[명제의 증명] 개념 완벽 정리: 대우, 귀류법, 절대부등식 (고1 수학)

[명제의 증명] 개념 완벽 정리: 대우, 귀류법, 절대부등식 (고1 수학)

안녕하세요! 여러분의 수학 멘토, 수학쟁이 선생님입니다. 지난 시간에는 명제가 무엇인지, 그리고 그 참과 거짓을 어떻게 판별하는지에 대해 배웠죠. 하지만 수학의 진짜 매력은 단순히 참, 거짓을 가리는 것을 넘어, '왜' 그것이 참일 수밖에 없는지를 논리적으로 밝혀내는 과정, 바로 '증명'에 있답니다.

"소수는 무한히 많다." 이 명제, 참이라는 건 들어봤을 거예요. 하지만 세상의 모든 소수를 다 세어볼 수도 없는데 어떻게 이것이 참이라고 확신할 수 있을까요? 바로 오늘 배울 '증명법' 덕분입니다. 때로는 정면 돌파가 어려울 때, 슬쩍 방향을 틀어 문제를 해결하는 지혜가 필요하죠. 수학의 증명도 마찬가지예요. 오늘은 명제를 증명하는 강력한 두 가지 우회 전략, 대우를 이용한 증명법과 귀류법에 대해 알아보고, 이어서 '절대' 변하지 않는 진실, 절대부등식의 세계까지 탐험해 보겠습니다. 준비됐나요?

직접 증명이 어렵다면? 우회하는 증명법!

어떤 명제 'p이면 q이다'를 증명하고 싶은데, p에서 출발해서 q에 도달하기가 막막할 때가 있습니다. 이럴 때 우리는 다른 길을 찾아볼 수 있어요.

1. 대우를 이용한 증명법

"명제가 참이면 그 대우도 참이다." 기억나나요? 이 성질은 증명에서 아주 유용한 무기가 됩니다. 어떤 명제가 증명하기 까다롭게 생겼다면, 그 명제의 대우를 만들어보는 거예요. 만약 대우가 참임을 보일 수 있다면, 원래 명제도 당연히 참이 되는 거죠!

특히 원래 명제의 결론 부분이 '...가 아니다' 또는 '...이거나 또는 ...이다'와 같이 복잡한 형태일 때, 대우를 이용하면 훨씬 간단하게 증명할 수 있는 경우가 많습니다.

예시 1) "자연수 n에 대하여, $n^2$이 짝수이면 n도 짝수이다."가 참임을 증명하기

[사고 과정]

$n^2$이 짝수라는 조건에서 바로 n이 짝수임을 이끌어내기엔 조금 막막하죠. $n^2=2k$라고 두고 $n=\sqrt{2k}$...? 식이 복잡해지네요. 이럴 때 '대우'를 떠올리는 겁니다!

[증명]

주어진 명제의 대우는 "자연수 n에 대하여, n이 홀수이면 $n^2$도 홀수이다."입니다.
이 대우 명제가 참임을 보여봅시다.

n이 홀수이므로, n은 어떤 자연수 k에 대하여 $n = 2k-1$ 로 나타낼 수 있습니다.
이때 $n^2$을 계산하면,

$$ \begin{align*} n^2 & = (2k-1)^2 \\ & = 4k^2 - 4k + 1 \\ & = 2(2k^2 - 2k) + 1 \end{align*} $$

$2k^2 - 2k$는 자연수 또는 0이므로, $2(2k^2-2k)$는 짝수입니다. 따라서 $2(2k^2-2k)+1$은 홀수이죠.
즉, n이 홀수이면 $n^2$도 홀수입니다.

결론: 대우 명제가 참이므로, 원래 명제인 "자연수 n에 대하여, $n^2$이 짝수이면 n도 짝수이다."도 참입니다.

2. 귀류법 (Proof by Contradiction)

귀류법은 마치 탐정의 수사 방법과 같아요. "만약 범인이 A가 아니라면?" 하고 가정한 뒤, 그 가정에서부터 논리를 전개해나갔을 때 말도 안 되는 모순이 발생한다면? "아하! 내 처음 가정이 틀렸구나. 범인은 A가 맞다!"라고 결론 내리는 거죠.

수학에서는 증명하려는 명제의 결론을 부정하여, 그것이 참이라고 가정합니다. 그 가정으로부터 논리적으로 모순되는 결과를 이끌어내어 처음의 가정이 거짓임을 밝히는 방법이죠. '...가 아니다', '...는 무한하다' 와 같은 명제를 증명할 때 특히 강력한 힘을 발휘합니다.

예시 2) "$\sqrt{2}$는 유리수가 아니다."가 참임을 증명하기

[사고 과정]

$\sqrt{2}$가 유리수가 '아님'을 직접 보이기는 어렵습니다. 이럴 때 귀류법을 사용해 결론을 부정, 즉 "$\sqrt{2}$가 유리수이다!"라고 가정하고 시작하는 것이죠.

[증명]

결론을 부정하여 $\sqrt{2}$가 유리수라고 가정합시다.

그렇다면 $\sqrt{2}$는 서로소인 두 자연수 m, n을 이용하여 분수 꼴로 나타낼 수 있습니다.

$$ \sqrt{2} = \frac{n}{m} $$

양변을 제곱하여 정리하면,

$$ 2 = \frac{n^2}{m^2} \quad \Rightarrow \quad n^2 = 2m^2 $$

이 식은 $n^2$이 짝수임을 의미합니다. 위에서 증명했듯이, $n^2$이 짝수이면 n도 짝수여야 하죠.
따라서 n을 자연수 k를 이용해 $n=2k$로 놓을 수 있습니다. 이것을 $n^2 = 2m^2$에 대입하면,

$$ (2k)^2 = 2m^2 \quad \Rightarrow \quad 4k^2 = 2m^2 \quad \Rightarrow \quad m^2 = 2k^2 $$

어? 이 식은 $m^2$도 짝수라는 뜻이네요! 그렇다면 m도 짝수가 됩니다.

모순 발견! 우리는 처음에 m과 n이 '서로소'인 자연수라고 가정했습니다. 하지만 증명 과정에서 m과 n이 모두 2의 배수, 즉 짝수라는 결론이 나왔습니다. 이는 두 수가 서로소라는 가정에 명백히 모순됩니다.

결론: 이러한 모순이 발생한 이유는 맨 처음의 가정, 즉 "$\sqrt{2}$가 유리수이다"가 잘못되었기 때문입니다. 따라서 "$\sqrt{2}$는 유리수가 아니다."가 참입니다.

언제나 성립하는 부등식, 절대부등식!

'x > 3'과 같은 부등식은 x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하죠? 이런 부등식을 '조건부등식'이라고 합니다. 하지만 어떤 부등식은 변수가 어떤 값을 갖더라도 항상, '절대적으로' 성립합니다. 이런 부등식을 바로 절대부등식이라고 해요.

절대부등식을 증명할 때는 실수의 기본적인 성질들이 아주 유용하게 사용됩니다.

절대부등식 증명의 필수 도구! 실수의 기본 성질

두 실수 a, b에 대하여,

• $A > B \iff A - B > 0$ (두 수의 대소 비교는 빼서 부호를 확인!)
• $a^2 \ge 0$ (실수의 제곱은 항상 0 이상!)
• $a^2 + b^2 \ge 0$
• $a^2 + b^2 = 0 \iff a=0$ 이고 $b=0$
• $|a|^2 = a^2$
• $a \ge 0, b \ge 0$ 일 때, $A \ge B \iff A^2 \ge B^2$ (양수일 때는 제곱해서 비교 가능!)

1. 산술-기하 평균 부등식

절대부등식의 '슈퍼스타'라고 할 수 있는 산술-기하 평균 부등식입니다. 앞으로 정말 많은 곳에서 활용될 중요한 부등식이니 꼭 기억해두세요!

절대부등식 1) 산술-기하 평균 부등식

명제: $a>0, b>0$ 일 때, $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ 이다. (단, 등호는 $a=b$일 때 성립)

[증명]

두 실수의 대소 비교는 빼서 부호를 확인하는 것이 기본이죠!

$$ \begin{align*} \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} & = \frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{2} \\ & = \frac{(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2}{2} \\ & = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \end{align*} $$

$\sqrt{a}$와 $\sqrt{b}$는 실수이므로, $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$는 항상 0보다 크거나 같습니다. 분모인 2는 양수이므로,

$$ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \ge 0 $$

따라서 $\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \ge 0$ 이므로, $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ 가 성립합니다.

그리고 등호가 성립하는 순간은 분자인 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$이 0이 될 때, 즉 $\sqrt{a} = \sqrt{b}$일 때이므로, $a=b$일 때 등호가 성립합니다. (이 등호 성립 조건, 정말 중요해요!)

2. 코시-슈바르츠 부등식 (맛보기) 및 기타 절대부등식

교육과정에서 이름이 직접 등장하진 않지만, 완전제곱식을 이용한 증명은 매우 자주 쓰입니다.

절대부등식 2) $a^2-ab+b^2 \ge 0$ 증명하기

[증명]

이 식을 a에 대한 이차식으로 보고 완전제곱식으로 변형해봅시다.

$$ \begin{align*} a^2 - ab + b^2 & = \left(a^2 - ab + \frac{b^2}{4}\right) - \frac{b^2}{4} + b^2 \\ & = \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}b^2 \end{align*} $$

여기서 $\left(a - \frac{b}{2}\right)^2 \ge 0$ 이고, $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$ 입니다.
0 이상인 두 수를 더했으니, 그 결과도 당연히 0 이상이겠죠?

$$ \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0 $$

따라서 $a^2 - ab + b^2 \ge 0$ 이 성립합니다.

등호는 $\left(a - \frac{b}{2}\right)^2=0$ 이고 동시에 $\frac{3}{4}b^2=0$ 일 때 성립하므로, $b=0$ 이고 $a=0$일 때 성립합니다.

오개념 방지 및 심화 팁!

• 대우 증명 vs 귀류법: 언제 뭘 써야 할까요? 명제의 결론이 'A가 아니다' 형태일 땐 대우('A의 반대이다')를 쓰는게 편할 때가 많고, '유일하다', '존재하지 않는다', '무한하다' 등의 존재 자체에 대한 명제는 귀류법이 효과적일 때가 많습니다. 하지만 정답은 없으니, 두 방법 모두 익숙해지는 것이 중요해요!
• 산술-기하 평균 부등식의 함정: 이 부등식은 두 수가 모두 양수일 때만 사용할 수 있다는 점을 절대 잊지 마세요. 또, 최솟값을 구하는 문제에서는 등호가 성립하는 조건을 반드시 확인하여, 그 최솟값이 실제로 가능한 값인지 점검해야 합니다.

마무리하며

오늘은 명제를 증명하는 세련된 방법인 대우 증명법과 귀류법, 그리고 절대적인 진리인 절대부등식에 대해 알아봤습니다. 막연하게 '참일 것 같다'고 생각했던 것들을 한 치의 오차도 없는 논리로 증명해내는 과정에서 수학의 진정한 힘과 아름다움을 느끼셨으면 좋겠습니다.

특히 오늘 배운 증명 방법과 산술-기하 평균 부등식은 앞으로 여러분이 수학을 공부하는 내내 든든한 무기가 되어줄 거예요. 오늘 배운 내용을 꼭 자신의 것으로 만들길 바라며, 다음 시간에는 또 다른 흥미로운 수학 이야기로 찾아오겠습니다. 수학쟁이 선생님이었습니다!