[역함수] 개념 완벽 정리: 일대일대응부터 그래프까지 (고1 수학)

[역함수] 개념 완벽 정리: 일대일대응부터 그래프까지 (고1 수학)

시작하며

안녕하세요! 수학의 참맛을 알려주는 수학쟁이 선생님입니다.
우리가 어떤 함수 $f(x)$에 $x$값을 넣어서 $y$라는 결과를 얻는 과정을 생각해볼까요? 예를 들어, 섭씨온도($x$)를 화씨온도($y$)로 바꾸는 함수가 있다면, 반대로 화씨온도를 보고 섭씨온도를 알아내는 과정도 생각할 수 있겠죠. 이렇게 함수의 입력과 출력의 역할을 완전히 뒤바꾸는 새로운 함수를 우리는 역함수(Inverse Function)라고 부릅니다.

그런데, 여기서 아주 중요한 질문이 하나 생깁니다. 과연 모든 함수는 이런 '거꾸로 가는' 함수를 가질 수 있을까요? 예를 들어, $f(x) = x^2$ 이라는 함수를 생각해보죠. $x=2$를 넣으면 $y=4$가 나오고, $x=-2$를 넣어도 $y=4$가 나옵니다. 이 과정을 거꾸로 돌려서 $y=4$에 대응하는 $x$를 찾으려고 하면 $2$와 $-2$ 두 개가 나타나죠. 하나의 입력에 두 개의 출력이 나오는 것은 함수의 정의에 어긋납니다!

이처럼, 역함수가 존재하기 위해서는 원래 함수가 아주 특별한 조건을 만족해야 합니다. 그 조건이 바로 우리가 지난 시간에 배운 '일대일대응'이에요. 오늘은 왜 일대일대응이 역함수의 존재 조건인지부터 시작해서, 역함수를 구하는 방법, 그리고 원래 함수와 역함수 그래프 사이의 아름다운 관계까지 샅샅이 파헤쳐 보겠습니다!

개념과 원리 심층 탐구

1. 역함수는 왜 '일대일대응'일 때만 존재할까?

함수의 가장 기본적인 약속은 '정의역의 원소 하나에 공역의 원소가 오직 하나씩만 대응되는 관계'입니다. 이 약속을 지키기 위해 역함수는 원래 함수가 '일대일대응'이어야만 해요. 그림을 통해 직관적으로 이해해볼까요?

✅ 일대일대응인 함수 $f$

X의 원소와 Y의 원소가 하나씩 짝을 이룹니다.

$X = \{1, 2, 3\} \rightarrow Y = \{a, b, c\}$
$1 \rightarrow b$
$2 \rightarrow c$
$3 \rightarrow a$

---

$f$의 역대응 (함수 O)

Y의 원소 하나에 X의 원소가 하나씩 대응됩니다.

$Y = \{a, b, c\} \rightarrow X = \{1, 2, 3\}$
$a \rightarrow 3$
$b \rightarrow 1$
$c \rightarrow 2$

이것은 함수가 맞습니다!

❌ 일대일대응이 아닌 함수 $g$

X의 원소 1과 2가 모두 Y의 a에 대응합니다.

$X = \{1, 2, 3\} \rightarrow Y = \{a, b, c\}$
$1 \rightarrow a$
$2 \rightarrow a$
$3 \rightarrow b$

---

$g$의 역대응 (함수 X)

Y의 a에 X의 1, 2 두 개가 대응하고, c는 대응하는 값이 없습니다.

$Y = \{a, b, c\} \rightarrow X = \{1, 2, 3\}$
$a \rightarrow \{1, 2\}$
$b \rightarrow 3$
$c \rightarrow ?$

이것은 함수가 아닙니다!

왼쪽 그림처럼 함수 $f$가 일대일함수(정의역의 원소가 다르면 함숫값도 다르다)이면서 치역과 공역이 같을 때(Y의 모든 원소가 화살표를 받는다), 즉 일대일대응일 때만 거꾸로 가는 대응도 Y의 모든 원소가 X의 원소에 '오직 하나씩' 대응될 수 있습니다. 이것이 바로 역함수의 존재 조건이랍니다.

2. 역함수의 정의와 핵심 성질

이제 역함수를 수학적으로 엄밀하게 정의하고, 역함수가 가지는 중요한 성질들을 정리해볼게요. 이 내용은 앞으로 문제를 풀 때 계속해서 사용되니 꼭 기억해주세요!

역함수의 정의와 성질

함수 $f: X \rightarrow Y$가 일대일대응일 때, $f$의 역함수 $f^{-1}: Y \rightarrow X$가 존재하며 다음 성질을 만족한다.

1. 정의:
   $y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$
   (함수 $f$에서 $x$를 넣어 $y$가 나왔다면, 역함수 $f^{-1}$에서는 $y$를 넣어 $x$가 나온다는 뜻입니다.)


2. 합성 결과는 항등함수:
   
   $(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x$   (정의역 $X$에서의 항등함수)
   $(f \circ f^{-1})(y) = f(f^{-1}(y)) = y$   (공역 $Y$에서의 항등함수)
   (어떤 함수와 그 역함수를 합성하면, 입력한 값이 그대로 나오는 '항등함수'가 됩니다. 갔다가 다시 돌아오는 것과 같죠.)


3. 역함수의 역함수:
   $(f^{-1})^{-1} = f$
   (거꾸로 가는 것을 다시 거꾸로 가면 원래대로 돌아오겠죠?)

3. 단계별 문제 해결 전략: 역함수 구하기

역함수의 개념을 이해했다면, 이제 직접 역함수를 구하는 방법을 알아봐야겠죠? 크게 두 가지 유형, '함숫값 구하기'와 '함수의 식 구하기'로 나누어 살펴볼게요.

(1) 역함수의 함숫값 구하기

역함수의 식을 직접 구하지 않고도 함숫값을 구할 수 있습니다. $f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a$ 라는 정의만 이용하면 됩니다!

예시 문제) 함수 $f(x)=4x+6$에 대하여 $f^{-1}(2)$의 값을 구하시오.

풀이)
$f^{-1}(2)$의 값을 $k$라고 해봅시다. 즉, $f^{-1}(2) = k$ 입니다.
역함수의 정의에 의해, $f(k) = 2$가 성립해야 합니다.
따라서 원래 함수 $f(x)$에 $x=k$를 대입하면,

$f(k) = 4k + 6 = 2$

이 방정식을 풀면 $4k = -4$, 즉 $k = -1$ 입니다.
그러므로 구하는 값 $f^{-1}(2) = -1$ 입니다.

(2) 역함수의 식 구하기

함수 $y=f(x)$의 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 관계식을 구하는 방법은 다음과 같은 단계를 따릅니다.

1. 주어진 함수 $y=f(x)$가 일대일대응인지 확인합니다. (보통 문제에서는 역함수가 존재하는 함수를 줍니다.)
2. 주어진 식 $y=f(x)$를 $x$에 관하여 정리합니다. 즉, $x = (\text{y에 대한 식})$ 꼴로 바꿉니다. 이것이 바로 $x = f^{-1}(y)$입니다.
3. 마지막으로, 함수는 보통 독립변수를 $x$, 종속변수를 $y$로 나타내므로, $x$와 $y$의 자리를 서로 맞바꾸어 $y=f^{-1}(x)$의 형태로 정리하면 끝!

예시 문제) 함수 $y = 3x+4$의 역함수를 구하시오.

풀이)
1단계: x에 관하여 풀기
$y = 3x+4$에서 $4$를 이항하면 $y-4 = 3x$ 입니다.
양변을 $3$으로 나누면, $x = \frac{1}{3}y - \frac{4}{3}$ 입니다.

2단계: x와 y 맞바꾸기
위에서 구한 식의 $x$와 $y$를 서로 바꾸면 역함수의 식이 완성됩니다.
따라서 구하는 역함수는 $y = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3}$ 입니다.

합성함수의 역함수

두 함수 $f, g$의 역함수가 모두 존재할 때, 합성함수 $g \circ f$의 역함수는 어떻게 될까요? 마치 양말을 신고 신발을 신는 행위의 '역'과정은, 신발을 벗고 양말을 벗는 순서인 것과 같습니다. 즉, 순서가 뒤바뀝니다!

$(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}$

순서가 뒤바뀌는 점, 절대 잊지 마세요!

4. 역함수의 그래프: 직선 $y=x$에 대한 대칭

함수와 그 역함수는 그래프 상에서 아주 특별하고 아름다운 관계를 가집니다. 바로 직선 $y=x$에 대하여 완벽한 대칭을 이룬다는 점입니다.

왜 그럴까요? 원래 함수 $y=f(x)$ 위의 한 점을 $(a, b)$라고 하면 $b=f(a)$가 성립하죠. 역함수의 정의에 따라 이는 $a=f^{-1}(b)$와 같은 말입니다. 이 말은, 점 $(b, a)$가 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프 위에 있다는 뜻입니다. 점 $(a, b)$와 점 $(b, a)$는 $x$좌표와 $y$좌표가 서로 뒤바뀐 관계이므로, 직선 $y=x$에 대하여 대칭입니다. 원래 함수의 모든 점이 이런 관계를 가지므로, 두 함수의 그래프 전체가 직선 $y=x$에 대해 대칭인 것이죠.

아래는 함수 $y = 2x - 2$와 그 역함수 $y = \frac{1}{2}x + 1$의 그래프입니다. 직선 $y=x$에 대해 정확히 데칼코마니처럼 접히는 것을 볼 수 있죠.

함수 $y=f(x)$와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프의 교점은 어떻게 찾을까요?
두 그래프는 직선 $y=x$에 대해 대칭이므로, 교점이 생긴다면 그 교점 역시 $y=x$ 위에 있을 것이라고 추측할 수 있습니다. 따라서 대부분의 경우, 연립방정식 $y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$를 푸는 대신, 훨씬 간단한 $y=f(x)$와 $y=x$를 연립해서 교점을 찾습니다. 이것이 훨씬 효율적이고 일반적인 풀이법입니다.

주의: 하지만 모든 경우에 교점이 $y=x$ 위에만 있는 것은 아니랍니다! (감소함수의 경우) 하지만 고등학교 1학년 과정에서는 '교점은 $y=x$ 위에서 찾는다'라고 생각해도 대부분의 문제를 해결할 수 있습니다.

마무리하며

오늘은 함수의 세계에서 매우 중요한 개념인 '역함수'에 대해 배웠습니다. 핵심 내용을 다시 한번 정리해볼까요?

• 역함수는 원래 함수가 일대일대응일 때만 존재합니다.
• 함수 $f$와 그 역함수 $f^{-1}$는 $y=f(x) \iff x=f^{-1}(y)$ 관계를 가집니다.
• 역함수를 구하려면, 원래 식을 $x$에 대해 정리한 후 $x$와 $y$를 바꿉니다.
• 두 함수의 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭입니다.
• 합성함수의 역함수는 순서가 바뀝니다: $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$

함수는 단순히 계산을 위한 도구가 아니라, 세상의 다양한 '관계'를 수학적으로 표현하고 분석하는 언어입니다. 역함수를 이해했다는 것은 그 관계를 양방향으로 자유롭게 넘나들며 사고할 수 있는 힘을 갖게 되었다는 뜻이죠. 오늘 배운 내용은 다음 단원인 유리함수와 무리함수에서 그 함수들의 역함수를 구하며 다시 등장할 예정이니, 오늘 배운 내용을 꼭 자신의 것으로 만들어두시길 바랍니다.

개념이 헷갈릴 땐 언제든 다시 찾아와서 복습하는 것, 잊지 마세요! 꾸준히 탐구하는 여러분을 수학쟁이 선생님이 항상 응원합니다!