[고1 수학] 유리함수 개념 완벽 정리: 분수함수의 모든 것 (정의, 그래프, 점근선)

[고1 수학] 유리함수 개념 완벽 정리: 분수함수의 모든 것 (정의, 그래프, 점근선)

시작하며

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다!

우리는 중학교 때부터 일차함수, 이차함수 등 다양한 함수를 만나왔습니다. 이들은 모두 다항함수라는 큰 울타리 안에 있었죠. 하지만 함수의 세계는 이보다 훨씬 넓답니다. 오늘은 그 새로운 세계의 문을 여는 첫 시간으로, 분모에 미지수 $x$가 포함된 '유리함수'에 대해 깊이 있게 탐구해볼 거예요.

예를 들어, 맛있는 놋그릇을 만드는 상황을 상상해 볼까요? 구리 2kg에 주석 $x$kg을 섞어 합금을 만들 때, 전체 합금에서 구리가 차지하는 비율은 $\frac{2}{2+x}$라는 식으로 표현할 수 있습니다. 이처럼 분수 형태로 표현되는 함수가 바로 오늘 배울 유리함수의 한 예시랍니다.

유리함수의 정의부터 그래프 그리는 방법, 그리고 유리함수의 가장 큰 특징인 '점근선'의 개념까지! 오늘 저와 함께 차근차근 정복해봅시다. 준비되셨나요?

개념과 원리 심층 탐구

1. 유리함수를 배우기 전: 유리식이란?

유리함수를 알기 위해선 먼저 '유리식'이 무엇인지 알아야 해요. 간단합니다. 두 다항식 $A$, $B$에 대하여 분수 $\frac{A}{B}$ 꼴로 나타내어지는 식을 바로 유리식이라고 합니다. (단, 분모가 되는 다항식 $B$는 0이 아니어야겠죠!)

어? 그럼 우리가 지금까지 배운 다항식도 유리식일까요? 네, 맞습니다! 예를 들어 다항식 $x^2+1$은 분모가 1인 유리식 $\frac{x^2+1}{1}$로 생각할 수 있으므로, 다항식은 유리식에 포함되는 더 작은 개념이라고 할 수 있어요.

유리식의 분류

• 다항식: $x+1$, $2x^2-x+5$ 등 분모에 미지수가 없는 식
• 분수식(다항식이 아닌 유리식): $\frac{1}{x}$, $\frac{2x-1}{x^2+1}$ 등 분모에 미지수가 포함된 식

유리식을 계산하는 방법은 우리가 초등학교 때 배운 분수의 계산과 똑같습니다. 덧셈과 뺄셈은 '통분'을 하고, 곱셈은 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 곱하죠. 나눗셈은 나누는 식의 분자와 분모를 바꾸어 곱해주면 됩니다.

2. 유리함수의 정의와 '이것'만은 꼭! 정의역

자, 이제 본격적으로 유리함수를 정의해볼까요? 함수 $y=f(x)$에서 $f(x)$가 $x$에 대한 유리식일 때, 이 함수를 유리함수라고 부릅니다. 물론 $f(x)$가 다항식이면 다항함수가 되는 거고요.

유리함수에서 가장 중요하고, 시험 문제에서도 단골로 등장하는 개념이 바로 정의역입니다. 다른 말이 없다면, 유리함수의 정의역은 단 하나의 규칙만 기억하면 됩니다.

유리함수 정의역의 핵심 규칙!

(분모) $\neq$ 0

분모를 0으로 만드는 $x$값을 제외한 모든 실수가 바로 정의역이 됩니다.

예를 들어, 함수 $y = \frac{x-1}{x+2}$의 정의역을 구해볼까요? 분모인 $x+2$가 0이 되면 안 되므로, $x+2 \neq 0$ 즉 $x \neq -2$입니다. 따라서 이 함수의 정의역은 '$-2$가 아닌 모든 실수'가 되는 거죠. 집합 기호로는 $\{x | x \neq -2 \text{인 실수}\}$ 와 같이 나타낼 수 있습니다.

3. 유리함수의 기본, $y = \frac{k}{x}$ 그래프 파헤치기

모든 유리함수의 기본이 되는 $y=\frac{k}{x}$ ($k \neq 0$) 그래프부터 자세히 살펴봅시다. 이 함수의 그래프는 좌표평면에서 한 쌍의 매끄러운 곡선 모양을 가지며, 이를 쌍곡선이라고 부릅니다. 그래프의 모양은 $k$의 부호에 따라 결정돼요.

1) k > 0 일 때 (예: $y = \frac{1}{x}$)

$k$가 양수이면 그래프는 제1사분면과 제3사분면에 그려집니다. $x$가 증가하면 $y$는 감소하는 특징을 보이죠.

2) k < 0 일 때 (예: $y = -\frac{1}{x}$)

$k$가 음수이면 그래프는 제2사분면과 제4사분면에 그려지며, $x$가 증가하면 $y$도 증가하는 특징이 있습니다.

그리고 $y=\frac{k}{x}$ 그래프의 아주 중요한 특징 두 가지가 더 있습니다. 바로 원점 대칭이라는 것과 점근선을 가진다는 것입니다.

$y = \frac{k}{x}$ 그래프의 핵심 성질

• 대칭성: 원점(0, 0)에 대하여 대칭입니다. 또한, 직선 $y=x$와 $y=-x$에 대해서도 대칭이랍니다.
• 점근선(Asymptote): 그래프가 한없이 가까워지지만 절대로 만나지는 않는 선을 말해요. $y=\frac{k}{x}$의 점근선은 $x$축(직선 $y=0$)과 $y$축(직선 $x=0$)입니다.
• $k$의 역할: $k$의 절댓값 $|k|$가 커질수록 그래프는 원점에서 멀어집니다.

4. 평행이동의 마법: $y = \frac{k}{x-p} + q$ 그래프

혹시 이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 $y=ax^2$의 그래프를 평행이동한 것이라는 점, 기억나나요? 유리함수도 똑같습니다!

함수 $y = \frac{k}{x-p} + q$의 그래프는 기본형인 $y = \frac{k}{x}$의 그래프를 $x$축 방향으로 $p$만큼, $y$축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것입니다.

이 평행이동 때문에 중요한 모든 것이 함께 움직입니다.

유리함수 표준형의 모든 것!

함수 $y = \frac{k}{x-p} + q$는...

• 기본형: $y = \frac{k}{x}$
• 대칭의 중심: 원점(0,0)이 $(p,q)$로 이동!
• 점근선: $x=0$, $y=0$이었던 점근선이 $x=p$, $y=q$로 이동!
• 정의역: $\{x | x \neq p \text{인 실수}\}$
• 치역: $\{y | y \neq q \text{인 실수}\}$

예제: 함수 $y = \frac{1}{x-2} + 1$의 그래프를 그리고 점근선을 구하시오.

풀이:

1. 이 함수는 기본형 $y=\frac{1}{x}$의 그래프를 $x$축 방향으로 2만큼, $y$축 방향으로 1만큼 평행이동한 것입니다.
2. 따라서 점근선은 원래의 $x=0, y=0$에서 $x=2, y=1$로 이동합니다.
3. $k=1 > 0$이므로 그래프는 새로운 점근선이 만드는 사분면에서 제1, 3사분면 위치에 그려집니다.
4. 그래프의 정확한 위치를 파악하기 위해 x절편과 y절편을 구합니다.
   • y절편: $x=0$을 대입하면 $y=\frac{1}{-2}+1 = \frac{1}{2}$. 즉, 점 $(0, \frac{1}{2})$을 지납니다.
   • x절편: $y=0$을 대입하면 $0=\frac{1}{x-2}+1 \implies -1 = \frac{1}{x-2} \implies x-2 = -1 \implies x=1$. 즉, 점 $(1, 0)$을 지납니다.

답: 그래프는 위와 같고, 점근선은 두 직선 $x=2, y=1$ 입니다.

5. 일반형을 표준형으로! $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ 그래프 그리기

자, 이제 마지막 단계입니다. $y = \frac{2x-1}{x+1}$처럼 생긴 함수는 어떻게 그려야 할까요? 이런 형태를 일반형이라고 하는데, 이대로는 그래프의 특징을 알기 어렵습니다. 따라서 식을 변형하여 우리가 잘 아는 표준형($y = \frac{k}{x-p} + q$)으로 바꿔주어야 해요.

변형하는 방법은 분자를 분모로 직접 나누는 것과 같습니다.

예제: 함수 $y=\frac{2x-1}{x+1}$의 그래프를 그리고, 점근선을 구하시오.

풀이:

주어진 일반형을 표준형으로 변형합니다. 분자에 분모의 모양인 $(x+1)$을 만들어주는 것이 핵심입니다.

$$ y = \frac{2x-1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 2 - 1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 3}{x+1} $$

이제 분수를 두 부분으로 쪼갭니다.

$$ y = \frac{2(x+1)}{x+1} - \frac{3}{x+1} = 2 - \frac{3}{x+1} $$

보기 좋게 정리하면 표준형 $y = \frac{-3}{x+1} + 2$를 얻을 수 있습니다.

• 분석: 이 그래프는 $y = \frac{-3}{x}$의 그래프를 $x$축 방향으로 -1만큼, $y$축 방향으로 2만큼 평행이동한 것입니다.
• 점근선: $x=-1$, $y=2$ 입니다.
• 그래프 형태: $k=-3 < 0$이므로, 점근선을 기준으로 제2, 4사분면 위치에 그려집니다.
• 절편 찾기:
  • y절편: $x=0$을 대입하면 $y=\frac{-1}{1}=-1$. 즉, 점 $(0, -1)$을 지납니다.
  • x절편: $y=0$을 대입하면 $0=\frac{2x-1}{x+1} \implies 2x-1 = 0 \implies x=\frac{1}{2}$. 즉, 점 $(\frac{1}{2}, 0)$을 지납니다.

답: 그래프는 위와 같고, 점근선은 두 직선 $x=-1, y=2$ 입니다.

마무리하며

오늘 우리는 유리함수의 세계를 함께 여행했습니다. 유리함수는 분모에 미지수가 있는, 조금은 낯선 모습이었지만 알고 보니 다항함수처럼 평행이동 규칙이 그대로 적용되는 친숙한 친구였죠?

유리함수 그래프를 그릴 때 가장 중요한 것은 바로 점근선을 먼저 찾는 것입니다. 점근선만 제대로 찾으면 그래프의 개형을 빠르고 정확하게 파악할 수 있어요. 일반형($y=\frac{ax+b}{cx+d}$)을 표준형($y=\frac{k}{x-p}+q$)으로 바꾸는 연습을 꾸준히 한다면 어떤 유리함수도 두렵지 않을 겁니다.

유리함수를 마스터했으니, 다음 시간에는 루트($\sqrt{ }$) 기호 안에 미지수가 들어가는 '무리함수'라는 새로운 친구를 만나볼 거예요. 오늘 배운 내용이 다음 시간의 훌륭한 발판이 될 테니, 꼭 복습하는 것 잊지 마세요! 수고 많았습니다!