식을 인수분해하는 여러 기술들을 익히는 시간이었기를 바랍니다. 이 단원은 논리적 사고력과 계산 능력을 동시에 요구하기 때문에 충분한 연습이 필요합니다.

틀린 문제가 있다면 왜 틀렸는지 반드시 분석하고, 스스로 다시 풀어보세요. 수학은 '왜?'라는 질문을 던지고 스스로 답을 찾는 과정에서 실력이 쑥쑥 자라납니다. 다음 시간에는 방정식과 부등식의 세계로 함께 떠나보겠습니다. 오늘 정말 수고 많으셨습니다!