미래엔 공통수학2 교과서 [함수] 중단원 마무리 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학 교과서 [함수] 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요! 여러분의 수학 실력을 쑥쑥 키워 줄 수학쟁이 선생님입니다. 👨‍🏫

오늘은 공통수학의 핵심 중의 핵심! '함수' 단원의 중단원 마무리 문제를 함께 정복해 볼 시간입니다. 함수는 앞으로 배울 모든 수학의 기초가 되는 정말 중요한 개념이에요. 오늘 저와 함께 문제들을 차근차근 풀어보면서 함수의 개념을 완벽하게 다져봅시다. 준비됐나요? 그럼 바로 시작할게요!

📚 함수 단원 핵심 포인트

본격적인 문제 풀이에 앞서, '함수' 단원에서 절대 놓치면 안 되는 핵심 개념들을 빠르게 짚고 넘어갈게요. 이 부분만 확실히 알아도 문제의 절반은 푼 거나 다름없답니다!

• 함수의 정의: 두 집합 X, Y에 대하여 X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응할 때, 이 대응을 'X에서 Y로의 함수'라고 해요. (X의 원소가 놀면 안 되고, 한 원소가 두 군데로 화살표를 보내서도 안 돼요!)
• 정의역, 공역, 치역: X를 정의역, Y를 공역이라고 해요. 그리고 정의역의 원소에 대응된 공역의 원소들의 집합을 치역이라고 하죠. 치역은 항상 공역의 부분집합이에요. ($치역 \subseteq 공역$)
• 여러 가지 함수:
  • 일대일함수: 정의역의 원소 $x_1, x_2$에 대하여 $x_1 \neq x_2$이면 $f(x_1) \neq f(x_2)$가 성립하는 함수. (다른 X값은 다른 Y값에 대응!)
  • 일대일대응: 일대일함수이면서 치역과 공역이 같은 함수. (공역에 남는 원소가 없어요!)
  • 항등함수: 자기 자신에게 대응하는 함수. ($f(x) = x$)
  • 상수함수: 정의역의 모든 원소가 단 하나의 원소에 대응하는 함수. ($f(x) = c$)
• 합성함수: 두 함수 $f: X \to Y$, $g: Y \to Z$에 대하여 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$로 정의되는 새로운 함수. ($f$를 먼저 타고 $g$를 타요!)
• 역함수: 함수 $f: X \to Y$가 일대일대응일 때만 존재해요! Y에서 X로의 대응이며, $y=f(x) \iff x=f^{-1}(y)$ 관계가 성립해요. 함수 $y=f(x)$와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이랍니다.

🔍 교과서 문제 풀이 (p.118 ~ p.119)

자, 이제 본격적으로 문제를 풀어볼까요? 막히는 부분이 있더라도 좌절하지 말고, 선생님의 풀이를 보면서 차근차근 따라와 보세요. 어느새 함수의 달인이 되어 있을 거예요! 😉

p.118, 01번

두 집합 $X = \{-1, 0, 1\}$, $Y = \{0, 1, 2, 3\}$에 대하여 다음 중 X에서 Y로의 함수인 것을 모두 찾으시오.
(1) $y = x+2$
(2) $y = x^2 - 1$
(3) $y = |x - 1|$
(4) $y = 3|x|$

풀이:

함수가 되기 위한 조건 두 가지! 잊지 않았죠?
1. 정의역 X의 모든 원소가 대응해야 한다.
2. X의 각 원소는 Y의 원소에 오직 하나씩만 대응해야 한다.

정의역 $X = \{-1, 0, 1\}$의 원소들을 각 식에 대입해서 공역 $Y = \{0, 1, 2, 3\}$의 원소에 잘 대응되는지 확인해 봅시다.

(1) $y = x+2$

• $x=-1$일 때, $y = -1+2 = 1$. $1 \in Y$ (OK)
• $x=0$일 때, $y = 0+2 = 2$. $2 \in Y$ (OK)
• $x=1$일 때, $y = 1+2 = 3$. $3 \in Y$ (OK)

정의역의 모든 원소가 공역의 원소에 하나씩 잘 대응되네요. 따라서 (1)은 함수입니다.

(2) $y = x^2 - 1$

• $x=-1$일 때, $y = (-1)^2 - 1 = 0$. $0 \in Y$ (OK)
• $x=0$일 때, $y = 0^2 - 1 = -1$. $-1 \notin Y$ (NG)

$x=0$에 대응하는 함숫값 $-1$이 공역 Y에 포함되지 않으므로, (2)는 함수가 아닙니다.

(3) $y = |x - 1|$

• $x=-1$일 때, $y = |-1 - 1| = |-2| = 2$. $2 \in Y$ (OK)
• $x=0$일 때, $y = |0 - 1| = |-1| = 1$. $1 \in Y$ (OK)
• $x=1$일 때, $y = |1 - 1| = 0$. $0 \in Y$ (OK)

정의역의 모든 원소가 공역의 원소에 하나씩 잘 대응되므로, (3)은 함수입니다.

(4) $y = 3|x|$

• $x=-1$일 때, $y = 3|-1| = 3$. $3 \in Y$ (OK)
• $x=0$일 때, $y = 3|0| = 0$. $0 \in Y$ (OK)
• $x=1$일 때, $y = 3|1| = 3$. $3 \in Y$ (OK)

정의역의 모든 원소가 공역의 원소에 하나씩 잘 대응되므로, (4)는 함수입니다.

정답: (1), (3), (4)

p.118, 02번

다음 보기에서 일대일대응, 항등함수, 상수함수를 찾으시오.

보기
ㄱ. $y=-1$      ㄴ. $y=x$
ㄷ. $y=-4x+1$      ㄹ. $y=2x^2-3$

풀이:

각 함수의 특징을 살펴봅시다. (정의역과 공역은 실수 전체의 집합으로 생각해요!)

• ㄱ. $y=-1$: 정의역의 모든 원소가 $-1$이라는 하나의 값에 대응하므로 상수함수입니다.
• ㄴ. $y=x$: 정의역의 원소 $x$가 자기 자신인 $x$에 대응하므로 항등함수입니다. 항등함수는 일대일대응이기도 하죠!
• ㄷ. $y=-4x+1$: 기울기가 0이 아닌 일차함수이므로 그래프는 직선이죠. 이 직선은 $x$값이 다르면 $y$값도 항상 다르고(일대일함수), 치역이 실수 전체이므로 공역과 같습니다. 따라서 일대일대응입니다.
• ㄹ. $y=2x^2-3$: 이차함수죠. 예를 들어 $x=1$일 때와 $x=-1$일 때 모두 $y = 2(1)^2-3 = -1$로 같은 함숫값을 가집니다. 따라서 일대일함수가 아니므로 일대일대응도 아닙니다.

정답:

• 일대일대응: ㄴ, ㄷ
• 항등함수: ㄴ
• 상수함수: ㄱ

p.118, 03번

두 함수 $f(x)=x-5$, $g(x)=3x^2-4$에 대하여 다음을 구하시오.
(1) $(g \circ f)(3)$
(2) $(g \circ g)(1)$
(3) $(f \circ f)(x)$
(4) $(f \circ g)(x)$

풀이:

합성함수는 괄호 안의 함수부터 차근차근 계산하면 돼요!

(1) $(g \circ f)(3) = g(f(3))$
먼저 $f(3) = 3 - 5 = -2$ 입니다.
이 값을 $g(x)$에 대입하면, $g(-2) = 3(-2)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$ 입니다.
따라서 $(g \circ f)(3) = 8$

(2) $(g \circ g)(1) = g(g(1))$
먼저 $g(1) = 3(1)^2 - 4 = 3 - 4 = -1$ 입니다.
이 값을 다시 $g(x)$에 대입하면, $g(-1) = 3(-1)^2 - 4 = 3(1) - 4 = -1$ 입니다.
따라서 $(g \circ g)(1) = -1$

(3) $(f \circ f)(x) = f(f(x))$
$f(x)$를 다시 $f(x)$의 $x$ 자리에 대입해요.
$f(f(x)) = f(x-5) = (x-5) - 5 = x-10$
따라서 $(f \circ f)(x) = x-10$

(4) $(f \circ g)(x) = f(g(x))$
$g(x)$를 $f(x)$의 $x$ 자리에 대입해요.
$f(g(x)) = f(3x^2-4) = (3x^2-4) - 5 = 3x^2 - 9$
따라서 $(f \circ g)(x) = 3x^2-9$

p.118, 04번

함수 $f(x)=4x+6$에 대하여 다음을 구하시오.
(1) $f^{-1}(2)$
(2) $f^{-1}(x)$

풀이:

(1) $f^{-1}(2)$
역함수의 정의를 이용하는 것이 가장 빨라요. $f^{-1}(2)=k$라고 하면, $f(k)=2$가 성립합니다.
$f(k) = 4k+6 = 2$
$4k = -4$
$k = -1$
따라서 $f^{-1}(2)=-1$ 입니다.

(2) $f^{-1}(x)$
역함수를 직접 구해볼까요?
1. 원래 함수 $y=4x+6$에서 $x$와 $y$를 바꿉니다. $\implies x = 4y+6$
2. 이 식을 $y$에 관하여 풉니다.
$4y = x-6$
$y = \frac{1}{4}x - \frac{6}{4} = \frac{1}{4}x - \frac{3}{2}$
따라서 $f^{-1}(x) = \frac{1}{4}x - \frac{3}{2}$ 입니다.

p.118, 05번

정의역이 $\{1, 2\}$인 두 함수 $f(x)=x+a$, $g(x)=x^2+bx+1$에 대하여 $f=g$가 성립할 때, 상수 a와 b의 값을 구하시오.

풀이:

두 함수 $f$와 $g$가 서로 같으려면, 주어진 정의역의 모든 원소에 대해 함숫값이 같아야 합니다.

즉, $f(1)=g(1)$ 이고 $f(2)=g(2)$ 여야 합니다.

1. $f(1)=g(1)$ 에서

$$ f(1) = 1+a $$

$$ g(1) = 1^2+b(1)+1 = 2+b $$

$$ \therefore 1+a = 2+b \implies a-b=1 \quad \cdots ① $$

2. $f(2)=g(2)$ 에서

$$ f(2) = 2+a $$

$$ g(2) = 2^2+b(2)+1 = 5+2b $$

$$ \therefore 2+a = 5+2b \implies a-2b=3 \quad \cdots ② $$

이제 두 식 ①과 ②를 연립하여 풀면 됩니다.
① - ② 를 하면, $(a-b)-(a-2b) = 1-3$
$b = -2$
이 값을 ①에 대입하면, $a - (-2) = 1 \implies a+2=1 \implies a=-1$

정답: $a=-1, b=-2$

p.118, 06번

두 함수

$$ f(x)=\begin{cases}x+1 & (x \ge 2) \\ 2x-1 & (x < 2)\end{cases}, \quad g(x)=x^2-3x $$

에 대하여 $(f \circ g)(-2)$의 값을 구하시오.

풀이:

$(f \circ g)(-2) = f(g(-2))$ 이므로, 먼저 $g(-2)$의 값을 구해야 합니다.

1. $g(-2)$ 계산하기

$$ g(-2) = (-2)^2 - 3(-2) = 4 + 6 = 10 $$

2. $f(g(-2)) = f(10)$ 계산하기
이제 $f(10)$의 값을 구해야 합니다. 이때 $f(x)$는 구간에 따라 식이 다르므로, $x=10$이 어느 구간에 속하는지 확인해야 합니다.
$10 \ge 2$ 이므로, $f(x)=x+1$ 식을 사용해야 합니다.

$$ f(10) = 10 + 1 = 11 $$

정답: 11

p.118, 07번

두 함수 $f(x)=2x-7$과 $g(x)=-4x+3$에 대하여 $(f \circ h)(x)=g(x)$를 만족시키는 $h(x)$를 구하시오.

풀이:

주어진 식은 $(f \circ h)(x) = f(h(x))$ 입니다.
따라서 $f(h(x)) = g(x)$ 이고, 각 함수의 식을 대입하면 다음과 같습니다.

$f(x)=2x-7$에서 $x$ 대신 $h(x)$를 대입하면,

$$ f(h(x)) = 2h(x) - 7 $$

이것이 $g(x)$와 같다고 했으므로,

$$ 2h(x) - 7 = -4x + 3 $$

이제 이 식을 $h(x)$에 대해 정리하면 됩니다.

$$ 2h(x) = -4x + 3 + 7 $$

$$ 2h(x) = -4x + 10 $$

$$ h(x) = \frac{-4x+10}{2} = -2x+5 $$

정답: $h(x)=-2x+5$

p.119, 08번 (서술형)

함수 $f(x)=ax+b$가 $f(-1)=1$이고 $f^{-1}(3)=-2$를 만족시킬 때, $f(4)$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, a와 b는 상수)

풀이 과정:

먼저 주어진 두 조건을 이용하여 상수 $a$와 $b$의 값을 구해야 합니다.

조건 1: $f(-1)=1$
$f(x)=ax+b$에 $x=-1$을 대입하면,

$$ f(-1) = a(-1)+b = -a+b = 1 \quad \cdots ① $$

조건 2: $f^{-1}(3)=-2$
역함수의 성질에 따라 $f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y$ 이므로,
$f^{-1}(3)=-2$는 $f(-2)=3$과 같습니다.
$f(x)=ax+b$에 $x=-2$를 대입하면,

$$ f(-2) = a(-2)+b = -2a+b = 3 \quad \cdots ② $$

이제 ①과 ②를 연립하여 $a, b$를 구합니다.
② - ①을 하면,

$$ (-2a+b) - (-a+b) = 3 - 1 $$

$$ -a = 2 \implies a = -2 $$

$a=-2$를 ①에 대입하면,

$$ -(-2)+b = 1 \implies 2+b = 1 \implies b = -1 $$

따라서 함수 $f(x)$는 $f(x) = -2x-1$ 입니다.

마지막으로 문제에서 요구하는 $f(4)$의 값을 구합니다.

$$ f(4) = -2(4) - 1 = -8 - 1 = -9 $$

답: -9

p.119, 09번

함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=x$가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음을 구하시오.
(1) $(f \circ f)(d)$
(2) $f^{-1}(a)$
(3) $(f \circ f)^{-1}(c)$

1단계: 그래프 정확하게 읽기 📈

이런 유형의 문제는 직선 $y=x$를 자(ruler)처럼 활용하는 것이 핵심이에요! 직선 $y=x$ 위의 점들은 x좌표와 y좌표가 같다는 성질을 이용해서, y축의 값을 x축으로 옮겨와서 읽는 거죠.

[함숫값 찾기]

1. x축의 $b$에서 출발 ➡️ $y=f(x)$와 만나는 점의 y좌표는 $a$ 입니다. ( $f(b)=a$ )
2. x축의 $c$에서 출발 ➡️ $y=f(x)$와 만나는 점의 y좌표는 $b$ 입니다. ( $f(c)=b$ )
3. x축의 $d$에서 출발 ➡️ $y=f(x)$와 만나는 점의 y좌표는 $c$ 입니다. ( $f(d)=c$ )
4. x축의 $e$에서 출발 ➡️ $y=f(x)$와 만나는 점의 y좌표는 $d$ 입니다. ( $f(e)=d$ )

[역함숫값 찾기] (y축에서 출발해요!)

1. y축의 $a$에서 출발 ➡️ $y=f(x)$와 만나는 점의 x좌표는 $b$ 입니다. ( $f^{-1}(a)=b$ )
2. y축의 $b$에서 출발 ➡️ $y=f(x)$와 만나는 점의 x좌표는 $c$ 입니다. ( $f^{-1}(b)=c$ )
3. y축의 $c$에서 출발 ➡️ $y=f(x)$와 만나는 점의 x좌표는 $d$ 입니다. ( $f^{-1}(c)=d$ )
4. y축의 $d$에서 출발 ➡️ $y=f(x)$와 만나는 점의 x좌표는 $e$ 입니다. ( $f^{-1}(d)=e$ )

2단계: 문제 풀이🎯

(1) $(f \circ f)(d)$
$(f \circ f)(d) = f(f(d))$ 입니다. $f(d)=c$ 입니다.
따라서 $f(f(d)) = f(c)$가 되고, $f(c)=b$ 입니다.
답: b

(2) $f^{-1}(a)$
$f^{-1}(a) = k \iff f(k)=a$ 입니다. 함숫값이 $a$가 되는 $k$값을 찾아야 합니다.
답: b

(3) $(f \circ f)^{-1}(c)$
$(f \circ f)^{-1}(c) = f^{-1}(f^{-1}(c))$ 입니다.
① $f^{-1}(c)$ 값 구하기: $f(k)=c$가 되는 $k$를 찾습니다. $f(d)=c$이므로 $f^{-1}(c)=d$ 입니다.
② $f^{-1}(d)$ 값 구하기: $f^{-1}(f^{-1}(c)) = f^{-1}(d)$ 를 계산합니다. $f(m)=d$가 되는 $m$을 찾습니다. $f^{-1}(d)=e$ 입니다.
답: e

p.119, 10번 (서술형)

두 집합 $X=\{x|1 \le x \le 3\}$과 $Y=\{y|-1 \le y \le 5\}$에 대하여 X에서 Y로의 함수 $f(x)=ax+b$가 일대일대응일 때, 상수 a와 b의 순서쌍 (a, b)를 모두 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

풀이 과정:

함수 $f(x)=ax+b$는 일차함수이므로 그래프는 직선입니다.
이 함수가 정의역 $X=\{x|1 \le x \le 3\}$에서 공역 $Y=\{y|-1 \le y \le 5\}$로의 일대일대응이 되려면, 치역과 공역이 같아야 합니다.
즉, $x$가 1부터 3까지 변할 때, $y$값은 -1부터 5까지의 모든 값을 가져야 합니다.
이는 직선이 정의역의 양 끝점 $(1, -1)$과 $(3, 5)$를 지나거나, $(1, 5)$와 $(3, -1)$을 지나야 함을 의미합니다.

경우 1: 기울기 $a>0$일 때 (증가함수)
직선은 점 $(1, -1)$과 점 $(3, 5)$를 지나야 합니다.

• $f(1) = a+b = -1 \quad \cdots ①$
• $f(3) = 3a+b = 5 \quad \cdots ②$

② - ① 을 하면 $2a=6 \implies a=3$.
$a=3$을 ①에 대입하면 $3+b=-1 \implies b=-4$.
$a=3>0$ 이므로 조건을 만족합니다. 따라서 순서쌍은 (3, -4) 입니다.

경우 2: 기울기 $a<0$일 때 (감소함수)
직선은 점 $(1, 5)$와 점 $(3, -1)$을 지나야 합니다.

• $f(1) = a+b = 5 \quad \cdots ③$
• $f(3) = 3a+b = -1 \quad \cdots ④$

④ - ③ 을 하면 $2a=-6 \implies a=-3$.
$a=-3$을 ③에 대입하면 $-3+b=5 \implies b=8$.
$a=-3<0$ 이므로 조건을 만족합니다. 따라서 순서쌍은 (-3, 8) 입니다.

답: (3, -4), (-3, 8)

p.119, 11번

두 함수

$$ f(x)=x+a, \quad g(x)=\begin{cases}x^2 & (x \ge a) \\ 2x-6 & (x < a)\end{cases} $$

에 대하여 $(g \circ f)(1) + (f \circ g)(4) = 57$을 만족시키는 모든 실수 $a$의 값의 합을 구하시오.

풀이:

주어진 식 $(g \circ f)(1) + (f \circ g)(4) = 57$을 풀어봅시다.

먼저 $(g \circ f)(1) = g(f(1))$을 계산합니다.
$f(1) = 1+a$ 입니다.
$g(1+a)$의 값을 구해야 하는데, $1+a$는 항상 $a$보다 크므로 ($1>0$), $g(x)$의 윗부분 식 $g(x)=x^2$에 대입해야 합니다.

$$ g(1+a) = (1+a)^2 = a^2+2a+1 $$

다음으로 $(f \circ g)(4) = f(g(4))$를 계산합니다. $g(4)$의 값은 $a$의 범위에 따라 달라집니다.

경우 1: $4 \ge a$ 일 때
$g(4) = 4^2 = 16$ 입니다.
따라서 $f(g(4)) = f(16) = 16+a$ 입니다.
주어진 식에 대입하면,

$$ (a^2+2a+1) + (16+a) = 57 $$

$$ a^2+3a+17 = 57 $$

$$ a^2+3a-40 = 0 $$

$$ (a+8)(a-5) = 0 $$

$a=-8$ 또는 $a=5$ 입니다.
이 경우의 조건이 $a \le 4$이므로, $a=-8$만 해당됩니다.

경우 2: $4 < a$ 일 때
$g(4) = 2(4)-6 = 8-6 = 2$ 입니다.
따라서 $f(g(4)) = f(2) = 2+a$ 입니다.
주어진 식에 대입하면,

$$ (a^2+2a+1) + (2+a) = 57 $$

$$ a^2+3a+3 = 57 $$

$$ a^2+3a-54 = 0 $$

$$ (a+9)(a-6) = 0 $$

$a=-9$ 또는 $a=6$ 입니다.
이 경우의 조건이 $a > 4$이므로, $a=6$만 해당됩니다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 실수 $a$의 값은 $-8$과 $6$입니다.
두 값의 합은 $-8+6 = -2$ 입니다.

정답: -2

🧠 개념 확장 및 연관성

오늘 배운 '함수'는 수학의 세계를 여행하는 데 꼭 필요한 여권과 같아요. 함수 개념은 미적분에서 그래프의 변화를 분석하거나, 확률과 통계에서 변수들 사이의 관계를 모델링하는 데 기본적으로 사용된답니다. 더 나아가 물리학에서는 물체의 운동을, 경제학에서는 수요와 공급의 법칙을 함수로 표현하죠. 우리가 매일 사용하는 컴퓨터 프로그램이나 인공지능도 결국 복잡한 함수들의 집합으로 이루어져 있어요. 이렇게 함수는 우리 주변 세상의 원리를 설명하는 강력한 도구랍니다!

⚠️ 오개념 방지 및 심화 팁

• 역함수 기호의 오해: $f^{-1}(x)$는 $\frac{1}{f(x)}$이 절대 아닙니다! 역함수는 y와 x의 역할을 바꾼 새로운 함수이고, $\frac{1}{f(x)}$는 함숫값의 역수를 의미해요. 완전히 다른 개념이니 헷갈리지 마세요!
• 일대일함수 vs 일대일대응: 모든 일대일대응은 일대일함수이지만, 모든 일대일함수가 일대일대응인 것은 아니에요. 일대일대응이 되려면 '공역과 치역이 같다'는 조건이 추가로 필요하다는 점, 꼭 기억하세요. 역함수가 존재하기 위한 조건은 바로 '일대일대응'이랍니다.
• 그래프와 $y=x$ 대칭: 함수 $y=f(x)$의 그래프와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프의 교점은, 대부분 직선 $y=x$ 위에서 생겨요. 그래서 두 그래프의 교점을 찾을 때, $f(x)=f^{-1}(x)$ 대신 $f(x)=x$ 방정식을 풀면 훨씬 간단하게 해결되는 경우가 많답니다. (단, 감소함수인 경우에는 $y=x$ 밖에서도 교점이 생길 수 있으니 주의해야 해요!)

🎉 마무리하며

오늘 '함수' 단원의 중단원 마무리 문제를 모두 풀어보았어요. 어땠나요? 조금 어렵게 느껴졌던 문제도 있었겠지만, 포기하지 않고 끝까지 따라온 여러분 모두 정말 대단해요! 👍

함수는 정의와 종류, 그리고 합성함수와 역함수의 관계를 명확히 이해하는 것이 중요해요. 오늘 푼 문제들을 다시 한번 복습하면서 어떤 개념이 부족했는지 꼭 확인해보세요. 이제 우리는 이 함수의 개념을 바탕으로 다음 단원인 '유리함수와 무리함수'로 나아갈 준비가 되었습니다. 함수의 그래프를 자유자재로 그릴 수 있게 되면 더 복잡한 함수들도 쉽게 정복할 수 있을 거예요.

수학 공부는 꾸준함이 생명입니다. 오늘 배운 내용 잊지 말고, 다음 시간에도 활기찬 모습으로 만나요! 안녕! 👋