미래엔 공통수학2 교과서 [합성함수] 모든 문제 상세 풀이

미래엔 공통수학 교과서 [함수 - 합성함수] 모든 문제 상세 풀이

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 👩‍🏫

함수의 세계에 한 걸음 더 깊이 들어갈 준비가 되셨나요? 오늘은 두 개 이상의 함수를 연결하여 새로운 함수를 만드는 '합성함수'에 대해 배워볼 거예요. 마치 레고 블록을 조립해 새로운 작품을 만드는 것처럼, 함수들도 합성을 통해 더 다양하고 강력한 기능을 수행할 수 있답니다. 합성함수는 앞으로 배울 미적분에서도 '연쇄 법칙(chain rule)'이라는 중요한 개념의 기초가 되니, 오늘 확실히 이해하고 넘어가도록 해요! 자, 그럼 교과서 111페이지부터 함께 출발해 볼까요?

합성함수 핵심 포인트 🎯

합성함수 단원에서 이것만은 꼭 기억합시다!

• 합성함수의 정의: 두 함수 $f: X \to Y$, $g: Y \to Z$가 있을 때, $X$의 원소 $x$를 $g(f(x))$에 대응시키는 새로운 함수를 $f$와 $g$의 합성함수라 하고, 기호로 $\boldsymbol{g \circ f}$와 같이 나타냅니다. 즉, $\boldsymbol{(g \circ f)(x) = g(f(x))}$ 입니다.
• 계산 순서: $(g \circ f)(x)$는 $x$에 가까운 함수, 즉 $\boldsymbol{f}$를 먼저 계산하고, 그 결과를 다시 $\boldsymbol{g}$에 대입하여 계산합니다. 순서에 주의하세요!
• 교환법칙 성립 ❌: 일반적으로 함수의 합성은 순서를 바꾸면 결과가 달라집니다. 즉, $\boldsymbol{g \circ f \neq f \circ g}$ 입니다. 물론 우연히 같아지는 경우도 있지만, 항상 성립하는 것은 아니라는 점이 중요해요.
• 결합법칙 성립 ⭕: 세 함수 $f, g, h$에 대해서는 합성은 결합법칙이 성립합니다. 즉, $\boldsymbol{(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)}$ 입니다. 어느 것을 먼저 묶어서 계산해도 결과는 같아요.
• 정의 조건: 합성함수 $g \circ f$가 정의되려면, 안쪽 함수 $f$의 치역이 바깥쪽 함수 $g$의 정의역에 포함되어야 합니다. $(f\text{의 치역}) \subseteq (g\text{의 정의역})$

교과서 문제 풀이 📝

[p.111 생각 열기]

다음 그림은 세 학생이 주문한 음식과 각 음식의 가격을 대응으로 나타낸 것이다.

◆ 세 학생이 주문한 음식의 가격을 말해 보자.

[풀이 과정]

이 문제는 함수의 합성을 실생활 예시로 보여주는 아주 좋은 문제예요. 두 단계의 대응 관계를 거쳐 최종 결과를 얻는 과정이죠.

1. 1단계: 학생 $\to$ 음식

• 아람 $\to$ 핫도그
• 재영 $\to$ 김밥
• 하영 $\to$ 어묵

2. 2단계: 음식 $\to$ 가격

• 어묵 $\to$ 2000원
• 핫도그 $\to$ 3000원
• 떡볶이 $\to$ 4000원
• 김밥 $\to$ 4000원

3. 두 단계를 연결 (합성!)

이제 두 단계를 합쳐서 '학생'이 최종적으로 지불해야 할 '가격'에 바로 대응시켜 봅시다.

• 아람 $\to$ 핫도그 $\to$ 3000원
• 재영 $\to$ 김밥 $\to$ 4000원
• 하영 $\to$ 어묵 $\to$ 2000원

이처럼 두 개 이상의 함수(대응)가 연결되어 하나의 새로운 함수 관계를 만드는 것을 '합성'이라고 이해할 수 있습니다.

[p.111 문제 1]

두 함수 $f(x)=2x+1$과 $g(x)=x^2-1$에 대하여 다음을 구하시오.

(1) $(g \circ f)(2)$

(2) $(f \circ g)(-1)$

(3) $(f \circ f)(-3)$

[풀이 과정]

합성함수의 계산은 안쪽 함수부터 차근차근 계산하는 것이 핵심이에요. 괄호 안의 계산을 먼저 하는 것과 같다고 생각하면 쉬워요!

(1) $(g \circ f)(2)$

먼저 $f(2)$를 계산합니다.

$f(2) = 2 \times 2 + 1 = 5$

이제 $f(2)$의 결과인 5를 함수 $g(x)$에 대입합니다.

$(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(5) = 5^2 - 1 = 24$

따라서 정답은 24입니다.

(2) $(f \circ g)(-1)$

먼저 $g(-1)$을 계산합니다.

$g(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

이제 $g(-1)$의 결과인 0을 함수 $f(x)$에 대입합니다.

$(f \circ g)(-1) = f(g(-1)) = f(0) = 2 \times 0 + 1 = 1$

따라서 정답은 1입니다.

(3) $(f \circ f)(-3)$

같은 함수를 합성할 수도 있어요! 먼저 $f(-3)$을 계산합니다.

$f(-3) = 2 \times (-3) + 1 = -6 + 1 = -5$

이제 $f(-3)$의 결과인 -5를 다시 함수 $f(x)$에 대입합니다.

$(f \circ f)(-3) = f(f(-3)) = f(-5) = 2 \times (-5) + 1 = -10 + 1 = -9$

따라서 정답은 -9입니다.

[p.111 예제 1]

두 함수 $f(x)=-x+2$와 $g(x)=4x+1$에 대하여 다음을 구하시오.

(1) $(g \circ f)(x)$

(2) $(f \circ g)(x)$

[풀이 과정]

이번에는 특정 숫자가 아니라 $x$를 대입해서 합성함수 자체의 식을 구하는 문제네요. 원리는 똑같습니다! $f(x)$나 $g(x)$라는 식 전체를 하나의 덩어리로 보고 대입하면 됩니다.

(1) $(g \circ f)(x)$

$(g \circ f)(x)$는 $g(f(x))$와 같아요. 즉, $g(x)$의 $x$ 자리에 $f(x)$의 식인 $-x+2$를 통째로 대입하는 거예요.

$g(x) = 4x+1$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(-x+2) = 4(-x+2) + 1$

이제 이 식을 정리하면 됩니다.

$4(-x+2) + 1 = -4x + 8 + 1 = -4x + 9$

따라서 $(g \circ f)(x) = \boldsymbol{-4x+9}$ 입니다.

(2) $(f \circ g)(x)$

$(f \circ g)(x)$는 $f(g(x))$와 같아요. 이번에는 $f(x)$의 $x$ 자리에 $g(x)$의 식인 $4x+1$을 통째로 대입합니다.

$f(x) = -x+2$

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(4x+1) = -(4x+1) + 2$

마찬가지로 식을 정리합니다.

$-(4x+1) + 2 = -4x - 1 + 2 = -4x + 1$

따라서 $(f \circ g)(x) = \boldsymbol{-4x+1}$ 입니다.

잠깐! 🚨 예제 1의 결과를 보세요! $(g \circ f)(x) = -4x+9$이고 $(f \circ g)(x) = -4x+1$로 서로 다른 함수가 되었죠? 이것이 바로 합성함수에서는 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 보여주는 아주 중요한 예시랍니다! 꼭 기억해 주세요.

[p.112 문제 2]

두 함수 $f(x)=x-4$와 $g(x)=-x^2$에 대하여 다음을 구하시오.

(1) $(g \circ f)(x)$

(2) $(f \circ g)(x)$

(3) $(g \circ g)(x)$

[풀이 과정]

예제 1과 같은 방식으로 차근차근 풀어봅시다.

(1) $(g \circ f)(x)$

$g(x)=-x^2$의 $x$ 자리에 $f(x)$의 식인 $x-4$를 대입합니다.

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x-4) = -(x-4)^2$

식을 전개하여 정리하면,

$-(x^2 - 8x + 16) = -x^2 + 8x - 16$

따라서 $(g \circ f)(x) = \boldsymbol{-x^2 + 8x - 16}$ 입니다.

(2) $(f \circ g)(x)$

$f(x)=x-4$의 $x$ 자리에 $g(x)$의 식인 $-x^2$을 대입합니다.

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(-x^2) = (-x^2) - 4$

따라서 $(f \circ g)(x) = \boldsymbol{-x^2 - 4}$ 입니다. 여기서도 $(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)$ 임을 확인할 수 있죠?

(3) $(g \circ g)(x)$

$g(x)=-x^2$의 $x$ 자리에 자기 자신의 식인 $-x^2$을 다시 대입합니다.

$(g \circ g)(x) = g(g(x)) = g(-x^2) = -(-x^2)^2$

지수법칙에 따라 $(-x^2)^2 = (-1)^2 \times (x^2)^2 = 1 \times x^4 = x^4$ 이므로,

$-(-x^2)^2 = -x^4$

따라서 $(g \circ g)(x) = \boldsymbol{-x^4}$ 입니다.

[p.112 생각 넓히기]

다음 세 함수에 대하여 $((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$가 성립하는지 알아보려고 한다.

$f(x)=2x-1, g(x)=3x+2, h(x)=x^2+1$

◆ $((f \circ g) \circ h)(x)$와 $(f \circ (g \circ h))(x)$를 구하고, 그 결과를 비교해 보자.

[풀이 과정]

이 문제는 합성함수에서는 결합법칙이 성립함을 보여주는 문제입니다. 즉, 어떤 함수를 먼저 합성하든 최종 결과는 같다는 뜻이죠. 좌변과 우변을 각각 계산해서 정말 같은 결과가 나오는지 확인해 봅시다.

1. 좌변 $((f \circ g) \circ h)(x)$ 계산하기

먼저 괄호 안의 $(f \circ g)(x)$부터 계산합니다.

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x+2) = 2(3x+2) - 1 = 6x + 4 - 1 = 6x+3$

이제 위에서 구한 $(f \circ g)(x)$와 $h(x)$를 합성합니다. 즉, $(f \circ g)(x)$의 $x$ 자리에 $h(x)$인 $x^2+1$을 대입합니다.

$((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ g)(h(x)) = (f \circ g)(x^2+1)$

$= 6(x^2+1) + 3 = 6x^2 + 6 + 3 = \boldsymbol{6x^2+9}$

2. 우변 $(f \circ (g \circ h))(x)$ 계산하기

이번에는 괄호 안의 $(g \circ h)(x)$부터 계산합니다.

$(g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(x^2+1) = 3(x^2+1) + 2 = 3x^2 + 3 + 2 = 3x^2+5$

이제 $f(x)$와 위에서 구한 $(g \circ h)(x)$를 합성합니다. 즉, $f(x)$의 $x$ 자리에 $(g \circ h)(x)$인 $3x^2+5$를 대입합니다.

$(f \circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) = f(3x^2+5)$

$= 2(3x^2+5) - 1 = 6x^2 + 10 - 1 = \boldsymbol{6x^2+9}$

3. 결과 비교

좌변과 우변을 계산한 결과가 모두 $6x^2+9$로 동일합니다. 따라서 $((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$가 성립함을 확인할 수 있습니다!

개념 확장 및 연관성 🌐

합성함수는 단순히 수학 문제 풀이에만 그치지 않고 다양한 분야에서 핵심적인 아이디어로 사용됩니다.

• 컴퓨터 과학 💻: 프로그래밍에서 하나의 함수의 출력(결과)을 다른 함수의 입력으로 사용하는 '함수 파이프라이닝'이 바로 합성함수의 원리입니다. 복잡한 작업을 여러 개의 단순한 함수로 나누어 처리함으로써 코드의 가독성과 재사용성을 높일 수 있습니다.
• 미적분 📈: 고등학교 수학의 꽃, 미적분에서 배우는 '연쇄 법칙(Chain Rule)'은 합성함수의 미분법입니다. $y = f(g(x))$ 형태의 함수를 미분할 때, 겉 함수와 속 함수를 차례로 미분하여 곱하는 이 원리는 합성함수를 이해하지 않고는 넘어갈 수 없는 중요한 다리 역할을 합니다.
• 실생활 🏃‍♀️: 우리가 어떤 일을 처리하는 과정 자체가 합성함수인 경우가 많습니다. 예를 들어, '재료를 사서(함수 f), 요리를 하고(함수 g), 맛있게 먹는다(함수 h)'와 같은 일련의 과정은 $h \circ g \circ f$ 와 같은 합성함수로 생각할 수 있죠.

오개념 방지 및 심화 팁 💡

🚫 자주 하는 실수: 계산 순서 혼동!

$(g \circ f)(x)$를 계산할 때, 많은 학생들이 자신도 모르게 $f(g(x))$로 계산하는 실수를 합니다. 기호의 순서는 왼쪽부터 $g, f$ 순서지만, 계산은 $x$에 가까운 오른쪽 함수부터 라는 점을 꼭 명심하세요! "안쪽 것부터, 오른쪽 것부터!" 라고 외워두면 좋습니다.

⭐ 심화 팁: 합성함수와 정의역

합성함수 $(g \circ f)(x)$가 잘 정의되려면, 함수 $f$를 거쳐 나온 결과물(치역)이 다음 함수 $g$가 받아들일 수 있는 값(정의역)이어야 합니다. 즉, $f$의 치역이 $g$의 정의역에 포함되어야 하죠. $(f\text{의 치역}) \subseteq (g\text{의 정의역})$. 지금은 대부분의 문제가 실수 전체 범위에서 다루어져 크게 신경 쓰지 않아도 되지만, 나중에 정의역이 제한된 함수를 다룰 때는 이 조건을 반드시 확인해야 한답니다!

마무리하며 🏁

오늘은 두 함수를 연결하는 다리, '합성함수'에 대해 배워봤습니다. 합성함수의 핵심은 계산 순서를 헷갈리지 않는 것과, 교환법칙은 성립하지 않지만 결합법칙은 성립한다는 성질을 잘 기억하는 것입니다. 함수를 하나씩 처리해 나가는 과정이 조금은 복잡하게 느껴질 수도 있지만, 이 원리를 이해하면 여러 단계로 이루어진 복잡한 문제도 체계적으로 해결할 수 있는 강력한 무기를 얻게 되는 셈입니다.

다음 시간에는 오늘 배운 합성함수를 바탕으로, 함수의 '거꾸로' 과정인 '역함수'에 대해 배워보겠습니다. 합성함수와 역함수는 서로 아주 밀접한 관계에 있으니, 오늘 내용을 잘 복습해 주세요. 꾸준한 노력이 여러분을 수학의 고수로 만들어 줄 거예요. 오늘도 수고 많으셨습니다! 💪