[고1 수학] 함수 개념 완벽 정리: 정의역, 공역, 치역부터 일대일대응까지

[고1 수학] 함수 개념 완벽 정리: 정의역, 공역, 치역부터 일대일대응까지

시작하며

여러분, 안녕하세요! 여러분의 수학 멘토, 수학쟁이 선생님입니다.

우리는 일상생활 속에서 수많은 '관계'를 맺으며 살아갑니다. 자판기에 동전을 넣으면 음료수가 나오는 관계, 학생과 학생 번호의 관계처럼 말이죠. 수학에서는 이렇게 한 대상이 다른 대상과 짝을 이루는 것을 '대응'이라고 부릅니다.

오늘 우리가 배울 '함수'는 바로 이 '대응' 관계 중에서도 아주 특별하고 질서정연한 규칙을 가진 관계를 말해요. 중학교 때 배운 'x값이 변함에 따라 y값이 오직 하나씩 정해지는 관계'라는 설명, 기억나나요? 고등학교에서는 집합의 언어를 사용해서 이 개념을 훨씬 더 명확하게 다듬어 볼 거예요. 앞으로 수학의 거대한 산을 넘기 위해 꼭 필요한 기본 체력이니, 저와 함께 차근차근 다져봅시다!

1. 함수란 무엇일까? - 약속의 중요성!

함수는 한마디로 '약속'입니다. 어떤 약속일까요?

함수(Function)의 정의

공집합이 아닌 두 집합 $X, Y$에 대하여, 집합 $X$의 각 원소에 집합 $Y$의 원소가 오직 하나씩 대응할 때, 이 대응을 집합 $X$에서 집합 $Y$로의 함수라고 합니다.
기호로는 $f: X \longrightarrow Y$ 와 같이 나타냅니다.

여기서 키워드는 '각 원소에' 그리고 '오직 하나씩'입니다. 이 두 가지 약속이 함수의 가장 중요한 핵심이에요.

1. 빠짐없이! : 집합 $X$의 모든 원소는 반드시 화살표를 출발시켜야 해요. 짝을 찾지 못하고 혼자 남는 원소가 있으면 안 됩니다.
2. 한 발만! : 집합 $X$의 한 원소가 두 개 이상의 화살표를 출발시키면 안 돼요. 즉, 양다리는 절대 금물입니다!

말로만 들으면 헷갈릴 수 있으니 그림으로 살펴볼까요? 예를 들어 집합 $X = \{1, 2, 3\}$, $Y = \{a, b, c\}$가 있을 때 어떤 대응이 함수가 되는지 확인해 보죠.

(1) 함수 O

X: {1, 2, 3} → Y: {a, b, c}

1 → a

2 → c

3 → b

X의 모든 원소가 Y의 원소에 하나씩만 대응하므로 함수입니다.

(2) 함수 X

X: {1, 2, 3} → Y: {a, b, c}

1 → a

2 → c

X의 원소 3이 대응하는 Y의 원소가 없으므로 함수가 아닙니다.

(3) 함수 X

X: {1, 2, 3} → Y: {a, b, c}

1 → a

2 → b

2 → c

3 → c

X의 원소 2가 Y의 원소 b와 c, 두 곳에 대응하므로 함수가 아닙니다.

(1)번은 X의 모든 원소 1, 2, 3이 각각 Y의 원소에 화살표를 한 발씩만 쏘고 있으니 완벽한 함수입니다. 하지만 (2)번은 3이 화살표를 쏘지 않았고, (3)번은 2가 욕심을 내어 두 발을 쏘았기 때문에 함수라는 약속을 어긴 것이죠.

2. 함수의 3요소: 정의역, 공역, 치역

함수라는 관계가 성립하면, 우리는 각 집합과 원소들에게 새로운 이름을 붙여줍니다. 바로 정의역, 공역, 치역이에요.

정의역, 공역, 치역

• 정의역(Domain): 함수 $f: X \longrightarrow Y$에서, 집합 $X$. 즉, 화살표를 쏘는 주체들의 모임입니다.
• 공역(Codomain): 집합 $Y$. 화살표를 맞을 준비가 된 후보들의 모임 전체입니다.
• 치역(Range): 공역의 원소 중에서 정의역의 원소와 실제로 대응된 원소들의 집합. 즉, 실제로 화살표를 맞은 원소들의 모임이에요. 기호로는 $\{f(x) | x \in X\}$로 나타냅니다.

핵심: 치역은 항상 공역의 부분집합입니다. ($치역 \subseteq 공역$)

예를 들어, 정의역이 $X = \{1, 2, 3, 4\}$이고 공역이 $Y = \{a, b, c, d\}$인 함수 $f$가 다음과 같이 대응된다고 해봅시다.
$f(1) = b$, $f(2) = a$, $f(3) = b$, $f(4) = d$

이때,
- 정의역: $\{1, 2, 3, 4\}$
- 공역: $\{a, b, c, d\}$
- 치역: 실제로 화살표를 맞은 원소들의 모임인 $\{a, b, d\}$ 입니다.
공역의 원소 c는 선택받지 못했죠? 따라서 치역에 포함되지 않습니다.

3. 함수의 종류 - 개성 넘치는 함수들

함수들은 대응 방식에 따라 몇 가지 특별한 이름으로 분류할 수 있습니다. 각 함수의 특징을 잘 기억해두세요!

① 일대일함수 (One-to-one Function)

정의역 $X$의 서로 다른 두 원소 $x_1, x_2$에 대하여 $f(x_1) \neq f(x_2)$가 성립하는 함수입니다.
쉽게 말해, Y의 원소가 화살표를 두 발 이상 맞는 경우가 없는, '결과가 겹치지 않는 함수'라고 생각하면 편해요.
그래프에서는 가로선을 그었을 때 교점이 최대 1개인 것으로 판별할 수 있습니다. (Horizontal Line Test)

② 일대일대응 (One-to-one Correspondence)

다음 두 조건을 모두 만족하는 함수입니다.

1. 일대일함수이다.
2. 치역과 공역이 같다.

일대일함수 중에서 공역에 남는 원소가 하나도 없는, 완벽한 짝짓기가 이루어진 상태를 말해요. 소개팅에 나간 모든 사람이 각자 다른 사람과 짝이 되어 아무도 혼자 남지 않은 상황과 같죠! 일대일대응은 나중에 배우게 될 '역함수'가 존재할 매우 중요한 조건이 됩니다.

③ 항등함수 (Identity Function)

정의역과 공역이 같고, 정의역의 각 원소 $x$가 자기 자신에게 대응하는 함수입니다. 즉, $f(x) = x$ 입니다.
입력값과 출력값이 항상 같은, 거울 같은 함수죠. 항등함수는 항상 일대일대응이기도 합니다.

④ 상수함수 (Constant Function)

정의역의 모든 원소가 공역의 단 하나의 원소에만 대응하는 함수입니다. 즉, $f(x) = c$ (c는 상수) 꼴입니다.
모든 입력값이 하나의 출력값에 '몰빵'하는 함수예요. 치역의 원소 개수는 항상 1개입니다.

4. 서로 같은 함수? - 겉모습에 속지 말자!

두 함수 $f$와 $g$가 '서로 같다'고 말하려면 무엇이 필요할까요?

서로 같은 함수의 조건

두 함수 $f, g$가 다음 두 조건을 모두 만족할 때, $f$와 $g$는 서로 같다고 하며 $f=g$로 나타냅니다.

1. 두 함수의 정의역이 같다.
2. 정의역의 모든 원소 $x$에 대하여 함숫값이 같다. (즉, $f(x) = g(x)$)

여기서 중요한 점은, 두 함수의 식이 다르더라도 정의역과 그에 따른 함숫값이 모두 같으면 서로 같은 함수라는 것입니다!

예를 들어, 정의역이 $X = \{-1, 0, 1\}$인 두 함수 $f(x) = |2x|$ 와 $g(x) = 2x^2$ 이 있다고 해볼까요? 두 식은 완전히 다르게 생겼죠? 하지만 각 정의역의 원소에 대한 함숫값을 계산해보면 놀라운 결과가 나옵니다.

$x$	$f(x) = |2x|$	$g(x) = 2x^2$
-1	$|2 \times (-1)| = 2$	$2 \times (-1)^2 = 2$
0	$|2 \times 0| = 0$	$2 \times 0^2 = 0$
1	$|2 \times 1| = 2$	$2 \times 1^2 = 2$

보세요! 정의역 $\{-1, 0, 1\}$의 모든 원소에 대해 $f(x)$와 $g(x)$의 값이 정확히 일치합니다. 따라서 이 두 함수는 $f=g$ 라고 말할 수 있는 '서로 같은 함수'입니다. 겉모습만 보고 판단하면 안 된다는 수학적 교훈을 얻을 수 있네요!

마무리하며

오늘은 함수의 정확한 정의부터 정의역, 공역, 치역의 개념, 그리고 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수까지 함수의 기본적인 내용들을 모두 정리해 보았습니다.

처음에는 용어들이 많아 조금 헷갈릴 수 있지만, 각 용어의 뜻을 명확히 이해하고 구별하는 것이 정말 중요해요. 특히 '일대일함수'와 '일대일대응'의 차이점을 확실히 짚고 넘어가세요! 오늘 배운 내용들은 다음 시간에 배울 '합성함수'와 '역함수'를 이해하는 데 필수적인 재료가 될 겁니다.

수학은 개념을 쌓아 올리는 과목이라는 점을 잊지 말고, 오늘 배운 내용을 꼭 복습하며 자신의 것으로 만드시길 바랍니다. 궁금한 점이 있다면 언제든지 댓글로 질문해주세요!

수학쟁이 선생님이었습니다. 다음 시간에 만나요!